b]上可積,存在常數(shù)γ和Γ(γ＜Γ),使得對(duì)于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,則對(duì)于任意λ∈[0,2]和任意x∈[a,b],有其中證明先考慮x≠a的情形．將P表示為利用式(2)得γ(x-a)2-Γ(b-x)2≤P≤Γ(x-a)2-γ(b-x)2,于是有 -(2 -λ)τ(Γ-γ)≤U≤λτ(Γ-γ),從而在式(3)中取ε=ε1,則式(1)的右邊不等式得證.再考慮x=a的情形．記對(duì)任意常數(shù),由引理1 得推論1設(shè)條件同定理2,則對(duì)任意λ∈ [0,2]

式,α(z)為非常數(shù)整函數(shù)。若方程p(z)f(z)3+q(z)f″(z)=-sinα(z)有整函數(shù)解,則α(z)=3az+b，其中:a,b為常數(shù),p和q為常數(shù),且滿足27p=4q3a6，f(z)=c1eiaz+c2e-iaz，其中常數(shù)c1和c2滿足c13=-e2bic23，2ipc13=-ebi，3pc1c2=qa2。本文，我們進(jìn)一步推廣定理B，得到了如下結(jié)果。定理1設(shè)p,q,r和s為非零多項(xiàng)式,α為非常數(shù)整函數(shù)。如果p或者r為常數(shù),且pf3+qf″=re

,還可以通過構(gòu)造常數(shù)列去解決數(shù)列求通項(xiàng)求和問題.非零常數(shù)列身兼等差數(shù)列和等比數(shù)列兩大特性,在一些數(shù)列求通項(xiàng)求和問題中,若能適時(shí)地構(gòu)造常數(shù)列,則可避免復(fù)雜的累加、累乘或迭代等過程,從而使數(shù)列求通項(xiàng)求和一步到位,達(dá)到事半功倍的效果.下面以2021年八省市聯(lián)考第17 題為例,通過構(gòu)造常數(shù)法的解答與分析,并進(jìn)行探究與推廣,總結(jié)出構(gòu)造常數(shù)法巧解數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和的幾種題型.一、試題展示與解法探究題目(2021年八省市聯(lián)考第17 題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列

，k)為可計(jì)算的常數(shù)。本文基于上述文獻(xiàn)，利用初等及解析的方法，證明了如下定理:定理設(shè)k≥2是給定的正整數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥2，有漸近公式其中di(i=1，2，…，k)為可計(jì)算的常數(shù)，ζ(n)為Riemann Zeta-函數(shù)。1 相關(guān)引理引理1[8，9]對(duì)任意的素?cái)?shù)p≥3即k∈N,z(pk)=pk-1。當(dāng)p=2時(shí)，則有z(2k)=2k+1-1。若n為任意合數(shù)時(shí)，z(n)=max{z(m):m|n}。引理2[10]對(duì)于任意素?cái)?shù)p，有sl(pk)=pk。引理3

可微函數(shù)，且存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有(6)證明由引理1得即式(6)得證。(7)類似可證故式(7)成立。推論1 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，且存在常數(shù)γ和Γ使得對(duì)于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有式(7)成立。(8)證明因?yàn)閒是[a，b]上的GA凸函數(shù)，故對(duì)于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有根據(jù)定理2則式(8)的右邊不等式得證。即式(8)的左邊不等式得證。定理3 設(shè)f是[a，b]上的可微函數(shù)，

象經(jīng)過的象限確定常數(shù)k，b的正負(fù)性解析：常數(shù)k，b決定一次函數(shù)y = kx + b的圖象所經(jīng)過的象限;反過來，一次函數(shù)y = kx + b的圖象所經(jīng)過的象限決定k，b的正負(fù)性. 根據(jù)題意畫出圖象，如圖2，由一次函數(shù)y=kx + b的圖象經(jīng)過第一、第三象限可知k > 0. 由一次函數(shù)y=kx + b的圖象與y軸的負(fù)半軸相交可知b < 0. 所以kb<0. 故選B.

1]中筆者從構(gòu)造常數(shù)列的角度另辟蹊徑，為該類問題的求解提供了一個(gè)新思路，本文分別從構(gòu)造常數(shù)列和等比數(shù)列的角度，又探索出了兩種求和方法，現(xiàn)將其介紹如下：一、方法介紹不失一般性，設(shè)等差乘等比型數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(kn+b)qn，(其中k,b,q均為常數(shù)，且q≠1)，其前n項(xiàng)和記為Sn.方法1：構(gòu)造常數(shù)列{Sn+(xn+y)qn}.對(duì)數(shù)列{an}，由an=(kn+b)qn(q≠1)得an+1=[k(n+1)+b]qn+1，由an與Sn的關(guān)系，可得關(guān)于

解為其中C為任意常數(shù).定理1Riccati微分方程（1）存在形如證明為證明方便，設(shè)必要性. 設(shè)方程（1）的通解為式（2），則將式（2）代入式（1）得整理得即顯然，y=-ke-x是方程（3）的解.設(shè)z=y+ke-x，則方程（3）可變?yōu)橛梢?得，即y=-ke-x+為任意常數(shù).類似可得下面定理.定理2Riccati 微分方程（1）存在形如的通解充要條件為其中：k為常數(shù)，C為任意常數(shù).根據(jù)定理1和定理2，我們可得下列2個(gè)推論.推論1若Q(x)=2kP(x)e-x

極大單調(diào)映射，對(duì)常數(shù) ρ＞0，定義映射 JG:H→H 為:JG(u)=(1+ρG)-1(u)，u∈H 稱為 G 的預(yù)解算子，其中 I是H上的恒等映射。2.5. REPAIR systemBoth CBE and ABE base editors were developed for targeted single-base substitutions at the DNA level. To enable gene correction at the RN

C1等來表示正的常數(shù), 允許在不同的地方取不同的值.3 主要結(jié)果及證明引理1設(shè)(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對(duì)互補(bǔ)的N-函數(shù),ωi(i=1,2,3,4)為權(quán), 則以下三條等價(jià):(i)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C1>0, 使得(3.1)(ii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C2>0, 使得(iii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關(guān)的常數(shù)C3>0, 使得證明下面證明(i)?(ii)?(iii)?(i).(i)?(ii). 設(shè)(fn)n≥

結(jié)論.【關(guān)鍵詞】常數(shù)變易法常數(shù)變易法是微分方程中解線性微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的常數(shù)c變換為待定函數(shù)u（x）.不僅如此，它在高中數(shù)學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用，用變量來表示一個(gè)常數(shù)，可以巧妙地解決問題.下面列舉幾種題型加以闡述.一、在解方程中的應(yīng)用二、在不等式中的應(yīng)用三、在三角中的應(yīng)用四、在向量中的應(yīng)用【參考文獻(xiàn)】[1]崔士襄.“常數(shù)變易法”來歷的探討[J].邯鄲農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1998（5）：40-41.[2]胡宜寒.常數(shù)變易法在高等數(shù)

級(jí)教師)已知基本常數(shù):難溶電解質(zhì)的Ksp、弱電解質(zhì)的電離平衡常數(shù)(弱酸的Ka及弱堿的Kb)、水的Kw，如何求整個(gè)化學(xué)反應(yīng)的平衡常數(shù)K?對(duì)于簡(jiǎn)單的化學(xué)反應(yīng)來說,常用變換相關(guān)物質(zhì)基本常數(shù)冪與相關(guān)離子濃度冪乘除的方法,找出K與相關(guān)物質(zhì)基本常數(shù)冪的關(guān)系,然后求解．但對(duì)于復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)來說,用變換法找出上述關(guān)系相當(dāng)困難．現(xiàn)總結(jié)歸納出簡(jiǎn)單的方法,則很容易得出K與相關(guān)物質(zhì)基本常數(shù)的冪的關(guān)系．方法是:平衡常數(shù)K等于反應(yīng)物中有基本常數(shù)物質(zhì)常數(shù)冪的乘積與生成物中有基本常數(shù)物質(zhì)

那么它一定是非零常數(shù)列.其實(shí)，以下兩個(gè)與常數(shù)列相關(guān)的結(jié)論，看似簡(jiǎn)單明了，解題中如果巧妙運(yùn)用，常可以另辟蹊徑.結(jié)論1 設(shè)A、B是已知常數(shù)，若無窮等差數(shù)列{an}滿足：A結(jié)論2 設(shè)A、B是已知正常數(shù)，若無窮正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：A例1 (2016年江蘇省競(jìng)賽初賽題)已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列，且對(duì)任意n∈N*，都有an解析依題意，a2n-1=a1+(n-1)d1,a2n=a2+(n-1)d2,a

納。技巧一：加減常數(shù)例1求函數(shù)的值域。解：(1)當(dāng)x＞1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=2時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)y的最小值為3。(2)當(dāng)x＜1時(shí),所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,當(dāng)且僅當(dāng)1-x=,即x=0時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)y的最大值為-1,綜上,y的值域?yàn)?-∞,-1]∪[3,+∞)。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí),必須分類討論,要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正數(shù)。技巧二：巧變常數(shù)例2已知,求函數(shù)y=x(1-2x)的最大值。解：因?yàn)?＜x＜,所以x＞0。y

黃書虹非零常數(shù)列即是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，簡(jiǎn)單明了，但是常常被忽視。在一些數(shù)列的題目中，如果適當(dāng)?shù)乩脴?gòu)造常數(shù)列，可避免復(fù)雜的累加、累乘或迭代，使數(shù)列問題簡(jiǎn)單化。利用常數(shù)列求通項(xiàng)公式例1：已知數(shù)列滿足，， 求通項(xiàng)公式解析：因式分解得：方法一：（累乘法）方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）是常數(shù)列本題中，兩種方法難度差不多，計(jì)算量也差不多。變式：已知數(shù)列滿足， 求通項(xiàng)公式。解析：方法一：（累乘法）方法二：（構(gòu)造常數(shù)列）兩邊都乘以n，得：， 是常數(shù)列本題中，累乘法在消項(xiàng)過

們發(fā)現(xiàn)大綱對(duì)平衡常數(shù)的考查加大了難度.化學(xué)平衡常數(shù)、電離平衡常數(shù)、溶度積要求“能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算”.人教版高中化學(xué)選修四從第二章出現(xiàn)化學(xué)平衡常數(shù)后，一發(fā)不可收拾，第三章依次出現(xiàn)了弱電解質(zhì)的電離常數(shù)、水的離子積常數(shù)、鹽的水解常數(shù)，難溶電解質(zhì)的溶度積.我們注意到一方面，后四大常數(shù)是對(duì)前面內(nèi)容的補(bǔ)充與深化；另一方面，也滲透了化學(xué)平衡常數(shù)在后面內(nèi)容中的應(yīng)用，體現(xiàn)了知識(shí)的相互聯(lián)系，同時(shí)也不難看得出，后四大常數(shù)彼此之間也互相聯(lián)系，而且難度越來越大.endprint

所關(guān)注的數(shù)列——常數(shù)列的思考，探尋常數(shù)列在解多種題型中的巧妙應(yīng)用，感受其優(yōu)美.例1 數(shù)列{an}滿足an=n·3n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解法1 由Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,知3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1.2個(gè)式子相減可得-2Sn=1·3+1·32+1·33+…+1·3n-n·3n+1,從而解法2 因?yàn)閍n=n·3n，所以Sn-Sn-1=n·3n，經(jīng)配湊可得故解法1是我們常用的一種方法——錯(cuò)位相減法，

1000)?例說常數(shù)數(shù)列法巧求兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式閆西寶(江蘇省徐州市第七中學(xué)，221000)在數(shù)列問題中,求通項(xiàng)公式最常見的兩種類型是：已知首項(xiàng)a1,且滿足an+1=an+f(n)或者an+1=anf(n),其所用的方法是累加法和累乘法．在教學(xué)實(shí)踐中,筆者發(fā)現(xiàn)解決這兩類問題,和可用同一種簡(jiǎn)潔的方法,即構(gòu)造常數(shù)數(shù)列法，下面舉例說明．一、an+1=an+f(n)型對(duì)于此類型的數(shù)列,可設(shè)g(n+1)-g(n)=f(n),則有an+1-g(n+1)=an-g(n)

)?次領(lǐng)頭階低能常數(shù)的改進(jìn)*蔣紹周，蔣杰臣(廣西大學(xué)物理學(xué)院，廣西大學(xué)-國(guó)家天文臺(tái)天體物理和空間科學(xué)研究中心，廣西南寧530004)【目的】通過合適的處理，減少低能贗標(biāo)介子手征微擾理論中出現(xiàn)的輸入?yún)?shù)，得到符合實(shí)驗(yàn)的低能常數(shù)理論值，提高理論的預(yù)言性。【方法】將已有方法中出現(xiàn)的Schwinger-proper time方法引入的Λ趨于無窮，并通過在介子質(zhì)量770 MeV處對(duì)領(lǐng)頭階的低能常數(shù)進(jìn)行重整化。借助Schwinger-Dyson方程，得到所有的次領(lǐng)頭階

n（c，d，λ為常數(shù)且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ為常數(shù)且c≠0，1）的數(shù)列的通項(xiàng)問題，高考參考答案直接給出了變形構(gòu)造的結(jié)果，卻沒有給出變形構(gòu)造的方法及過程，看了仍不知其所以然， 筆者就此問題進(jìn)行探究，進(jìn)一步推廣得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數(shù)且C≠0，1，λ≠0，1）這一類數(shù)列的通項(xiàng)的求法，總結(jié)如下，以饗讀者。1.形如an+1=can+d（c，d為常數(shù)且c≠0，1）的數(shù)列的通項(xiàng)公

B，C，D，λ為常數(shù)且C≠0，1，λ≠0，1）的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法楊文慶徐曉燕 （寧夏石嘴山市光明中學(xué)）近年高考中常出現(xiàn)形如an+1=can+d·λn（c，d，λ為常數(shù)且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ為常數(shù)且c≠0，1）的數(shù)列的通項(xiàng)問題，高考參考答案直接給出了變形構(gòu)造的結(jié)果，卻沒有給出變形構(gòu)造的方法及過程，看了仍不知其所以然， 筆者就此問題進(jìn)行探究，進(jìn)一步推廣得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，

據(jù)離子反應(yīng)的平衡常數(shù)進(jìn)行判斷。本文介紹一種確定離子反應(yīng)平衡常數(shù)的方法以及離子反應(yīng)平衡常數(shù)與弱電解質(zhì)的電離常數(shù)、水的離子積常數(shù)、鹽類的水解常數(shù)、沉淀的溶度積常數(shù)等的關(guān)系，解決高中化學(xué)中常見復(fù)雜離子反應(yīng)方向的判斷問題，供高中化學(xué)教師、學(xué)生參考。endprint