決定一個Dirac方程特征值集的整函數(shù)的討論

梁銀雙，文生蘭

(1.中州大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450044；2.解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001)

微分算子的特征值的跡恒等式深刻揭示了微分算子的譜結(jié)構(gòu)，在特征值的計算及其反問題以及孤子理論和可積系統(tǒng)理論中都有很重要的作用．關(guān)于Dirac方程的研究始于1921年， Hurwitz得到了Dirac方程的特征值、特征函數(shù)的漸近式[1]，并證明了在有限區(qū)間上Dirac系統(tǒng)的特征函數(shù)的完備性．Levitan和Sargsjan在文獻[2-3]中對Dirac算子進行了系統(tǒng)的論述，包括常型、奇型以及周期情況的研究．雖然關(guān)于微分算子跡的研究已積累了大量文獻，但是大多結(jié)果都是對局部方程局部邊界條件而得到的．1981年，李夢如用文獻[4]的方法，在文獻[5]中得到了帶有非局部邊界條件的S-L算子的跡公式．關(guān)于帶有非局部邊界條件Dirac算子的跡公式的討論，文獻[6]中已討論了一種情況．本文主要初步研究下述問題決定特征值的整函數(shù)：

1 問題(1)的兩個初值問題解的漸近估計

為了給出問題(1)的通解結(jié)構(gòu)，這里需要利用(1)的兩個初值問題解的漸近估計．

先來考慮(1)的第一個初值問題：

問題(2){Bdydx+P(x)y=λy，

引理1 由文獻[7]可知，問題(2)的解Φ(x，λ)對λ的漸近式為：

該初值問題解的具體形式在文獻[6]中已給出，這里不再贅述．

接著考慮問題(1)的第二個初值問題：

引理2 由文獻[7]知，問題(3)的解ψ(x，λ)對λ的漸近式為：

2 決定問題(1)特征值集的整函數(shù)

y(x，λ)=c1Φ(x，λ)+c2ψ(x，λ)，c1，c2為常數(shù)．

由問題(1)的邊界條件知：

(*)

引入關(guān)于λ的整函數(shù)：

命題1 問題(1)的特征值集合與ω(λ)的零點集合重合．

最后，通過計算對ω(λ)進行漸近估計，這里主要用到定積分計算的分部積分法．

φ2(0，λ)=0，ψ2(0，λ)=1，

所以，整函數(shù)ω(λ)關(guān)于λ的漸近估計式如下：

參考文獻：

[1] Hurwitz W．An expansion theorem for a system of linear differential equations of the first order[J]．T rans Amer Math Soc，1921(22)：526-543．

[2] Levitan B M，Sargsjan I S. Sturm-Liouville and Dirac Operators[M]．Boston：Kluwer Academic Publishers, 1991．

[3] Levitan B M，Sargsjan I S. Introduction to Spectral Theory, Selfadjoint Differential Operater[M]．Rhode Island：American Mathematical Society Providenee,1975．

[4] 曹策問.非自伴Sturm-Liouville算子的漸近跡[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報，1981，24(1)：84-94．

[5] 李夢如.帶有非定局邊界條件的Sturm-Liouville算子的跡[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1981(1)：1-7．

[6] 梁銀雙，夏云青．對帶有非局部邊界條件的Dirac方程的跡的研究[J]．中州大學(xué)學(xué)報，2011，28(2)：119-123．

[7] Abdukadyrov E.Calculation of the regularized spur for the Dirac system[J]．Journal of Moscow University， 1967(4)：17-24．