李文清 , 張能偉

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系,河南 鄭州 450052; 2.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系,河南 鄭州 451191;3.安陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽 455002)

Kdv方程已成為數(shù)學(xué)物理的基本方程之一，有關(guān)的研究十分活躍.1972年，Benjamin,Bona和Mahony在水波研究時提出了BBM方程[1]

ut-uxxt+ux+uux=0，

(1)

并斷言這是比Kdv方程更合適的數(shù)學(xué)物理方程.方程(1)是作為Kdv方程的精確解提出的[2]，文獻(xiàn)[3]討論了具有耗散項(xiàng)的一維廣義BBM-Burgers方程ut+f(u)x-αuxxt-βuxx+γuxxxx=0.文獻(xiàn)[4]研究了BBM-Burgers方程ut-uxxt-αuxx+ux+uux=0解的衰減.

對于小初值問題，在文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]中,作者討論了一維廣義BBM方程ut-uxxt+ux+upux=0的解的衰減估計(jì)，在文獻(xiàn)[7]中作者研究了下列廣義BBM-Burgers方程的初值問題

的解的存在性.

而本文研究如下四階線性拋物型方程的初邊值問題

的整體廣義解.

在此文中，我們分別記‖·‖LP(Ω)(1≤p≤∞)和‖·‖Hk(Ω)(k為非負(fù)整數(shù))為‖·‖p與‖·‖Hk，特別地，‖·‖=‖·‖2，Ω=(0，1).

1 問題(2)～(4)整體廣義解的存在唯一性

設(shè){yn(x)}是下列常微分方程特征值問題

對于特征值λn(n=1，2，…)的特征函數(shù)構(gòu)成L2(Ω)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基 .

(5)

(6)

方程(5)和初始條件(6)分別乘以ys(x)并在Ω上積分

(7)

(8)

由Levay-Schaulder不動點(diǎn)原理和常微分理論可以得到初值問題(7)、(8)在[0，T]上存在解αN，s(t)∈C′[0，T].

將(7)式乘以αN，s(t)，對s=1，2，…，N求和得

(uNt，uN)-(uNxxt，uN)-(uNxx，uN)+(uNxxxx，uN)=(F，uN)，

由Gronwall不等式得

(9)

(uNt，uNx4)-(uNxxt，uNx4)-(uNxx，uNx4)+(uNxxxx，uNx7)=(F，uNx4),

由Gronwall不等式得

(10)

將(7)式乘以-λsαN，s(t)，對s=1，2，…，N求和得

-(uNt，uNx2t)+(uNx2t，uNx2t)+(uNxx，uNx2t)-(uNx4，uNx2t)=-(F，uNx2t)，

由Gronwall不等式得

(11)

所以由(9)、(10)、(11)得

(12)

并且uN∈C([0，T]，H4(Ω))，uNt∈C([0，T]，H2(Ω))，利用Sobolev嵌入定理知：

故由弱緊性定理可得，問題(2)～(4)存在唯一整體廣義解

u(x，t)∈C([0，T)，H3)∩L2([0，T)，H4)ut∈L2([0，T)，H2)且

故有以下定理 .

定理設(shè)u0(x)∈H3(Ω)，F(xiàn)(x，t)∈L2(QT),則問題(2)～(4)存在唯一整體廣義解u(x，t)∈C([0，T]，H3(Ω))∩L2([0，T]，H4(Ω))，ut∈L2([0，T]，H2(Ω)),且有估計(jì)

其中，C1(T)是依賴T的非減函數(shù)，QT=Ω×(0，T).

參考文獻(xiàn)：

[1] Benjam T B,Bona J L,Mahony J J.Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems[J].Philosophical Transactions of Royal Society ，1972(272)：47-78.

[2] Medeiros L A, Perla M G.Existence and uniqueness for periodic solutions of the Benjamin-Bona-Mahong equation[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis，1977(8)：792-799.

[3] Zhao H，Admas R A.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term II: the multidimensional case[J].Applicable Analysis，2000，75(1/2)：107-135.

[4] Albert J.Dispersion of low energy waves for the generalized Benjamin-Bona-Mahong equation[J].Journal of Differential Equations，1986(63)：111-134.

[5] Biler P.Long time behavior of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahong equation in two space dimensions[J].Differential and Integral Equations, 1992(5)：891-901.

[6] Albert J.On the decay of solutions of the generalized Benjamin-Bona-Mahong equation[J].Mathematical Analysis and Applications,1989(63)：527-538.

[7] Zhao H.Optimal temporal decay estimate for the solution to the multidimensional generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Applicable Analysis ,2000,75(1/2)：85-105.