薛鳳祚《正弦》一書研究

楊澤忠

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南 250014)

薛鳳祚《正弦》一書研究

楊澤忠

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南 250014)

《正弦》是薛鳳祚的重要譯著之一。深入分析此書中的內(nèi)容、方法和數(shù)值等，可以發(fā)現(xiàn)，盡管書中給出的內(nèi)容稍顯繁亂，但思路是明確的，方法是科學(xué)的，計(jì)算是正確的;書中內(nèi)容主要來自斯蒂文的《數(shù)學(xué)記憶》一書第一部分的第一卷“正弦表制作方法”;薛鳳祚在編譯此書時(shí)并非墨守成規(guī)，而是在底本方法的基礎(chǔ)上給出了一種更為合理和經(jīng)濟(jì)的新方法，以精密快捷的計(jì)算推進(jìn)了當(dāng)時(shí)正弦函數(shù)造表方法的研究。

薛鳳祚;正弦;制作方法;三角函數(shù)

一、引言

在薛鳳祚的《歷學(xué)會通》中有《正弦》一卷。此書主要介紹了西方正弦函數(shù)表的做法，是薛鳳祚和穆尼閣的重要譯著之一。薛鳳祚在此書的序言中說:“天文各線皆圈線也，而各種取用之嫌，以方代圓，所差甚微。作法者殆疑神授，非人力也……往年予與穆先生重譯于白下，今天學(xué)且竣，溯流窮源更授此學(xué)，弁諸法之前?！雹傺P祚:《正弦法原敘》?？墒?，長期以來卻少有對此書的研究。僅有的個(gè)別研究得出的結(jié)論還是消極的，如清初歷算名家楊作枚曾說:“薛青州做正弦解，亦僅依式推衍，未能有所發(fā)明?！雹诿肺亩?《解八線割圓之根》，《兼濟(jì)堂篆刻梅勿庵先生歷算全書》，咸豐九年(1859)。李儼也說:“(薛鳳祚的做正弦表方法)大致本諸《大測》?！雹劾顑?《中算史論叢(第三集)》，科學(xué)出版社1954年版。此書是否真的如上所說?筆者在研讀此書時(shí)發(fā)現(xiàn)并非如此，本文擬就這個(gè)問題做一闡述，以求教各位方家。

二、《正弦》的主要內(nèi)容及科學(xué)性

《正弦》一書共分六部分，即:正弦解釋;求間隔三度七十五分的正弦函數(shù)值;求間隔七十五分的正弦函數(shù)值;求間隔二十五分的正弦函數(shù)值;求間隔一分的正弦函數(shù)值;正余割和正余切函數(shù)，主要介紹了正弦函數(shù)的概念、幾何意義和九十度以內(nèi)值的算法，其它部分不及整個(gè)篇幅的十分之一。

其求正弦函數(shù)值依據(jù)的基本原理是單位圓內(nèi)正弦函數(shù)的幾何意義。文中作者說:“各度數(shù)之弦即線之半……此作表之根?！蔽闹惺褂玫墓接形鍌€(gè)，即:

文中給出的求九十度內(nèi)正弦函數(shù)值的做法程序是:

首先，規(guī)定將圓半徑分為10000000份，圓周分為90000(先分為90度，然后每度再分為100份)。利用正弦定義，得出九十度的正弦值。

其次，通過做圓內(nèi)接正六邊形，得出六十度圓心角所對的弦長，然后根據(jù)基本原理，得出三十度的正弦值。并利用公式1和2得出六十度的正弦值。

第三，根據(jù)正弦定義和基本原理求出了四十五度的正弦值。

第四，利用公式3求出十五度、七度五十分、三度七十五分、二十二度五十分和十一度二十五分的正弦值。

第五，利用十五度和三度七十五分的正弦值再求出與之相關(guān)的正弦函數(shù)值。

第六，藉此再求出了它們的余角和余角半角的正弦函數(shù)值。至此“隔三度七十五分表已具?！?/p>

第七，通過做圓內(nèi)接正五邊形，求出三十六度的正弦值。

第八，用上述公式，求出其半角、半角的半角、半角的半角的半角……的正弦值，再求出其余角的正弦值，再求出其余角半角或其半角的半角的正弦值。

第九，利用三十度和五十四度的正弦值與公式4求出12度的正弦值。

第十，利用公式1、2求出十二度的半角、半角的半角……的正弦值，求出其每個(gè)余角的正弦值，再求出其余角每個(gè)半角或余角等的正弦值。至此“以上共一百二十，前后皆隔七十五分。”

第十一，利用七十五分和一度五十分的正弦值，構(gòu)造如下的差分公式求出了一度的正弦值，并求出了五十分的正弦值。

十二，利用五十二度五十分和五十分的正弦值，運(yùn)用公式4再求出二十六度的正弦值，又利用公式1、2求出了六十四度的正弦值。

十三，“以下平分，隔二十五度表皆全?！?/p>

十四，其它未知角度的正弦值可用公式5求出。比如

這個(gè)程序能否求出全部的九千個(gè)正弦函數(shù)值呢?經(jīng)筆者驗(yàn)證，完全可以!利用通過幾何意義得到的九十度、六十度、四十五度和三十度的正弦值，反復(fù)使用前三個(gè)公式可以求出九十度內(nèi)容間隔三度七十五分的所有二十四個(gè)正弦值。利用三十六度的正弦值，反復(fù)應(yīng)用前三個(gè)公式，又可求出三十二個(gè)正弦函數(shù)值。求出十二度的正弦值之后，再反復(fù)使用前三個(gè)公式，又可求出六十四個(gè)正弦值。這樣間隔七十五分的正弦值就全部求出了(見附錄一)。然后，待一度的正弦值求出，利用上述公式又可得到四個(gè)角度的正弦值。待二十六度的正弦值求出之后，反復(fù)使用前三個(gè)公式，又可得到一百九十二個(gè)角度的正弦值(見附錄二)。這樣間隔二十五分的共計(jì)三百六十角度的正弦值基本上就全部求出了。最后，再利用公式五即可求出全部的間隔一分的正弦函數(shù)值。

另外，筆者將《正弦》一書中給出的間隔七十五分角度的正弦值逐一進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)其與利用現(xiàn)代工具計(jì)算器求得的值幾乎完全一致，僅有八個(gè)值有誤差，并且誤差也多在10－6即百萬分之一以下。

所以，《正弦》一書給出的方法盡管略顯繁雜，但其合理性、科學(xué)性和可操作性均不容懷疑。

三、《正弦》一書內(nèi)容的來源

《正弦》一書給出的方法來自哪里?是否誠如前人所說“本《大測》諸法”?筆者認(rèn)為這要看兩個(gè)方面:一是二者的方法是否一致——畢竟《大測》一書成書在前，《正弦》一書成書在后;二是二者的來源是否相同。

《大測》一書成于1630年左右，早于《正弦》成書20余年，是瑞士傳教士鄧玉函(JohannTerrenz，1576—1630)為《崇禎歷書》的編纂而撰寫的。此書主要介紹了三角函數(shù)的概念和正弦函數(shù)的造表法，書中給出的正弦函數(shù)造表程序是:

首先，將半徑分為10000000份。然后做圓內(nèi)接正三、四、五、十和十五邊形，求得其邊長對應(yīng)的份數(shù)，再然后利用正弦函數(shù)的幾何意義求得六十度、四十五度、三十六度、三十度、十八度和十二度的正弦值。這種方法在《大測》中稱之為“六宗率”。

其次，對于其它三角正弦值，利用以下六個(gè)公式求出:

作者稱前三個(gè)公式為“三要法”，后二個(gè)公式為“二簡法”。

作者說:“有前六宗率為資，有后三要法為具，即可作大測全表?！痹诖撕笞髡吲e例給出了九十度內(nèi)由十二度衍生出來的50個(gè)正弦函數(shù)值(六十進(jìn)制的，最小的為45分的正弦值)。并說:“其余五形如三邊、四邊、五邊、六邊、十邊形亦如前法作此，既畢即大測表之大段全具矣?！雹汆囉窈?《大測》，《新法算書》。

第三，至于每一分的正弦值，作者介紹說可用比例法，也就是可用公式6便可求出。

由此看出，《正弦》一書中給出的正弦值的求法的確與《大測》一書中給出的方法在某些方面有些相似，比如二者都是從三角函數(shù)的幾何意義出發(fā)的，都使用了正余弦函數(shù)關(guān)系的公式，都使用了相同的正弦半角公式，都對小角度使用了比例法，都有著相同的思路等。但是，二者還是有著明顯的不同。

首先，《大測》一書使用了做圓內(nèi)接正十邊形來求十八度，《正弦》一書沒有;第二，《大測》一書使用了上述公式4和5，而這在《正弦》一書中沒有;第三，《正弦》一書中求十二度的正弦值使用的是兩角差的半角公式，而不是作圓內(nèi)接正十五邊形求半角的方法;第四，《正弦》一書中利用兩角差的半角公式計(jì)算了二十六度的正弦值，而這在《大測》中沒有。所以，說《正弦》一書的方法“大致本《大測》諸法”從內(nèi)容上來看極為牽強(qiáng)。

下面再來看二者的來源。關(guān)于《大測》的來源，經(jīng)白尚恕先生考證，其底本主要是波蘭數(shù)學(xué)家畢的斯克斯(B．Pitiscus，1561—1613)于1595年寫成的《三角學(xué)》一書(Trigonometriae)②白尚恕:《介紹我國第一部三角學(xué)——〈大測〉》，《數(shù)學(xué)通報(bào)》1963年第2期。。其內(nèi)容主要編譯于其第一部分(共三部分)的第二卷(共五卷)。那么薛鳳祚《正弦》一書的內(nèi)容來自哪里呢?此前尚無有研究。為了弄清這個(gè)問題筆者對明末清初之際西方傳教士帶來的西方三角書籍進(jìn)行了檢查，并根據(jù)數(shù)學(xué)史提供的線索對西方十八世紀(jì)之前出現(xiàn)的三角學(xué)著作也做了大量排查，最終發(fā)現(xiàn)，薛鳳祚的《正弦》一書內(nèi)容與十六世紀(jì)末期荷蘭數(shù)學(xué)家斯蒂文(S．Setvin，1548—1620)于1608年出版的《數(shù)學(xué)記錄》(Hypomnemata mathematica)中的部分內(nèi)容非常相近。

斯蒂文于1548年生于比利時(shí)，1577年定居于荷蘭。其以機(jī)械制作和工程建筑聞名于世。也許由于工作的原因，其特別重視數(shù)學(xué)和物理學(xué)。在物理上，其深入研究了靜力學(xué)和流體力學(xué)，早伽利略五年做過“兩個(gè)鐵球同時(shí)落地”的實(shí)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)上，其深入研究了小數(shù)，在歐洲出版了第一部關(guān)于小數(shù)的著作《論十進(jìn)》(La Theinde，1585)。此外，其還研究過透視學(xué)、極限方法、聲樂和辯論術(shù)，在歷史上第一次使用了加號“+”、減號“–”和開方符號“√”等等③Simon Stevin．http://www － history．mcs．st－ andrews．a(chǎn)c．uk/Biographies/Stevin．html，2009 －12 －12。。

《數(shù)學(xué)記錄》是一部數(shù)學(xué)著作合集，共包含了斯蒂文的三部數(shù)學(xué)著作，即:《三角學(xué)》、《測量學(xué)》和《透視學(xué)》。此書最初版本是德文的，同年即被翻譯成拉丁文和法文再版，由此可略見此書在當(dāng)時(shí)的受歡迎程度。此書被翻譯成拉到文之后在歐洲學(xué)術(shù)界廣泛傳播。明朝末年金尼閣(Nicolas Trigault，1577—1628年)等西方傳教士來中國之際也將此書傳播到了我國，現(xiàn)在在北堂圖書館館藏中就有此一本。據(jù)我國數(shù)學(xué)史家白尚恕先生研究，鄧玉函在編寫《大測》時(shí)還曾參考過此書。

此書的第一部分《三角學(xué)》又分為四卷，第一卷名稱為“正弦表制作方法”(Sinuum Canonibus Fabricandis);第二卷名稱為“平面三角”(Triangulis Planis);第三卷名稱為“球面三角”(Spaericis triangulis);第四卷名稱為“天球問題”(Caelestium sphaerarum problematis)。在第一卷“正弦表制作方法”中作者給出一個(gè)九十度內(nèi)間隔一分(六十進(jìn)制)的正弦函數(shù)表、一個(gè)正切函數(shù)表和一個(gè)正割函數(shù)表。在正弦函數(shù)表之前，作者對于如何求出正弦函數(shù)進(jìn)行了詳細(xì)說明。

首先，作者給出了九個(gè)與三角函數(shù)有關(guān)的定義，有:弧角(Arcus anguli，est segmentum semiperipheriae a cruribus comprehensum，e vertice anguli tanquam centro delineatae)、正弦(sinus，est recta ab arcus termino in diametrum perpendicularis)正矢(Sinus－sagitta est segmentum diamctri a perpendiculo sinus perpheriam)、余弧(Arcus differentiae，est differentia positi arcus a quadrante)、余角(Angulus differentiae，est differcentia positi anguli a recto)補(bǔ)角弧(complementum semiperipheriae，est arcus qui dato additus semiperipheriam complet)正切角(Tangens anguli，est recta parallela sinui，altero termino tangens extremum arcus anguli＆ intercepta a reliquo crure ulterius producto)、正割(Secan，est anguli crus alterum ad tangentem usque extra peripheriam productum)、已知直線或角(Cognitas lineas aut angulos dicimus，quorum quantitas numero explicatur)。

然后作者給出了十個(gè)命題，并都給出了具體解釋和證明:

1．Cognitis semidiametro＆sinu anguli differentiae sinum cognitum reddere(已知半徑和一個(gè)角的正弦，則其余角的正弦可求出);

2．Cognita sagitta＆semediametro:sinum semissis eiusdemarcus cognitum reddere(已知一個(gè)角的正矢和半徑，則這個(gè)角一半的正弦可求出);

3．Ccognitis semidiametro，＆ duorum arcuum，＆ arcuum differentiae sinibus:chordamarcus quainter se discrepant invernire(已知半徑和兩弧以及它們余角的正弦，則兩弧之間的弧所對的圓心角的一半的正弦可求出);

4．Posita semidiametro circuli 1000000000:＆ sinus＆ arcuum differentiae sinus e continua bisectione 90 graduum derivatorum，donec ad impairs numeri scrupula prima deventum sit，invenire(假設(shè)圓的半徑分為1000000000，則90度的半角和半角的半角以及這些角的余角的正弦都是可以求出的);

圖1

5．Posita semidiametro circuli 1000000000:arcus 36 grad．＆ arcus differentiae sinum，omniumquearcuum，＆arcuum differentiae e continua bisectione 36 grad．derivatorum，donec ad impairs numeri scrupula prima deventum sit，sinu invenire(假設(shè)圓的半徑分為1000000000，則36度及其余角的半角和半角的半角以及這些角的余角的正弦值都是可以求出的);

6．Posita semidiametro circuli 1000000000:arcus 30 grad．＆ arcus differentiae sinum，item omniumarcuum，＆ arcuum differentiae sinus e continua bisectione 36 grad．donec ad impairs numeri scrupula prima deventum sit，derivatorum sinu invenire(假設(shè)圓的半徑分為1000000000，則30度及其余角的半角和半角的半角以及這些角的余角的正弦值象36度角那樣也都是可以求出的);

7．Posita semidiametro circuli 1000000000:arcus 12 grad．＆ arcus differentiae sinum，item omniumarcuum，＆ arcuum differentiae sinus e continua bisectione 12 grad．donec ad impairs numeri scrupula prima deventum sit，derivatorum sinu invenire(假設(shè)圓的半徑分為1000000000，則12度及其余角的半角和半角的半角以及這些角的余角的正弦值也都是可以求出的);

8．Si in quadrante circuli perpendiculars a terminis aequalium arcuum secent semidiametrum，segmentum propius centro erit majus remotiore(四分之一圓中從相等的兩段弧的兩端向半徑做垂線，得到的兩個(gè)線段中，靠近圓心的大于另外一條);

9．Posita semidiametro circuli 1000000000:1 grad．＆ arcus differentiae sinum，item omniumarcuum，＆ arcuum differentiae sinus e continua bisectione 1grad．donec ad impairs numeri scrupula prima deventum sit，derivatorum invenire(假設(shè)圓的半徑分為1000000000，則1度及其余角的半角和半角的半角以及這些角的余角的正弦值也都是可以求出的);

10．Ad inventos sinus aequali intervallo 15’crescents:reliquos minutim ad scendentes addere(15’以內(nèi)的每一分的的正弦值已知了則其余的比較小的角度的正弦值即可求出)．

在命題1的證明中作者在說明勾股定理的基礎(chǔ)上給出并使用了兩個(gè)公式α)=cosα。

在命題4的證明中作者利用上述半角公式給出了四十五度、二十二度三十分(六十進(jìn)制的)、六十七度三十分、十一度十五分、七十八度四十五分、三十三度四十五分和五十六度十五分的正弦函數(shù)值。

在命題5中作者通過分析圓內(nèi)接正五邊形的邊長，給出了與三十六度相關(guān)的三十二個(gè)角度的正弦值，如圖1所示。(至此間隔三度四十五分的所有角的正弦值都求出。)

在命題6的證明中作者首先利用圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，求出了三十度的正弦值，然后又利用上述半角公式給出了十八個(gè)與三十度有關(guān)的半角和余角正弦值。

在命題7中作者利用五十四度和三十度的正弦值，命題三中的公式計(jì)算出了十二度的正弦值，并給出了與之相關(guān)的六十四個(gè)正弦值。

至此，作者說間隔四十五分(六十進(jìn)制的)的正弦函數(shù)值共一百二十個(gè)就全部算出來了。

在命題9中，作者結(jié)合命題8利用四十五分和一度三十分討論了1度角的正弦值，最后利用如下平均數(shù)公式求出了1度的正弦值:

并由此討論了半角三十分的正弦值和十五分正弦值。并在后面詳細(xì)介紹了比較小的正弦值的求法(Defabrica sinuum):比例法(Si qua dubitation ex istiusmodi ratiocinio existere posset)。即相近的兩個(gè)角度的正弦值可用如下公式來計(jì)算:α:sinα=β:sinβ

在命題10中，作者利用上述公式詳細(xì)說明了每一分正弦值的求解方法。

由此，可以看出在具體的正弦值的求解思路上，薛鳳祚介紹的和本書作者給出的完全一致。二者都是從求九十度、四十五、三十度、十二度等特殊角開始的，都主要使用的是上述五個(gè)公式。都是先求出間隔三度四十五分角的正弦值，再求出間隔四十五分的角的正弦值，然后再求出一度角的正弦值，最后利用比例法求出間隔一分的角的正弦值。

圖2

這個(gè)過程中，使用的公式二者使用的公式完全一樣。

另外，在具體細(xì)節(jié)方面，二者在一些地方更是極為接近。比如在討論圓內(nèi)接正五邊形的邊長時(shí)，這里斯蒂文使用托勒密的方法給出了五邊形邊長的具體做法，薛鳳祚的介紹中也給出了具體做法，并且做法完全一致。這里作者給出的做法是:“Descripti semiciirculi ABC，semidiametros DC valet 1000000000，e cuius centro D educta BD perpedicularis sit diametro AC:＆E punctum bisecans semidiamctrum DC，connectatur cum B，ductaeque EB aequalis sit EF secan diametrum in F，recta ab F ad B erit latus quinquanguli ordinate in circulum cuiusdiametros;est AC inscrupti，demonstramte Ptolomus cap．9．lib．1．magnioperis．Quare inventa BF，cognita erit chorda72 grad．”書中給出的圖形如圖2所示。①S．Stevin．Hypomnemata mathematica．Leyden:Jean Paedts，1608．7 －8．

圖3

這段話的意思說:如圖所示，畫一個(gè)半圓ABC，半徑DC的值為1000000000，圓心為D，做BD垂直直徑AC。設(shè)E點(diǎn)是半徑DC的中點(diǎn)。將其與B連接，做與EB相等的線段EF，設(shè)其交半徑于F點(diǎn)，則FB的長即等于圓內(nèi)接正五邊形的長(證明可見托勒密的書第一卷命題9)，弦BF對應(yīng)的圓心角為72度。

薛鳳祚給出的做法是:“先畫巳子丑半圈，丑、寅、卯、辰、巳分徑。卯丑卯子皆為通弦。先分巳卯為二，即巳辰、辰卯。從辰作子辰線，辰至子與辰至寅等。寅至子亦等。以線論分，卯寅即圈十分之一，寅子即圈五分之一?！毖P祚給出的圖形如圖3所示。

還有在利用平均數(shù)來求一度的正弦值方面二者也是極為一致的。斯蒂文使用的是如圖4所示的圖形。在這個(gè)圖形中，AC分為1000000000，弧BE為一度三十分，其正弦是DE，為26176948?；F是四十五分，弧BG為一度，DI為一度的正弦，將弧BF三等分，得到K、L兩個(gè)點(diǎn)弧。GE的中點(diǎn)為M。三等分DH即四十五分的正弦13089622，得OH為4363207。用OH的長度近似代替HI的長度，則得到DI近似等于17452829。因?yàn)镺H的長度略大于HI的長度，因此得到的DI略大于實(shí)際值。用DE的長度減去DH的長度得到HE的長度為13087326，將其三等分得HI為4362442，由此得到略小于實(shí)際值的DI為1745064。求略大值和略小值的平均數(shù)，則得到一度的近似值174524。①S．Stevin．Hypomnemata mathematica．Leyden:Jean Paedts，1608．13 －14．(此處原文較長，故不錄述。)

薛鳳祚使用的是如圖5所示的圖形。在這里薛鳳祚說:“如圖，子丑一度五十分，酉乙一度，酉寅一度五十分(百分制)。酉甲七十五分，又分為三，每分二十五分。申寅一度五十分正線，申辰一度正線，申巳七十五分正弦，今求申辰一度正弦。

先有申巳七十五分正弦一三〇八九六，以三分之為四三六三二為二十五分略大者線。

圖4

先有申寅一度五十分正弦二六一八六九，內(nèi)去七十五分正弦一三〇八九六，余一三〇八七三，用以三分之為四三六二四，為二十五分略小者線。稍大者之半即一度正弦一七四五二四?！?/p>

由此，薛鳳祚的說法雖然簡單，但做法完全一樣，并且其中的說法和數(shù)值也基本上一樣的——不計(jì)數(shù)字位數(shù)和進(jìn)位制。

另外，二者的這種一致性至今未在其它的文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)。

因此，薛鳳祚《正弦》一書的底本基本可以認(rèn)定是斯蒂文的《數(shù)學(xué)記錄》中第一書的第一卷《正弦表制作方法》?！墩摇芬粫膬?nèi)容應(yīng)是薛鳳祚和穆尼閣二人在學(xué)習(xí)《正弦表制作方法》的基礎(chǔ)上又結(jié)合個(gè)人的想法(主要是將六十進(jìn)制改為百進(jìn)制)而編譯的——正如此書的署名的提示(南海穆尼閣編，北海薛鳳祚注)。

既然如此，那么當(dāng)十分肯定的說《正弦》一書給出的正弦函數(shù)表制作方法絕非源于鄧玉函的做法，而是別有來源。

圖5

四、薛鳳祚對于正弦函數(shù)表做法的研究

由上可以看出，薛鳳祚《正弦》一書的內(nèi)容主要取材于斯蒂文的《正弦表制作方法》，但二者還是有些地方不一樣。哪些地方不一樣?我們做了一下統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)主要有兩個(gè)方面:第一，《正弦》一書將角度由原來的六十進(jìn)制(度以下)改為了百進(jìn)制。第二，《正弦》一書增加了二十六度角正弦值計(jì)算。

關(guān)于第一個(gè)方面，誠然有薛鳳祚的解釋:“舊法又以六成十不能相入，乃取而通之?！雹谘P祚:《中法四線》敘言。但筆者認(rèn)為應(yīng)該還有第二層意思，即是完成前人的心愿，推進(jìn)前人的研究。

鄧玉函于1630年寫成《大測》時(shí)說:“已上所述皆遠(yuǎn)西法也，彼自度以下遁析為六十，今中歷遁用百析。為便故須會通前表為百分之表。其會通法如西六十分即中之百分，半之三十分即五十分……”③鄧玉函:《大測》，《新法算書》。在這里很明顯鄧玉函發(fā)現(xiàn)了中西法的不同，并明確給出了兩種進(jìn)制的會通辦法，但是，其終未能給出會通的結(jié)果，更未給出會通之后的正弦函數(shù)表——不能不說是一個(gè)遺憾。

還有，在《正弦》一書的序言中薛鳳祚曾說:“今舊法割圓表久鐫行世，而獨(dú)遺取正弦之法，蓋秘之也。學(xué)者求其法而不得，將并所用之法而不敢信，非作與傳之過歟。”①薛鳳祚:《正弦法原敘》。

因此，薛鳳祚的改制應(yīng)該有完成前人未盡之事業(yè)以細(xì)致的工作切實(shí)推動當(dāng)時(shí)中西數(shù)學(xué)的會通之意義。

關(guān)于第二個(gè)方面，筆者翻閱了斯蒂文《正弦表制作方法》、鄧玉函《大測》、畢的斯克斯的《三角學(xué)》以及布里格斯的《不列顛三角學(xué)》(Trigonometria Britannica)等書，均未發(fā)現(xiàn)有雷同做法，薛鳳祚在制作正弦函數(shù)表過程中引入二十六度作為特殊角尚屬首次。

薛鳳祚利用兩角差的半角公式計(jì)算出二十六度的正弦值，以二十六度為一個(gè)特殊角來計(jì)算正弦值有什么意義呢?

為了弄清這個(gè)問題，筆者沿著書中給出的思路——即是知道了一個(gè)角的正弦值之后再利用半角公式求其半角的正弦、半角的半角正弦、半角的半角的半角的正弦……，然后再利用余角公式和余角的正弦公式求其余角的正弦、所有半角余角的正弦、所有余角半角的正弦，等等——進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)這一步是非常關(guān)鍵的一步，至關(guān)重要。

這是因?yàn)椋冉堑恼抑登蟪鲋?，按照上述思路即可求出一百九十二個(gè)新的不同角度的正弦值。這些角度的正弦值與前面的一百二十個(gè)并不重復(fù)。這樣，將這二者合并起來，則(九十度內(nèi))間隔間隔七十五分和二十五分的角度的正弦值就基本齊備了——因?yàn)榫攀纫詢?nèi)間隔二十五分的角度共三百六十個(gè)，現(xiàn)在已有了三百一十二個(gè)，已達(dá)到了總體數(shù)值的百分之86．7%。而直接由二十六度出發(fā)求出的角度的正弦值又是其中的百分之61．5%，是整體所有值的53．3%。由此，二十六度角是上述算法中非常關(guān)鍵的一個(gè)角度，這個(gè)角度正弦值的求得，能極大的促進(jìn)整體角度值的快速求出。

由此看出，薛鳳祚在《正弦》一書中結(jié)合前人的理念，在具體計(jì)算方法上實(shí)際上給出了一條有別于底本作者的和其他人的新的途徑，即是:

為計(jì)算九十度以內(nèi)所有角的正弦值，先計(jì)算出與九十度、六十度、三十六度和十二度相關(guān)角(半角和余角)的正弦值，得到全部間隔三度七十五分的正弦函數(shù)表;

然后求出二十六度角和四十度(四十度角按照上述思路可以衍生出其余四十八個(gè)角度的正弦值，見附錄三)相關(guān)角的正弦值，將這些值與前面角度的正弦值相補(bǔ)，得到全部間隔二十五分的角度的正弦值;

再然后根據(jù)比例法求出二十五分之內(nèi)角度的正弦值。

這種做法與斯蒂文和鄧玉函的做法明顯不同。斯蒂文和鄧玉函都是在進(jìn)行了第一步之后差不多就開始用比例法了，沒有薛鳳祚方法的第二步。另外，這兩種途徑比較，很顯然薛鳳祚的更為清晰，充分展示了正弦函數(shù)表由特殊到一般，由疏到密的一般的制作方法。還有，薛鳳祚給出的這種途徑很顯然也是更為快捷的和經(jīng)濟(jì)的，因?yàn)槠溆泻軓?qiáng)的規(guī)律性和程序性。

由此，筆者認(rèn)為薛鳳祚在這里改革了前人的工作，另辟一條蹊徑，給出了一條更為清晰和全新的思路，提高了計(jì)算速度，以出色的工作切實(shí)推進(jìn)了當(dāng)時(shí)正弦函數(shù)表的制作方法——《正弦》一書中不能說沒有薛鳳祚的研究和創(chuàng)新。

五、結(jié)論

通過上述分析，薛鳳祚的《正弦》一書雖然和鄧玉函的《大測》在內(nèi)容思路上有些相近，但由于二者存在明顯的不同，且來源不一樣——《大測》一書的底本是畢的斯克斯的《三角學(xué)》，而《正弦》一書的底本是斯蒂文的《數(shù)學(xué)記錄》，故《正弦》中的方法絕非由《大測》中的方法而來。《正弦》一書在成書過程中，將度之下的六十進(jìn)制改為了百進(jìn)制，由于有前人的提示，應(yīng)該有進(jìn)而推之完成前人之遺愿的意義。但是，書中首先使用了二十六度做為特殊角來幫助計(jì)算間隔二十五分的角度的正弦值顯然是個(gè)創(chuàng)舉。藉此，作者實(shí)際上給出了一條比底本作者和其他學(xué)者更為清晰和快捷的計(jì)算路徑，提高了計(jì)算效率，不僅切實(shí)推進(jìn)了正弦函數(shù)值的計(jì)算，而且也推進(jìn)了當(dāng)時(shí)正弦值計(jì)算方法的研究，做出了自己的貢獻(xiàn)。由此，筆者認(rèn)為對于薛鳳祚的研究還是《清史稿》中給出的評價(jià)更為中肯，《清史稿》中講:“鳳祚定歲實(shí)秒數(shù)為五十七，與奈端合，與穆尼閣以為四十五秒者不同，則其學(xué)非墨守穆氏可知?；蜃I其謹(jǐn)守穆尼閣成法，依數(shù)推衍，非篤論也。”②趙爾巽:《清史稿》卷五百零六，列傳二百九十三。這里雖然說的是薛鳳祚的天文學(xué)，其實(shí)對于其在數(shù)學(xué)方面的會通工作也是完全合適的。

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1003－4145［2011］06－0044－07

2011－03－03

楊澤忠(1968—)，山東肥城人，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士，主要研究方向:數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育。

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