呂良軍，張 兵

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475001）

0 引言

某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油，并且要使管線建設(shè)費(fèi)用最省。 設(shè)計(jì)方案要做到在兩煉油廠到鐵路線距離與兩廠間距離不同的條件下，盡量使管線建設(shè)費(fèi)用最省。 在進(jìn)行方案設(shè)計(jì)時(shí)，若兩廠在輸油點(diǎn)到車站間有共用管線，還要考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。

1 問(wèn)題的分析

由于兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠之間的距離都不確定，各種不同情形都必須要考慮。 經(jīng)分析討論，得出了兩煉油廠位置可能存在以下5 種情形（如圖1 所示）。

圖1 兩煉油廠位置的各種情形Fig.1 Various cases of two refineries’ location

顯然，第1 種具有代表性，只要改變a、b、l 的參數(shù)值，就可以得到后幾種情形。 對(duì)于共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形，可設(shè)每千米的非共用管道費(fèi)用設(shè)為m 萬(wàn)元，每千米共用管道費(fèi)用為km(1≤k≤2)萬(wàn)元，當(dāng)k=1 時(shí)費(fèi)用相同。

2 模型建立與求解

非線性規(guī)劃的模型[1]一般可寫為：

其中X=(x1,x2, ……,xn)T表示n 維向量X∈D，D稱為可行域。 把滿足條件的解稱為可行解，所有可行解的集合即為可行域D，簡(jiǎn)記為minf(X)。 非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，從廣義上說(shuō)，也是約束條件下的極值問(wèn)題。

對(duì)于多變量函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中求極值的法則z=f(x1，x2，,……，xn)中，求已給域上的極值點(diǎn)和極值，必須使偏導(dǎo)數(shù)等于零，即fxi'=(x1，x2，……，xn)=0(i=1，2，…，n)。

圖2 兩煉油廠位置的一般情形Fig.2 General cases of two refineries’ location

現(xiàn)以鐵路線所在的直線為x 軸，A 廠到車站的垂線所在的直線為y 軸，O 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2 所示）。 設(shè)兩廠所鋪設(shè)的管線的交點(diǎn)E 的坐標(biāo)為E (x,y), 廠距離鐵路的垂直距離為a， B 廠距離鐵路的垂直距離為b，OC=1，則A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，a),B(l,b)每千米的非共用管道費(fèi)用設(shè)為m 萬(wàn)元， 每千米共用管道費(fèi)用設(shè)為km 萬(wàn)元。 則建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的數(shù)學(xué)模型如式（2）所示：

設(shè)m=1，分別對(duì)x，y 求偏導(dǎo)函數(shù)得：

下面對(duì)兩煉油廠到鐵路距離與兩廠間距離不同情況進(jìn)行討論，不妨假設(shè)a≤b。

圖3 不同情形下的管線路徑Fig.3 Pipeline routes under different situations

對(duì)共用管道費(fèi)用與非共用管道費(fèi)用相同的情形，只需在上式中令k=1 即可。

3 實(shí)例應(yīng)用

現(xiàn)有兩煉油廠的具體位置如圖4 所示。 需要根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。 管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別為輸送A 廠成品油的每千米5.6 萬(wàn)元，輸送B 廠成品油的每千米6.0 萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2 萬(wàn)元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。 為對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請(qǐng)3 家工程咨詢公司（其中公司1 具有甲級(jí)資質(zhì)，公司2 和公司3 具有乙級(jí)資質(zhì)）進(jìn)行了估算。 估算結(jié)果如表1 所示：

表1 工程附加費(fèi)用估算Table 1 Engineering extracharge estimation

請(qǐng)給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。

圖4 兩煉油廠的具體位置Fig.4 Two refineries’ location

3.1 附加費(fèi)用的估算

在對(duì)該附加費(fèi)用進(jìn)行估算時(shí)，由于聘請(qǐng)的工程咨詢公司存在資質(zhì)的不同，為更好地計(jì)算出結(jié)果，首先需要對(duì)3 家公司附加費(fèi)用的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

通過(guò)表1， 引入3 家公司資質(zhì)及附加費(fèi)用兩個(gè)因素對(duì)基建的影響程度的大小的比值，得到一個(gè)對(duì)比矩陣[2]如下：

其中R（1，2）=3，即表示公司1 資質(zhì)及附加費(fèi)用兩個(gè)因素對(duì)基建的影響程度與公司2 的比值為3，R(2，3)=1，即表示公司2 資質(zhì)及附加費(fèi)用兩個(gè)因素對(duì)基建的影響程度與公司3 的比值為1。 利用MATLAB， 求出對(duì)比矩陣R 的最大特征根λ=2.8017， 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量n 為(0.9045,0.3015,0.3015)，歸一化后，為（0.6，0.2，0.2）。 該結(jié)果是3 家公司對(duì)基建影響分別所占的權(quán)重，得出處理后估算的附加費(fèi)用值

3.2 建立模型及求解

圖5 坐標(biāo)系中的兩煉油廠位置Fig.5 Two refineries’ location in coordinate system

建立如圖5 所示的坐標(biāo)系，點(diǎn)H 為城郊分界線與管線的交點(diǎn)。 建立的數(shù)學(xué)模型為：minz=5.6×。分別對(duì)x1,y1,y2求偏導(dǎo)數(shù)，并令。 用matlab[3]解此方程組，得x1=6.7337,y1=0.1389,y2=7.2796。 代入目標(biāo)函數(shù)得：Zmin=251.9685。

3.3 模型檢驗(yàn)

用優(yōu)化軟件LINGO[4]在區(qū)域范圍內(nèi)搜索檢驗(yàn)，程序如下：

min=(((5-y1)^2+x1^2)^(1/2))*5.6+(((15-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)+(25+(8-y2)^2)^(1/2))*6+y1*7.2+(25+(8-y2)^2)^(1/2)*21.4。

運(yùn)行結(jié)果為：z=251.4633,X1=6.735476,Y1=0.1376764,Y2=7.276816. 其結(jié)果與本文所建立的模型計(jì)算結(jié)果基本相一致。

4 結(jié)語(yǔ)

本文全面討論各種條件下的管線布置的優(yōu)化問(wèn)題，并建立起與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件和方法，得出最優(yōu)解，選擇出最佳輸油管的設(shè)計(jì)方案，并計(jì)算出建設(shè)管線的最省費(fèi)用。 采用實(shí)際例子加以討論、分析和檢驗(yàn)，以期使之更具有實(shí)用和推廣價(jià)值。

[1] 趙靜，但琦. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M]. 3 版. 北京：高等教育出版社，2007：90-91.

[2] 姜啟源，謝金星. 數(shù)學(xué)建模案例選集[M]. 北京：高等教育出版社，2007：169-172.

[3] 肖華勇. 基于MATLAB 和LINGO 的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M]. 西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008：2-5.

[4] 謝金星， 薛毅. 優(yōu)化建模與LINDO/LINGO 軟件[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2005：86-88.