一類創(chuàng)新型權證的數(shù)學模型

劉 易，任學敏

（同濟大學 應用數(shù)學系，上海200092）

2004年2月，國務院頒布了《國九條》，明確提出了股改的要求.股權分置改革是非流通股股東通過向流通股股東提供一定的對價作為補償，使非流通股獲得流通權，實現(xiàn)同股同價.

通常，非流通股股東用送股和認購或認沽權證的方式來支付對價，但也有上市公司（如上海醫(yī)藥和農(nóng)產(chǎn)品）送創(chuàng)新型權證，該創(chuàng)新型權證不同于一般權證的是它將股票和權證相捆綁，承諾流通股股東在一定時間后有權按約定的價格將股票出售給非流通股股東，這相當于在流通股股票里嵌入了認沽權證，從而股價將不再呈現(xiàn)幾何布朗運動.由于一般的權證定價都是假設股價服從幾何布朗運動，因此不能簡單地從股票價格出發(fā)來計算該創(chuàng)新型權證的價格.為了解決這個問題，借鑒信用風險定價理論中的結(jié)構(gòu)化方法.結(jié)構(gòu)化方法由Merton［1-2］最先提出，是以公司資產(chǎn)為狀態(tài)變量，到期日資不抵債為破產(chǎn)的標準，利用期權定價理論［3］，對信用風險進行度量的方法，Black和Cox［4］提出了首次通過模型，將模型推廣到可在到期日之間發(fā)生違約的情況.本文以公司資產(chǎn)作為基本變量，采用首次通過模型，運用無套利原理建立數(shù)學模型，對有擔保和無擔保的情況進行分析，得出該創(chuàng)新型權證的定價公式.最后對不同市場變量對創(chuàng)新型權證價格的影響作了理論和數(shù)值分析.

1 數(shù)學模型

1.1 基本假設

（1）公司負債為F，公司資產(chǎn)為V，公司負債到期日為T1；其中，F(xiàn)，V是相對每份股票而言的，且由于在零時刻公司資產(chǎn)V0應該不能小于負債F，有V0≥F＞0；公司非流通股m份，流通股n份.

（2）對于公司資產(chǎn)Vt，假設其服從幾何布朗運動：

式中：μ，σ為常數(shù)，分別表示公司資產(chǎn)的期望回報率和波動率；dWt為標準布朗運動，即：

（3）創(chuàng)新型權證的價值為S（Vt，t），其到期日T≥T1，敲定價即流通股股東有權出售的股票價格為K.

（4）市場不存在套利機會，無風險利率為常數(shù)r＞0；股票無股息；無交易費和稅收.

1.2 建立方程

利用Δ-對沖原理［5］，在時間段（t，t+dt）上構(gòu)造投資組合Π，使其在（t，t+dt）時間段內(nèi)無風險，Π 是由1份創(chuàng)新型權證S和Δ份公司資產(chǎn)V組成,即:

由伊藤公式，組合在（t，t+dt）時間的收益是：

即：

由式（3），（5），可得：

1.3 有擔保和無擔保時的定解條件與求解

1.3.1 定解條件

當該創(chuàng)新型權證有擔保且不考慮擔保公司違約的情況下，如果公司資產(chǎn)V減去負債在權證到期日T的貼現(xiàn)Fe-r（T1-T）大于或等于敲定價K，在到期日T，該創(chuàng)新型權證的價格S就是V-Fe-r（T1-T）；否則，由于有擔保，在不考慮擔保方違約的情況下，在到期日，T該創(chuàng)新型權證的價格S都等于敲定價K.因此定解問題為

當該創(chuàng)新型權證無擔保且V-Fe-r（T1-T）≥K時，在到期日T該創(chuàng)新型權證的價格S即為V-Fe-r（T1-T）；否則，由于無擔保，則需做進一步的討論：如果將公司資產(chǎn)V減去負債在權證到期日T的貼現(xiàn)Fe-r（T1-T），即V-Fe-r（T1-T）這一部分全部給流通股股東，則對于流通股股東而言即可以獲得，如果V-Fe-r（T1-T）≥K，則在到期日T該創(chuàng)新型權證的價格S等于敲定價K；如果0≤V-Fe-r（T1-T）≤K（即公司資產(chǎn)大于負債，公司未破產(chǎn)），則在到期日T該創(chuàng)新型權證的價格S就等于；如果其值小于0（即公司資產(chǎn)小于負債，公司破產(chǎn)），則在到期日T該創(chuàng)新型權證的價格S等于0.因此定解問題為

1.3.2 求解方程

作自變量代換，

方程（6）可化為常系數(shù)拋物型方程

則定解問題（7）轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的初值問題

其中，

同樣的，定解問題（8）也可轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的 初值問題

作函數(shù)變換，

初值問題（11）變?yōu)?/p>

初值問題（13）變?yōu)?/p>

根據(jù)Poisson公式［6］

其中，φ（ξ）為初值.

則初值問題（15）的解為

由此可得

定理1 在有擔保情況下，創(chuàng)新型權證的定價

公式：

其中，

對無擔保的情況：

從而有：

定理2 在無擔保情況下，創(chuàng)新性權證的定價公式：

其中：

2 創(chuàng)新型權證S 與各變量之間的關系

2.1 波功率σ 與S 的關系

圖1為σ與S的關系圖，圖中，取V=10，F(xiàn)=2，K=5，T1=1.1，T=1，r=0.1，m=5，n=5.

圖1 創(chuàng)新性權證價格與波動率的關系Fig.1 Relationship between innovative warrant price and volatility

由圖1可知，創(chuàng)新型權證的價格在不同情況下有所差異，由高到低分別為有擔保情況和無擔保情況.這是因為無擔保情況相對于有擔保情況在公司破產(chǎn)時可能的獲利要小.同時，在有擔保和無擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格均隨波動率的增大而增大.這是因為波動率的增加對其價格有兩方面影響：其一是增加了在到期日公司破產(chǎn)的可能性；其二是增加了到期日獲利的可能性，但由于有非流通股東提供的保底因素，后者的影響起主導作用，因此創(chuàng)新型權證的價格隨波動率的增大而增大.

圖2 極端情況下權證價格與波動率的關系Fig.2 Relationship between innovative warrant price and volatility in extreme case

由圖2可知，這里考慮在極端情況下，即公司的資產(chǎn)大多來自于負債，這會造成破產(chǎn)可能性增大，價格的變化與圖1相似，但是由于破產(chǎn)的可能性增大而降低了權證的價格.

2.2 公司負債F 與S 的關系

取V=10，σ=1，K=5，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖3）.

創(chuàng)新性權證的價格在不同情況下有所差異，由高到低分別是有擔保情況和無擔保情況.這是因為，無擔保情況相對于有擔保情況在公司破產(chǎn)的情況下可能的獲利要小.

圖3 創(chuàng)新性權證價格與公司負債的關系Fig.3 Relationship between innovative warrant price and company’s debt

同時可以看出，在有擔保和無擔保的情況下，創(chuàng)新性權證的價格均隨公司負債的增大而增大.這是因為負債的增大增加了公司破產(chǎn)的可能性，從而減少了可能的獲利.

2.3 m／n與S 的關系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=2，K=5，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖4）.

圖4 創(chuàng)新性權證價格和非流通股與流通股股東股份的比值的關系Fig.4 Relationship between innovative warrant price and ratio of non-tradable and tradable share

由圖4可知，在無擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格隨公司非流通股股東和流通股股東所占股份的比值的增大而增大.這是因為比值的增大增加了非流通股股東在破產(chǎn)時給流通股股東的補償.

2.4 敲定價K 與S 的關系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=2，T1=1.1，T=1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖5）.

由圖5可知，無擔保情況相對于有擔保情況在公司破產(chǎn)的情況下可能的獲利要小.同時在有擔保和無擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格均隨其敲定價的增大而增大.這是因為敲定價的增大增加了可能的獲利.

圖5 創(chuàng)新性權證價格與敲定價的關系Fig.5 Relationship between innovative warrant price and strike price

2.5 無風險利率r與S 的關系

圖6 創(chuàng)新性權證價格與利率的關系Fig.6 Relationship between innovative warrant and interest rate

由圖6可知，在有擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格隨利率的增大先減后增；在無擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格隨利率的增大而增大.這是因為利率對其價格有兩方面影響：其一是利率的增加降低了在到期日的負債，增加了可能的獲利；其二是利率的增加減少了敲定價在初始時刻的現(xiàn)值.在有擔保的情況下，先受后者的影響更大，表現(xiàn)為其價格隨利率的增大而減??；隨著利率的進一步增大，前者的影響超過后者，表現(xiàn)為其價格隨利率的增大而增大.在無擔保的情況下，由于更多考慮破產(chǎn)的影響，前者對利率的影響始終占據(jù)主導地位，表現(xiàn)為其價格始終隨利率的增大而增大.

2.6 公司負債到期日T 與S 的關系

取V=10，σ=1，F(xiàn)=8，K=5，T1=1.1，t=0，r=0.1，m=5，n=5（圖7）.

由圖7可知，在有擔保和無擔保的情況下，創(chuàng)新型權證的價格均隨其到期日的增大而增大.這是因為到期日對其價格有兩方面影響：其一是到期日的增大增加了可能的獲利；其二是到期日的增大而增大了破產(chǎn)的可能性.同樣由于非流通股股東提供的保底，前者的影響起主導作用，表現(xiàn)為其價格隨到期日的增大而增大.

圖7 創(chuàng)新性權證價格與權證到期日的關系Fig.7 Relationship between innovative warrant and maturity date

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