陳希瑞，龔憲生

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400030;2.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400030; 3.重慶工商大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400067)

塑料合金關(guān)于溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型

陳希瑞1，2，3，龔憲生1，2

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400030;2.重慶大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400030; 3.重慶工商大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400067)

以經(jīng)典Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)理論為基礎(chǔ)，建立新型BTG塑料合金的改進(jìn)Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，該模型綜合描述了溫度、頻率和振幅與BTG塑料合金模量的關(guān)系.通過動(dòng)態(tài)熱分析儀DMA242，獲取了BTG塑料合金幾個(gè)溫度下，振幅恒為30 μm時(shí)的頻率掃描和幾個(gè)頻率下的恒溫幅值掃描的動(dòng)態(tài)存儲(chǔ)模量和損耗模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).首先分析頻率掃描實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，識(shí)別出各溫度下的改進(jìn)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型的系數(shù)，然后研究這些系數(shù)關(guān)于溫度的變化規(guī)律，以此建立了溫度頻率模型.其次分析幅值掃描數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)不同頻率的各實(shí)驗(yàn)振幅的模量與各自振幅30 μm的模量比值相等，所以建立了模量比值關(guān)于振幅的函數(shù)模型.將溫度頻率模型與模量比值振幅模型相乘就建立了綜合考慮溫度－頻率－振幅的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系.建立的綜合考慮溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型能準(zhǔn)確表達(dá)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).結(jié)果表明：改進(jìn)的綜合考慮溫度、頻率和振幅的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型真確合理，該模型適合于BTG塑料合金的動(dòng)態(tài)模量變化規(guī)律的描述.

塑料合金;存儲(chǔ)模量;損耗模量;分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù);本構(gòu)模型

BTG塑料合金加工工藝性能好，具有良好的摩擦磨損性能和抗疲勞磨損性能，由此材料生產(chǎn)的彈性聯(lián)軸器在使用中也表現(xiàn)出較好的隔振降噪功能.彈性聯(lián)軸器工作環(huán)境復(fù)雜，其工作啟停、速度變換頻繁，工作頻率范圍大，工作環(huán)境溫度不穩(wěn)定，波動(dòng)范圍也較大，由于其承受的載荷不均勻，外載變化沒規(guī)律，導(dǎo)致其工作時(shí)承載的外部載荷振幅頻繁變化且變化幅值大.而BTG塑料合金具有非線性粘彈特性，其存儲(chǔ)模量和損耗模量不是常數(shù)，大小會(huì)隨著其工作頻率、工作溫度和工作振幅的變化而變化.為計(jì)算BTG塑料合金的聯(lián)軸器在不同工作頻率、溫度和振幅下的強(qiáng)度或強(qiáng)度范圍，建立能夠準(zhǔn)確描述BTG塑料合金的模量關(guān)于溫度、頻率和振幅變化規(guī)律的本構(gòu)模型十分必要.

目前常用來描述粘彈材料本構(gòu)模型的幾種模型有標(biāo)準(zhǔn)流變學(xué)模型、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型、分?jǐn)?shù)指數(shù)模型和微振子模型［1－10］，研究表明，不能說某一個(gè)模型更合理更科學(xué)，針對(duì)不同的材料需不同的模型來描述，即使是對(duì)材料實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用同一模型，但采用不同的識(shí)別方法，得到的參數(shù)不同，其模型精度也不一樣［1，4－6］.實(shí)際計(jì)算表明，這些模型也不一定能夠同時(shí)準(zhǔn)確表達(dá)模量和阻尼，甚至按存儲(chǔ)模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型識(shí)別的參數(shù)，對(duì)損耗模量的描述誤差就很大，相反，按損耗模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型識(shí)別的參數(shù)，對(duì)存儲(chǔ)模量的描述誤差也很大.在前期計(jì)算中表明，標(biāo)準(zhǔn)的流變機(jī)械模型對(duì)BTG的存儲(chǔ)模量和損耗模量的變化趨勢(shì)都不能準(zhǔn)確描述.另一方面，這些模型只反應(yīng)模量或阻尼隨頻率變化的規(guī)律，模型中并未考慮溫度和振幅對(duì)它們的影響，而實(shí)際上它們受溫度和振幅的影響都很大，所以必須對(duì)這些模型加以改進(jìn)，建立能夠同時(shí)反應(yīng)溫度、頻率和振幅的本構(gòu)模型.

本文利用動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)儀器DMA242進(jìn)行了幾個(gè)溫度下的頻率掃描實(shí)驗(yàn)和幾個(gè)頻率下的幅值掃描實(shí)驗(yàn)，分析頻率掃描實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，首先建立恒振幅下考慮溫度的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型，再在此基礎(chǔ)上考慮振幅的影響，最終建立綜合考慮溫度－頻率－振幅的本構(gòu)模型.

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)粘彈本構(gòu)模型理論

單向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變的分?jǐn)?shù)階粘彈性通用一般關(guān)系為［4－9］

對(duì)式(1)進(jìn)行Fourier變換，得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)頻域模型

由式(2)可得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型頻域的復(fù)模量

其中

由式(3)可得，由一個(gè)彈簧和一個(gè)Abel粘壺［1，6］并聯(lián)構(gòu)成的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型復(fù)模量為

存儲(chǔ)和損耗模量為

其中E'為存儲(chǔ)模量，E″為損耗模量.

2 考慮溫度－頻率－振幅的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型建立及其參數(shù)識(shí)別

式(5)中表達(dá)的存儲(chǔ)和損耗模量只有頻率因素，未考慮溫度振幅的因素，而實(shí)際上模量受溫度振幅影響較大，因此根據(jù)式(5)并考慮實(shí)驗(yàn)頻率單位為Hz，再加之按存儲(chǔ)模量(或損耗模量)識(shí)別出的參數(shù)能精確表達(dá)存儲(chǔ)模量(或損耗模量)，但不能精確表達(dá)損耗模量(或存儲(chǔ)模量)，分別將考慮溫度－頻率－振幅的存儲(chǔ)和損耗模量表達(dá)為［4］

圖1為振幅30 μm時(shí)各溫度下的頻率掃描的存儲(chǔ)模量和損耗模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于此先建立識(shí)別出振幅d=30 μm時(shí)的溫度－頻率模型，即

在不引起混淆情況下，下文公式圖表中E'(f，T，d30)、E''(f，T，d30)、Q1(T，d30)、Q2(T，d30)、Q3(T，d30)、α1(T，d30)、α2(T，d30) 均 簡(jiǎn) 化 為 E'(f，T)、E''(f，T)、Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T).

根據(jù)圖1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和式(7)的模型，利用非線性最小二乘法識(shí)別出恒定振幅下溫度變量Q 1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T)在各實(shí)驗(yàn)溫度下的值，如表1所示.將各溫度下的值代入模型繪制的模型擬合曲線如圖1所示，各溫度下的擬合曲線精確地表達(dá)了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).這說明用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型來描述材料模量關(guān)于頻率變化規(guī)律是合理的，不過模型的系數(shù)是溫度的變化量，所以研究系數(shù)的溫度變化規(guī)律很有必要.由表1數(shù)據(jù)及其圖 2所示的 Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)、α2(T)關(guān)于溫度散點(diǎn)圖的分布可以看出，Q1(T)、α1(T)、α2(T)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布為一條關(guān)于溫度變量單調(diào)下降且凹的分布曲線，經(jīng)計(jì)算Q1(T)、α1(T)、α2(T)分別用式(8)、(9)的表達(dá)式形式能分別對(duì)其識(shí)別值準(zhǔn)確的擬合，Q2(T)、Q3(T)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布為關(guān)于溫度變量單調(diào)上升且凸的分布曲線，經(jīng)計(jì)算式(10)的表達(dá)形式能準(zhǔn)確表達(dá)其識(shí)別數(shù)據(jù).

根據(jù)表1各列數(shù)據(jù)及其相應(yīng)溫度變量模型，識(shí)別出的相應(yīng)系數(shù)如表2所示，將相應(yīng)系數(shù)代入各式繪制其模型擬合曲線如圖2所示，各曲線與其相應(yīng)識(shí)別值及變化趨勢(shì)相當(dāng)吻合.到此，將表2系數(shù)及式(8)、(9)和(10)代入式(7)，得出振幅d=30 μm時(shí)的溫度－頻率模型.

圖1 振幅30 μm時(shí)各溫度下頻率掃描實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型擬合曲線

表1 溫度變量Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)和α2(T)在各實(shí)驗(yàn)溫度下的識(shí)別值

圖2 溫度變量識(shí)別值及其模型曲線

表2 溫度變量Q1(T)、Q2(T)、Q3(T)、α1(T)和α2(T)模型的系數(shù)

圖3 各頻率下振幅掃描的模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其擬合曲線

基于此對(duì)振幅掃描實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步處理，由于各溫度下的頻率掃描是在恒振幅d=30 μm的工況下得到的，因此將振幅掃描的各振幅下的模量值除以振幅d=30 μm的模量值，存儲(chǔ)模量和損耗模量比值分別記為E'A/E'30和E″A/E″30，其計(jì)算結(jié)果如表3所示.

從表3數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)各頻率下在相同振幅值時(shí)E'A/E'30(或 E″A/E″30)的值相等，也就是說E'A/E'30(或 E″A/E″30)的值與頻率無關(guān).分析如圖4所示的E'A/E'30和E″A/E″30關(guān)于振幅的散點(diǎn)圖可看出，散點(diǎn)數(shù)據(jù)分布為一條關(guān)于振幅變量單調(diào)下降且凹的分布曲線，經(jīng)計(jì)算 E'A/E'30和E″A/E″30的值用式(11)的表達(dá)形式能準(zhǔn)確表達(dá)其關(guān)于振幅的變化規(guī)律.

根據(jù)表3計(jì)算的E'A/E'30和 E″A/E″30的值，按模型式(11)識(shí)別出各自系數(shù)如表4所示.根據(jù)識(shí)別出的系數(shù)繪制的模型曲線如圖4所示，表明模型式(11)能準(zhǔn)確表達(dá)比值 E'A/E'30和 E″A/E″30關(guān)于振幅的變化規(guī)律及其趨勢(shì).通過上述的計(jì)算分析可知，式(7)表達(dá)的是振幅d=30 μm的任意溫度頻率的模量變化規(guī)律，而式(11)表達(dá)的是各振幅下的模量相對(duì)振幅d=30 μm的模量的倍數(shù).由此兩者相乘可得模量關(guān)于溫度－頻率－振幅的綜合本構(gòu)模型:

表3 各振幅模量E＇(")A 與振幅30μm時(shí)模量E＇(")30的比值

圖4 E'A/E'30和E″A/E″30的計(jì)算值及其擬合曲線

表4 根據(jù)E'A/E'30和 E″A/E″30的比值識(shí)別的E'(d)、E''(d)的系數(shù)

3 討論

為定量說明模型精度，定義存儲(chǔ)模量和損耗模量的偏差為:

其中:δ'ijk、δ″ijk為在(fi，Tj，dk)點(diǎn)的偏差值;E'ijk、E″ijk為在(fi，Tj，dk)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)值;E'(fi，Tj，dk)、E″(fi，Tj，dk)為在(fi，Tj，dk)點(diǎn)的模型計(jì)算值.按上述定義，計(jì)算得偏差平方和、平均偏差平方和、均偏差、最大偏差和最大相對(duì)偏差見表5，計(jì)算結(jié)果表明，模型精度較高，能準(zhǔn)確表達(dá)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

表5 存儲(chǔ)模量和損耗模量基于偏差的統(tǒng)計(jì)計(jì)算

按經(jīng)典的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型計(jì)算，式(6)中Q 3 (T)應(yīng)等于Q2(T)，α2(T)應(yīng)等于α1(T).但分別按存儲(chǔ)模量和損耗模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按式(6)模型計(jì)算結(jié)果表明Q3(T)不等于Q2(T)，α2(T)不等于α1(T).這就表明按存儲(chǔ)模量數(shù)據(jù)及其模型識(shí)別的參數(shù)不能準(zhǔn)確表達(dá)損耗模量，同樣按損耗模量數(shù)據(jù)及其模型識(shí)別的參數(shù)不能準(zhǔn)確表達(dá)存儲(chǔ)模量，所以按傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到的復(fù)模量E*=E'+iE″中E'和E″在數(shù)量上有一項(xiàng)不準(zhǔn)確.而在應(yīng)力應(yīng)變的宏觀計(jì)算中，E*=E'+iE″中每一項(xiàng)數(shù)量上準(zhǔn)確很重要，所以將E'、E″看成各自相互獨(dú)立的量，依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)各自按式(6)的模型識(shí)別各自參數(shù)，以達(dá)到同時(shí)對(duì)存儲(chǔ)模量和損耗模量的準(zhǔn)確描述的建模方法在宏觀上是合理.

4 結(jié)論

1)對(duì)傳統(tǒng)經(jīng)典的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型進(jìn)行改進(jìn)，分別建立了存儲(chǔ)模量和損耗模量的模型，所建立模型均能準(zhǔn)確表達(dá)存儲(chǔ)模量和損耗模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，因此與經(jīng)典Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型相比，使存儲(chǔ)模量和損耗模量在數(shù)量上得到了準(zhǔn)確的表達(dá).

2)經(jīng)典的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模盡管不能在數(shù)量上同時(shí)完全精確表達(dá)存儲(chǔ)模量和損耗模量，也即是說由一個(gè)彈簧和一個(gè)服從分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Abel粘壺并聯(lián)構(gòu)成的Kelvin分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的物理模型還不能完全準(zhǔn)確反映BTG塑料合金動(dòng)態(tài)力學(xué)物理特性，但都準(zhǔn)確的表達(dá)了存儲(chǔ)模量和損耗模量的變化趨勢(shì).由此可以斷定分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的Abel粘壺反映了BTG塑料合金的粘性本質(zhì)特征.

3)結(jié)合上述兩點(diǎn)結(jié)論可以斷定，應(yīng)用多個(gè)A-bel粘壺和彈簧，采取合理的結(jié)構(gòu)形式，就可能建立能完全準(zhǔn)確反映BTG塑料合金動(dòng)態(tài)力學(xué)的物理模型，有待進(jìn)一步研究.

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Dynamic constitutive model related to temperature，frequency and amplitude for BTG plastic alloy

CHEN Xi-rui1，2，3，GONG Xian-sheng1，2
(1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China;2.College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400030，China;3.College of Mechanical Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)

We established dynamic model of modified Kelvin fractional derivative for a new type of plastic alloy BTG based on the classical Kelvin fractional derivative theory.This model describes the modulus of plastic alloy BTG affected by temperature，frequency and amplitude.The experimental data of the storage modulus and loss modulus of the frequency sweep under conditions of constant amplitude 30 μm for several temperatures and amplitude scanning under conditions of constant temperature for several frequency were obtained first，and then the temperature-frequency model and the function model of modulus ratio about amplitude was set up，finally，the dynamic constitutive model about the temperature，frequency and amplitude was presented by the product of temperature-frequency model and function model of modulus ratio.The results show that the dynamic model of modified Kelvin fractional derivative is true and suitable to express the dynamic modulus of plastic alloy BTG.

plastic alloy;storage modulus;loss modulus;fractional derivative;constitutive model

TB302.3;TB332 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1005－0299(2011)05－0120－05

2010－08－09.

重慶市科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(CSTC，2007AC3015);重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究基金項(xiàng)目(0301002109137);重慶工商大學(xué)青年科研基金資助項(xiàng)目(0752008).

陳希瑞(1974－)，男，博士;

龔憲生(1956－)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

龔憲生，E-mail:chxirui@126.com.

(編輯 程利冬)