高斯擴(kuò)散模型幾何意義的研究

鄧永懷 張新瑞 張軍英

摘要：

高斯模型是大氣預(yù)測的基本模型，我們平時(shí)用的EIAproA2008也是基于高斯模型的，只不過是同時(shí)加入了一些地形、氣象的修正。本發(fā)明通過分析高斯擴(kuò)散模型的幾何意義，了解高架點(diǎn)源排放煙氣的擴(kuò)散特點(diǎn)，根據(jù)研究結(jié)果觀察不同煙羽形狀對(duì)應(yīng)的大氣穩(wěn)定度，并結(jié)合觀察所得的大氣穩(wěn)定度，預(yù)測分析污染物經(jīng)高架點(diǎn)源排放后在評(píng)價(jià)范圍內(nèi)的濃度。

關(guān)鍵詞：

高斯模型正態(tài)分布影響預(yù)測 幾何意義

1.高斯擴(kuò)散模型簡介

C（x、y、z）=

式中：

C(x,y,z)—表示坐標(biāo)為x，y，z處污染物濃度；

He—煙囪的有效高度，m；

Q—煙囪排放源強(qiáng)（污染物單位時(shí)間排放量，mg/s）；

σy—垂直于主導(dǎo)風(fēng)向的橫向擴(kuò)散參數(shù)，m；

σz—鉛直擴(kuò)散參數(shù)，m；

u—排氣筒高度處的風(fēng)速，m/s。

高斯模式的四點(diǎn)假設(shè)為：

（1）假定大氣流動(dòng)是穩(wěn)定的、有主導(dǎo)方向的；

（2）假定污染物在大氣中只有物理運(yùn)動(dòng)、沒有化學(xué)和生物變化；

（3）假定在所要預(yù)測的范圍內(nèi)沒有其他同類污染源和匯，也就是說源強(qiáng)是連續(xù)均勻的；

（4）在有主導(dǎo)風(fēng)的情況下，主導(dǎo)風(fēng)對(duì)污染物的輸送應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于湍流運(yùn)動(dòng)引起的污染物在主導(dǎo)風(fēng)向上的擴(kuò)散，即在x方向只考慮遷移，不考慮擴(kuò)散。

2.正態(tài)函數(shù)的特點(diǎn)及幾何意義簡介

①正態(tài)分布密度函數(shù)：

，（σ＞0，-∞＜x＜∞）

其中π是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)分布的均值；σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布一般記為 。

②正態(tài)分布 的圖像是由μ和σ決定。

當(dāng)μ=0，σ分別為0.5、1、2時(shí)的正態(tài)函數(shù)圖像見圖1；

當(dāng)μ=1，σ分別為0.5、1、2時(shí)的正態(tài)函數(shù)圖像見圖2；

由圖1及圖2可見，正態(tài)函數(shù)的圖像依賴于兩個(gè)變量: σ和μ,其中σ確定了函數(shù)圖像的扁平情況；μ確定了函數(shù)圖像偏離y軸的距離，當(dāng)μ=0時(shí)函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱。

圖1當(dāng)μ=0，σ分別為0.5、1、2時(shí)的正態(tài)函數(shù)圖 圖2當(dāng)μ=1，σ分別為0.5、1、2時(shí)的正態(tài)函數(shù)圖

3．煙羽擴(kuò)散過程的分解與高斯模型的拆分

由幾何知識(shí)可知，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。經(jīng)高架源排放的煙羽擴(kuò)散時(shí)的運(yùn)移過程的特點(diǎn)，可以將其擴(kuò)散過程分解為點(diǎn)、線、面、體四個(gè)過程。

①點(diǎn)：煙氣從煙囪排出后由于其具有一定的速度，需垂直上升一段距離（抬升距離），當(dāng)其垂直上升速度達(dá)到零時(shí)，開始擴(kuò)散。將煙氣出口到其垂直上升運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)的過程稱為擴(kuò)散過程的“點(diǎn)”，在這個(gè)過程中假設(shè)煙氣沒有與周圍環(huán)境發(fā)生物質(zhì)交換，與高斯函數(shù)中對(duì)應(yīng)的量為Q和He（其中Q表示煙氣中污染物的排放量（mg/s）；He表示當(dāng)煙氣的鉛直運(yùn)動(dòng)速度為零時(shí)煙氣（污染物）所到達(dá)的高度）。此時(shí)可認(rèn)為煙氣中的各類污染物均聚集在一點(diǎn)內(nèi)，其中所包含的污染物量為Q。見圖1。

②線：當(dāng)煙氣上升至最高點(diǎn)（He）時(shí)，此時(shí)的煙氣在垂直方向的運(yùn)動(dòng)速度為零，與此同時(shí)，煙氣開始與周圍環(huán)境發(fā)生聯(lián)系。但可以假設(shè)，煙氣此時(shí)的擴(kuò)散原因僅由風(fēng)引起，即煙氣到達(dá)最高抬升點(diǎn)時(shí)，由風(fēng)將“點(diǎn)”均勻的拉開成為一條線（設(shè)煙氣所在的He高度處的風(fēng)速為u），則此時(shí)，線上各點(diǎn)的污染物量為C（x）=Q/u。見圖2

③面：風(fēng)將廢氣拉成一條線后，煙氣再與周圍的環(huán)境發(fā)生聯(lián)系，假設(shè)此時(shí)“線”上的污染物逐步進(jìn)行水平擴(kuò)散，根據(jù)高斯擴(kuò)散模型的假設(shè)條件，煙氣的擴(kuò)散遵循正態(tài)分布，即越靠近“線”中心處的污染物濃度越高，離中心線越遠(yuǎn)的地方，污染物濃度越低。

取“線”上的一點(diǎn)作為研究對(duì)象：

在水平擴(kuò)散前，“線”上任意一點(diǎn)的污染物量為Q/u，此點(diǎn)沿垂直于下風(fēng)向的方向（即x軸）擴(kuò)散（分別沿y軸的正、負(fù)方向），在發(fā)生水平擴(kuò)散后，形成一條線（此線與風(fēng)向垂直），由于線上各點(diǎn)的污染物濃度分布符合正態(tài)分布，其擴(kuò)散線長度范圍內(nèi)各點(diǎn)濃度之和等于Q/u，則線上各點(diǎn)處的污染物濃度為：

擴(kuò)散所形成的平面上各點(diǎn)濃度之和等于污染源強(qiáng)Q，即：

具體見圖3。

④體：廢氣在水平方向上擴(kuò)散后，污染物在水平方向形成一個(gè)平面（xoy面），在此平面上污染物以排氣筒下風(fēng)向軸線為中心，軸線上的污染物濃度最高，軸線兩側(cè)污染物濃度逐漸降低。

取“面”上任意一點(diǎn)為研究對(duì)象，假設(shè)此時(shí)此點(diǎn)上的污染物再沿著鉛直方向（z軸）擴(kuò)散，擴(kuò)散后形成一條線（此條線垂直于xoy面），線上各點(diǎn)的污染物濃度也符合正態(tài)分布，則其擴(kuò)散線長度范圍內(nèi)各點(diǎn)濃度之和等于C（x、y）。則線上各點(diǎn)的濃度分布符合正態(tài)分布。見圖4。

但是由于地面反射的作用，高斯模型對(duì)于地面反射的疊加效果的處理是采用鏡面法，即假設(shè)地面下同樣距離處也存在一個(gè)污染源，其與地上源的于煙羽落地處相交，此后地上煙羽各點(diǎn)濃度等于地上源煙羽與地下源煙羽濃度之和。見圖5。

對(duì)于地上源，應(yīng)其原點(diǎn)為煙囪底座高度，而煙氣開始擴(kuò)散高度的高度為He，因此在地上部分鉛直面上擴(kuò)散的正態(tài)函數(shù)中μ=He，則地上源各點(diǎn)在zox面（或平行于zox面）上各點(diǎn)的污染物濃度為：

同理對(duì)于虛擬地下源，煙氣開始擴(kuò)散的高度為-He，因此在地下部分鉛直面上擴(kuò)散的正態(tài)函數(shù)中μ=-He，可知虛擬地下源在zox面（或平行于zox面）上各點(diǎn)的污染物濃度為：

則擴(kuò)散所形成的“體”上各點(diǎn)的濃度為

C（x、y、z）= C′（x、y、z）+ C″（x、y、z）=

最終得出高斯大氣擴(kuò)散模型如下：

圖1煙羽擴(kuò)散的點(diǎn)狀圖圖2煙羽擴(kuò)散的線狀圖

圖3煙羽擴(kuò)散的水平面正態(tài)分布圖 圖4煙羽擴(kuò)散的水平面及垂直面正態(tài)分布圖

圖5地上源及虛擬地下源的煙羽擴(kuò)散圖形

參考文獻(xiàn)：[1]《大氣污染控制工程（第二版）》郝吉明馬廣大主編，高等教育出版社。

注：文章內(nèi)所有公式及圖表請(qǐng)以PDF形式查看。