羅 堯 王 慧

（1電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 610000）

（2電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610000）

非線性彈簧阻尼減振裝置的探究

羅 堯1王 慧2

（1電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 610000）

（2電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610000）

將汽車底盤(pán)減振裝置簡(jiǎn)化為以非線性彈簧、阻尼器為主的被動(dòng)阻尼式吸振器.利用Matlab軟件對(duì)其在簡(jiǎn)諧力作用下的響應(yīng)進(jìn)行定量繪圖分析，研究其振幅衰減、緩沖周期以及與由線性彈簧構(gòu)成的簡(jiǎn)單模型進(jìn)行比較，解釋了減振裝置具體的工作過(guò)程以及其中的基本工作原理.

彈簧振子；被動(dòng)式阻尼器；非線性振動(dòng)；共振；Matlab

1 引言

振動(dòng)的一種主要工程應(yīng)用即是基于彈簧阻尼減振的車輛底盤(pán)減振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)［2］.減振系統(tǒng)是衡量一輛汽車性能優(yōu)劣的重要參數(shù).在相關(guān)研究與教學(xué)中，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，大部分的案例模型往往簡(jiǎn)化為線性彈簧振子與阻尼器的并聯(lián)系統(tǒng)［8］.然而在實(shí)際生活與工程應(yīng)用中，車輛的顛簸振動(dòng)常常超出線性模型的適用范圍，繼而產(chǎn)生非線性振動(dòng)［5，6］.為了更好地研究減振裝置在非線性區(qū)域的振動(dòng)狀況，本文將在線性減振系統(tǒng)基礎(chǔ)上，將非線性彈簧阻尼系統(tǒng)引入.經(jīng)過(guò)物理建模，理論推導(dǎo)以及仿真分析［1，10］，得出更為符合實(shí)際情況的車輛減振模型，為實(shí)際工業(yè)工程生產(chǎn)提供更有參考價(jià)值的參數(shù).

2 非線性漸硬彈簧的振動(dòng)特性

最為典型的振動(dòng)模型是線性彈簧振子.對(duì)于線性彈簧振子，其振動(dòng)方式由如下微分動(dòng)力學(xué)方程惟一確定

k稱為彈簧振子的勁度系數(shù)，只由彈簧本身特性決定.彈簧振子的線性振動(dòng)僅發(fā)生在振幅較小的情況下.隨著振幅增加，或是彈簧質(zhì)量的分布不均，彈簧的振動(dòng)將趨于非線性行為.其一種典型的振動(dòng)方式由如下微分動(dòng)力學(xué)方程確定

在實(shí)際應(yīng)用中，上式多簡(jiǎn)化為如下形式

當(dāng)k2＝0且k3＞0時(shí)恢復(fù)力比線性關(guān)系所預(yù)期的值大，稱為非線性漸硬彈簧.實(shí)際生活與工程應(yīng)用中，更多的振動(dòng)都以此為基本物理模型發(fā)生在非線性區(qū)域內(nèi).對(duì)于由式（3）確定的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)忽略阻力，對(duì)其回復(fù)力

進(jìn)行積分：

式中，W 為勢(shì)能改變量.解得

分別取k1＝1，k2＝0.005，利用 Matlab繪出其勢(shì)能變化曲線如圖1所示.

圖1 勢(shì)能曲線

其曲線依然關(guān)于x＝0對(duì)稱.其勢(shì)能曲線比線性彈簧略陡，表明隨振幅增大其響應(yīng)大于線性彈簧響應(yīng)，振動(dòng)速度更快，頻率更高.設(shè)m＝1，k1＝1，x0＝0，0＝1，k3＝0或k3＝0.5，繪出其振動(dòng)曲線如圖2所示.

圖2 振動(dòng)曲線

由圖2可得，非線性彈簧振動(dòng)周期小于線性彈簧振子，振動(dòng)速度大于線性彈簧振子.

3 彈簧阻尼吸振器的激勵(lì)響應(yīng)

現(xiàn)在我們考慮由非線性彈簧振子與被動(dòng)式阻尼所組成的被動(dòng)阻尼式吸振器，研究其在受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng).對(duì)其受力以及振幅衰減特征進(jìn)行分析與研究.

對(duì)于零輸入響應(yīng)下的有阻尼非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)可由如下微分方程表征

其中，c稱為系統(tǒng)的阻尼系數(shù).

對(duì)于一輛行駛在近似平坦路面上的車輛，其遇到的顛簸可近似的由一周期性變化力F進(jìn)行表征，可設(shè)為F＝F0cos ω t，則上式可以改寫(xiě)成為如下形式

在存在阻尼的線性振動(dòng)系統(tǒng)中，強(qiáng)迫振動(dòng)位移和強(qiáng)迫力之間有一個(gè)相位差，我們可以預(yù)先確定強(qiáng)迫力的相位，繼而確定解的相位.但對(duì)于非線性阻尼系統(tǒng)，計(jì)算顯然更為復(fù)雜.一種較為簡(jiǎn)單的辦法是：固定解的相位，然后求強(qiáng)迫力的相位.即認(rèn)為解x（t）和強(qiáng)迫力間的相位差是不變的，并選取解的相位為零，而強(qiáng)迫力的相位待定.此時(shí)式（8）可取如下形式

設(shè)

其中，F(xiàn)1、F2、F0、c皆為k3的同階小量.其中F1，F(xiàn)2為周期變化力F的振幅F0正交分解后的分量，其比值為所設(shè)相位差.假設(shè)x（t）的近似解為

比較兩邊三角函數(shù)的系數(shù)并進(jìn)行整理可得

在該方程中，b表示行駛車輛的顛簸頻率，ω表示路面起伏的頻率，F(xiàn)0表示路面起伏的最大作用力，A表示車輛在整個(gè)顛簸過(guò)程中的最大振幅.

分析可得，對(duì)于周期性激勵(lì)作用下的車輛行駛顛簸，振動(dòng)的振幅隨著頻率的增加而增加.而頻率又與車輛行駛時(shí)的速度存在線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)頻率達(dá)到時(shí)振幅達(dá)到最大值，即此時(shí)車輛的振動(dòng)最為明顯.對(duì)于非線性振動(dòng)的一個(gè)有趣現(xiàn)象是，若研究方程（13）繪成的圖像便可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)振動(dòng)頻率衰減并接近某一臨界值時(shí)振幅會(huì)產(chǎn)生突然增加或突然減少的現(xiàn)象.此現(xiàn)象就是非線性阻尼振動(dòng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的跳躍現(xiàn)象.

從數(shù)學(xué)上考慮，振幅達(dá)到最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的跳躍點(diǎn)之間的振幅曲線是不穩(wěn)定的，所以跳躍現(xiàn)象的理解在數(shù)學(xué)上變成了周期解的穩(wěn)定性分析，在實(shí)際生活中也可以從車輛船舶主軸的振動(dòng)等現(xiàn)象中觀測(cè)到這種跳躍現(xiàn)象.

現(xiàn)在分析其在某一確定的但不是跳躍點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率下的衰減振動(dòng)，即給定無(wú)激勵(lì)作用下的達(dá)芬方程一個(gè)初始條件：x（t＝0）＝x0＝1（t＝0）＝0＝1.取m＝1000kg，k1＝1000.對(duì)于c以及k，我們給出如下三組數(shù)據(jù)觀察其相應(yīng)情況的變化.（1）c＝k3＝500；（2）c＝k3＝1000；（3）c＝k3＝2000.利用Matlab的微分方程解算程序解微分方程組，并繪出方程的x（t）—t圖以及v（t）—x（t）相圖如圖3、4所示。

圖3 位移時(shí)間x（t）—t圖

圖4 速度位移v—x相圖

分析圖像我們可以得出，當(dāng)取所示初始條件時(shí)，彈簧在給定一個(gè)初始瞬時(shí)激勵(lì)的作用下的振動(dòng)將根據(jù)c以及k3的變化而變化.隨著這兩個(gè)數(shù)值的增加，系統(tǒng)振動(dòng)結(jié)束的時(shí)間將縮短，當(dāng)c以及k3超過(guò)某一臨界值時(shí)，系統(tǒng)將不再做振動(dòng)而直接達(dá)到平衡位置，用時(shí)也最短.在工程應(yīng)用中，一部分減振裝置就采用達(dá)到臨界值的阻尼系統(tǒng)，以期得到最短響應(yīng)時(shí)間使系統(tǒng)振動(dòng)迅速衰減.

4 線性與非線性吸振器的對(duì)比

通過(guò)以上研究以及在參考文獻(xiàn)中對(duì)于線性被動(dòng)式阻尼吸振器的研究分析，我們可以總結(jié)出這兩種減振裝置在工作原理與實(shí)際應(yīng)用效果中的幾點(diǎn)差異.

首先，線性系統(tǒng)的微分方程式存在確定的解析解，這使得求解整個(gè)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的振動(dòng)情況變?yōu)榭赡?而對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，大部分方程需使用諸如迭代法等近似解法或者是計(jì)算機(jī)軟件諸如Matlab對(duì)其進(jìn)行數(shù)值分析以求得近似解.同時(shí)，在線性系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)中，解的形式往往可以表示成暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加之和.然而在非線性系統(tǒng)中，由于疊加定理不再適用，所以必須在考慮模型具體情況之后確定相應(yīng)的近似解法.雖然準(zhǔn)確性不能達(dá)到線性系統(tǒng)的精度，但是其精度已經(jīng)能夠很好地滿足實(shí)際工程需要，且更符合工程應(yīng)用中的實(shí)際情況.

其次，有阻尼非線性振動(dòng)的應(yīng)用前景廣泛，不僅出現(xiàn)在本文敘及的車輛減振應(yīng)用中，在無(wú)線電技術(shù)和光學(xué)等其他領(lǐng)域也有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用.它的諸如振幅在頻率改變時(shí)的跳躍現(xiàn)象等特性在車輛遭遇顛簸時(shí)的受力分析等過(guò)程中是不可忽視的影響因素，通過(guò)對(duì)這些線性系統(tǒng)所沒(méi)有的特性的研究，可得到更為優(yōu)化的解決方案.

最后須指出的是，以上針對(duì)非線性阻尼吸振的特性探討都建立在F1、F2、F0、c皆為k3的同階小量的情況之下.當(dāng)這個(gè)條件不再成立時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的模式將趨于分頻模式甚至將產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.這些現(xiàn)在作為混沌力學(xué)的理論研究范圍已經(jīng)成為了一個(gè)重要研究分支.

5 結(jié)論

本文通過(guò)引入對(duì)于非線性彈簧振子，改進(jìn)和優(yōu)化了線性被動(dòng)式阻尼吸振器的物理模型.在借助Matlab軟件的數(shù)值分析所得出的結(jié)果的基礎(chǔ)上，探討了非振動(dòng)被動(dòng)式阻尼吸振器的振幅特性，衰減特性，頻率改變時(shí)振幅的跳躍特性以及其在實(shí)際工程中所對(duì)應(yīng)的具體的物理意義.

通過(guò)這些探討我們發(fā)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)對(duì)于幾種典型激勵(lì)不同于線性系統(tǒng)的種種特性，發(fā)現(xiàn)了振動(dòng)過(guò)程中存在微擾以及渾沌運(yùn)動(dòng)的可能性，為車輛底盤(pán)以及傳動(dòng)主軸的減振吸振裝置的設(shè)計(jì)提供了一些新的思路和參數(shù)的參考，也以實(shí)例印證了計(jì)算機(jī)模擬及數(shù)值分析在現(xiàn)代物理學(xué)以及工程應(yīng)用中的重要作用.

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STUDY OF THE NONLINEAR DAMPING SPRING SHOCK ABSORBERS

Luo Yao1Wang Hui2
（1School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 610000）
（2School of Physics and Electronics，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 610000）

This article simplified the shock absorbers system of cars as a passive damping absorber model which mainly consisted of nonlinear spring and damper.We quantitatively plotted and analyzed the response of our model under a simple harmonic force with the Matlab software to study its amplitude attenuation and cushioning period.We made a comparison between our model and the model of linear spring shock absorbers to explain the technological processes and basic work theorem of the whole damping system.

spring；passive damping aperture；nonlinear vibration；resonance；Matlab

2010－09－26；

2011－01－05）