王培霞 賈育秦

(1太原科技大學(xué)物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山西太原 030024)

線性振子過阻尼和臨界阻尼特性對(duì)比研究

王培霞1賈育秦2

(1太原科技大學(xué)物理系,山西太原 030024)

(2太原科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山西太原 030024)

從理論和實(shí)例上對(duì)線性振子過阻尼和臨界阻尼特性曲線進(jìn)行分析對(duì)比,發(fā)現(xiàn)在某特定條件下過阻尼能較快地恢復(fù)到平衡位置,還發(fā)現(xiàn)從平衡位置開始的線性振子,過阻尼狀態(tài)時(shí)峰值較小,恢復(fù)時(shí)間較長;而臨界阻尼狀態(tài)下恢復(fù)時(shí)間較短,峰值較大.

線性振子;臨界阻尼;過阻尼

引 言

振動(dòng)是自然界存在的普遍現(xiàn)象,在工程技術(shù)中,如何最大限度地抑制有害振動(dòng)或利用有利振動(dòng)是非常實(shí)際和重要的課題[1],也是學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容.其中一維線性振子的阻尼運(yùn)動(dòng)是最常見和最重要的一種振動(dòng),在大學(xué)物理教材[2,3]中,只是定性畫出欠阻尼衰減振蕩曲線、過阻尼和臨界阻尼單調(diào)恢復(fù)平衡曲線.學(xué)生對(duì)此沒有深入的認(rèn)識(shí),對(duì)實(shí)際中設(shè)計(jì)阻尼器的參考價(jià)值也很有限.本文通過理論分析和實(shí)例對(duì)過阻尼和臨界阻尼特性曲線進(jìn)行對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)一些比較有趣的現(xiàn)象,不僅加深學(xué)生對(duì)阻尼運(yùn)動(dòng)的理解,也激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究物理現(xiàn)象的興趣,同時(shí)為阻尼器設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù).

1 線性振子的阻尼運(yùn)動(dòng)分類

物體以不太大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí),物體受到的阻尼力與其運(yùn)動(dòng)速率成正比,按照牛頓第二定律,對(duì)存在粘性阻尼的一維線性振子,其運(yùn)動(dòng)微分方程為[4]

其中,β為振子的阻尼系數(shù);ω0為振子的固有角頻率.欠阻尼時(shí):β＜ω0;過阻尼時(shí):β＞ω0;臨界阻尼時(shí):β=ω0.假定初始條件 x|t=0=x0和v0對(duì)式 (1)求解.

過阻尼:

臨界阻尼:

欠阻尼的特性曲線很清楚是一個(gè)振幅隨時(shí)間做周期性衰減的阻尼運(yùn)動(dòng),本文不作深入討論.

2 過阻尼分析與臨界阻尼特性曲線形狀分析

2.1 過阻尼特性曲線形狀分析

對(duì)式 (3)求導(dǎo)得到過阻尼特性曲線的速度為

求出 x過=0和過=0分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻為 t1和t2,則有

根據(jù)式 (3)、(5)、(6)從理論上研究 x0和 v0對(duì)阻尼曲線形狀的影響:

① x0＞0,v0＜ -(β+q)x0,有 t1＞0,t2＞0,x過曲線越過平衡位置,然后再趨于平衡位置,這與大學(xué)物理教材[2,3]中所描述的不同;

② x0＞0,v0=-(β+q)x0,有 t1→∞,t2→∞,x過經(jīng)足夠長時(shí)間單調(diào)地趨于平衡位置,沒有越過平衡位置;

③ x0＞0,0＞v0＞ -(β+q)x0,有 t1＜0,t2＜0,x過單調(diào)趨于平衡位置;

④ x0＞0,v0=0,有 t1＜0,t2=0,x過曲線從初始速度為零,單調(diào)趨于平衡位置;

⑤ x0＞0,v0＞0,有 t1＜0,t2＞0,先上升后單調(diào)趨于平衡位置;

⑥ x0=0,v0＞0或 v0＜0,有 t1=0,t2＞0,x過曲線從平衡位置開始,先偏離平衡位置再單調(diào)趨于平衡狀態(tài).

為了直觀地顯示過阻尼曲線,以ω0=π,β=4為例使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的過阻尼曲線,如圖1、2所示.直觀地可以看出,與以上理論分析相吻合.

2.2 臨界阻尼特性曲線形狀分析

對(duì)式 (4)求導(dǎo)得到臨界阻尼特性曲線的速度為求出x臨=0和臨=0分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻為和

根據(jù)式 (4)、(7)、(8)從理論上研究 x0和 v0對(duì)阻尼曲線形狀的影響:

①x0＞0,v0＜-ω0x0,有x臨曲線也越過平衡位置后趨于平衡狀態(tài),與大學(xué)物理教材[2,3]中所描述的不同;

②x0＞0,v0=-ω0x0,有x臨經(jīng)足夠長時(shí)間單調(diào)地趨于平衡位置;

③x0＞0,v0＜0且v0＜-ω0x0,有′＜0,′＜0,x臨曲線單調(diào)趨于平衡位置;

④x0＞0,v0=0,有x臨曲線從速度為零開始單調(diào)趨于平衡位置;

⑤x0＞0,v0＞0,有先上升然后單調(diào)趨于平衡位置;

⑥x0=0,v0＞0或v0＜0,有x臨曲線從平衡位置開始,先偏離平衡位置再單調(diào)趨于平衡狀態(tài).

為了直觀地顯示臨界阻尼特性曲線,以ω0=π為例,使用 matlab[5]作出不同 x0和 v0下的臨界阻尼曲線,如圖3、4所示.直觀地可以看出,與以上理論分析相吻合.

圖3 x0＞0時(shí)臨界阻尼曲線

圖4 x0=0時(shí)臨界阻尼曲線

3 對(duì)比分析

通過對(duì)過阻尼特性曲線和臨界阻尼特性曲線的對(duì)比分析,本文發(fā)現(xiàn)兩個(gè)有趣的現(xiàn)象.

大學(xué)物理教材中指出,臨界阻尼與過阻尼相比,恢復(fù)到平衡狀態(tài)的速度更快.本文發(fā)現(xiàn),在某個(gè)條件下,v0在 -(β+q)x0附近,過阻尼比臨界阻尼更快地恢復(fù)到平衡狀態(tài),以ω0=π,β=4為例作出圖像如圖5所示.對(duì)于該現(xiàn)象中的特殊情況,v0=-(β+q)x0時(shí) ,文獻(xiàn) [6]給出了證明.

對(duì)于線性振子阻尼運(yùn)動(dòng)中,振子偏離平衡位置的最大值 (峰值)如何,教材中很少研究[2,3],學(xué)生學(xué)習(xí)過程中對(duì)此考慮較少,但是在阻尼器設(shè)計(jì)中又是必須考慮的因素之一.本文通過對(duì)比研究發(fā)現(xiàn),對(duì)于初始狀態(tài)在 x0=0時(shí),臨界阻尼狀態(tài)下,曲線恢復(fù)到平衡狀態(tài)較快,但是在恢復(fù)過程中峰值較大;而過阻尼的峰值較小,恢復(fù)到平衡狀態(tài)卻需要較多的時(shí)間.仍以ω0=π,β=4為例,x0=0的圖像如圖6所示,有興趣的讀者可以證明之.

4 結(jié)論

通過理論分析和實(shí)例對(duì)過阻尼和臨界阻尼特性曲線進(jìn)行對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象.理論與實(shí)例相結(jié)合的方法使學(xué)生深刻生動(dòng)地理解過阻尼和臨界阻尼現(xiàn)象,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)、研究物理現(xiàn)象的能力.本文研究了不同初始狀態(tài)下過阻尼與臨界阻尼特性曲線,也為設(shè)計(jì)不同阻尼器提供了參考依據(jù).

[1] 商大鐘.動(dòng)力分析基礎(chǔ)[M].哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)出版社,2005.11

[2] 程守洙,江之永.普通物理學(xué) (第五版)[M].北京:高等教育出版社,1998.7

[3] 陳曙光,許邁昌,李光輝等.大學(xué)物理學(xué)[M].長沙:湖南大學(xué)出版社,2008

[4] 龐特里亞金.常微分方程 (第 6版)[M].林武忠,倪明康譯.北京:高等教育出版社,2006.6

[5] 周建興.MATLAB從入門到精通[M].北京:人民郵電出版社,2008.11

[6] 黃東保.線性振子過阻尼特性分析[J].大學(xué)物理,2001,20(5):14～15

COMPARATIVE RESEARCH ON LINEAR OSCILLATOR IN THE CRITICAL DAMPING AND OVER DAMPING STATES

Wang Peixia1Jia Yuqin2
(1Department of Physics,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)
(2College of Mechanical and Electronic Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan,Shanxi 030024)

Analyzing and comparing the characteristic curves of the linear oscillator in the critical damping and over damping states both in theory and practice,we found that oscillator in the over damping state can be more quickly restored to the position of equilibrium than in the critical damping state under certain conditions. In the over damping state,the peak of oscillator is smaller and the recovery time is longer,which are opposite in the critical damping state.

linear oscillator;critical damping;over damping

2010-06-14;

2010-11-13)

王培霞(1953年出生),女,太原科技大學(xué)物理系,副教授,主要從事大學(xué)物理研究與教學(xué).發(fā)表學(xué)術(shù)、教學(xué)方面論文二十多篇.賈育秦 (1954年出生),男,太原科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,教授,碩士生導(dǎo)師.