廣義正則長(zhǎng)波方程的擬緊致守恒差分格式

胡勁松，王玉蘭

（西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039）

廣義正則長(zhǎng)波方程的擬緊致守恒差分格式

胡勁松，王玉蘭

（西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610039）

對(duì)廣義正則長(zhǎng)波方程的初邊值問題進(jìn)行了數(shù)值研究，提出了兩層隱式擬緊致差分格式，該格式很好地模擬了問題的守恒性質(zhì)，得到了差分解的存在唯一性，并利用能量方法分析了該格式的二階收斂性與無(wú)條件穩(wěn)定性.數(shù)值結(jié)果表明，該格式的精度明顯好于一般的二階格式.

廣義正則長(zhǎng)波方程；差分格式；守恒；收斂性；穩(wěn)定性

在對(duì)非線性擴(kuò)散波的研究時(shí)，Peregrine在文獻(xiàn)［1-2］中提出了正則長(zhǎng)波（RLW）方程，由于它所描述的運(yùn)動(dòng)有與KDV方程相同的逼近，而且能很好地模擬KDV方程的幾乎所有應(yīng)用，因此備受關(guān)注.但是RLW方程少有解析解，所以討論其數(shù)值解法就顯得很有意義［3－7］.

其中σ和x0是任意常數(shù).因此，只要選?。瓁L，xR足夠大，則初邊值問題（1）—（3）與方程（1）的Cauchy問題是一致的.文獻(xiàn)［3］對(duì)問題（1）—（3）提出了具有二階精度的三層守恒差分格式，但三層格式在計(jì)算時(shí)不是自啟動(dòng)的；文獻(xiàn)［4］對(duì)問題（1）—（3）提出了具有二階精度的兩層守恒差分格式，但其對(duì)方程（1）中的非線性項(xiàng)（up）x的離散太過復(fù)雜，尤其是當(dāng)參數(shù)p較大時(shí)，計(jì)算耗時(shí)很大.本文在保持理論精度不變的情況下，對(duì)非線性項(xiàng)（up）x提出了比文獻(xiàn)［4］更簡(jiǎn)單的離散方法，再利用文獻(xiàn)［7-8］中的處理思想，構(gòu)造了問題（1）—（3）的一個(gè)兩層擬緊致隱式差分格式，格式合理地模擬了守恒量（4），從而適合長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算.數(shù)值算例表明，相對(duì)于一般的二階格式［4］，該格式的精度有了明顯的提高.

1 差分格式的建立和守恒律

2 差分格式的可解性

3 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性及其解的唯一性

定理5在定理4的條件下，差分格式（6）—（8）的解un以‖·‖∞穩(wěn)定.

定理6差分格式（6）—（8）的解是唯一的.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 格式1與格式2在不同時(shí)刻的l∞誤差比較

從表1可以看出，本文的格式是可行的，且格式1的精度明顯優(yōu)于格式2.

［1］ PEREGRINE D H.Calculations of the development of an unduiar bore［J］.J Fluid Mech，1966，25：321-330.

［2］ PEREGRINE D H.Long waves on beach［J］.J Fluid Mech，1967，27：815-827.

［3］ ZHANG L.A finite difference scheme for generalized regularized long-wave equation［J］.Appl Math Comput，2005，168（2）：962-972.

［4］ 王廷春，張魯明.求解廣義正則長(zhǎng)波方程的守恒差分格式［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（6）：1091-1098.

［5］ RAMOS J I.Explicit finite difference methods for the EW and RLW equations［J］.Appl Math Comput，2006，179（2）：622-638.

［6］ BHARDWAJ D，SHANKAR R.A computational method for regularized long wave equation［J］.Comput Math Appl，2000，40：1397-1404.

［7］ 王廷春，張魯明.正則長(zhǎng)波方程的新型守恒差分算法［J］.高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，27（6）：19-23.

［8］ 王廷春，張魯明.對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程的擬緊致守恒差分逼近［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2006，26A（7）：1039-1046.

［9］ 柏琰，張魯明.對(duì)稱正則長(zhǎng)波方程的一個(gè)守恒差分格式［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30（2）：248-255.

［10］ BROWDER F E.Existence and uniqueness theorems for solutions of nonlinear boundary value problems［J］.Proceedings of Symposia in Applied Mathematics，1965，17：24-49.

Pseudo-compact conservation difference scheme for generalized regularized long wave equation

HU Jin-song，WANG Yu-lan
（School of Mathematics and Computer Engineering，Xihua University，Chengdu 610039，China）

The numerical solution for an initial-boundary value problem of generalized regularized long wave equation is considered.An implicit pseudo-compact finite difference of two levels is proposed.This scheme simulates the conservation properties of the problem well.And the existence and uniqueness of the solution are obtained.It is proved that the finite difference scheme is convergent with order 2and stable without condition by the energy method.The numerical examples show that the accuracy of this scheme is better than usual difference scheme of two levels.

generalized regularized long wave equation；finite difference scheme；conservation；convergence；stability

O 241.82

110·61

A

1000-1832（2011）03-0039-05

2009-04-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（40701014）；西華大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目（XZD0910-09-1）.

胡勁松（1973—），男，碩士，副教授，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究.

陶 理）