摘要：本文結合考試大綱與2011年高考試題中的部分亮點題目，分析在新課程改革的背景下，“計數(shù)原理”在高考試題命制時的規(guī)律、特點及發(fā)展趨勢.
　　關鍵詞：2011高考；計數(shù)原理；命題規(guī)律；命題趨勢
　　
　　2011年高考已然落下帷幕，隨著新課程改革的進一步深入與實施范圍的再擴大，本文將結合2011年全國各地高考試題的命制情況，探究“計數(shù)原理”在2011年試題命制上的一些特點以及今后的發(fā)展趨勢.
　　
　　從考試大綱看“計數(shù)原理”
　　普通高等學校招生全國統(tǒng)考大綱（文理）對“計數(shù)原理”部分的要求：
　　1. 考試內(nèi)容
　　分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式；組合數(shù)的兩個性質(zhì)；二項式定理、二項展開式的性質(zhì)．
　　2. 考試要求
　?、僬莆辗诸愑嫈?shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題；
　　②理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題；
　　③理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應用問題；
　?、苷莆斩検蕉ɡ砗投椪归_式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題．
　　注：新課程標準的考試大綱（文科）對這部分不做要求.
　　從命題特點看“計數(shù)原理”
　　?搖?搖分析2011年各地高考試題，對“計數(shù)原理”的考查有這樣幾個特點：
　　1. 貼近大綱和課程標準，著重考查基本概念.本部分在命題時，嚴格按照大綱和課程標準的規(guī)定出題，重在考查學生對幾個原理和定理的掌握情況，沒有太多的知識綜合，即使綜合其他部分來出題，所結合的知識點也相對比較固定.
　　2. 題型結構與分值相對穩(wěn)定. 本部分試題考查的主要題型是選擇題和填空題，個別試卷在概率大題中用到本專題知識，一般不會重復出現(xiàn)，前者分值大約4～5分，后者多為12分左右，新課標的文科試卷中沒有本部分知識. 若出現(xiàn)創(chuàng)新元素，多為選擇或填空最后一題.
　　3. 貼近學生的實際生活. 本專題的實際問題都是每個學生熟知的事物，對每個學生都是公平的，正如課程標準中所要求的——使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力.
　　4. 試題含創(chuàng)新元素，學生答題需跳出常規(guī)思維. 這類題目不是通過背題型和知識能夠解決的，而是需要一種深度的思考. 這也符合新科程理念下命題的核心指導思想：由知識立意到能力立意，以考查主干和核心知識為載體來考查數(shù)學的思維方法.
　　從2011年的高考數(shù)學試題看“計數(shù)原理”
　　試題展示一：
　?。ê崩?5題）給出n個自上而下相連的正方形著黑色或白色. 當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖1所示：
　　
　　圖1
　　由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案有_______種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有_______種. （結果用數(shù)值表示）
　　本題答案21，43.
　　方法解析法1 當n=6時，最多可以有3個黑色正方形，用插空的方法放置，共C=4種不同的方法；有2個黑色正方形時，用插空的方法放置，共C=10種不同的方法；有1個黑色正方形時，用插空的方法放置，共C=6種不同的方法；沒有黑色正方形時，有1種方法；所以當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案有4+10+6+1=21種.
　　第二問用間接法考慮. 當n=6時，共有不同的涂色方法26=64種，減去黑色正方形互不相鄰的著色方案，還剩64－21=43種.
　　法2設個正方形時黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為an，由圖1可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推斷a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相鄰的著色方案共有21種. 第二問同解法一，故分別填21，43.
　　試題點評本道題目以分類加法原理和組合模型為基礎，采用著色問題的形式呈現(xiàn)題目，既可以用計數(shù)原理的知識解決，也可以從歸納推理入手，多角度考查考生的探究能力. 今年湖北的數(shù)學試題，在關注社會熱點、強調(diào)應用意識、引入數(shù)學史料、創(chuàng)設開放情境、體現(xiàn)大眾數(shù)學、拓展數(shù)學視野、考查探究能力等多方面不失時機地滲透新課程理念，為實現(xiàn)與明年新課程試卷的自然對接作了一些有益的嘗試.為實現(xiàn)這一目的，一方面采用多元化、多途徑、開放式的設計題目，全面檢測考生觀察、試驗、聯(lián)想、猜測、類比、探究等思維品質(zhì)，另一方面有意識地對接新課程的大眾數(shù)學思想，引導中學數(shù)學教學在知能并重的同時，拓寬學生的數(shù)學視野，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).本題系試卷中一亮點題目.
　　試題展示二：
　?。ㄉ虾＠砦?2） 隨機抽取9個同學，至少有2個同學在同一月出生的概率是________（默認每月天數(shù)相同，結果精確到0.001）.
　　本題答案0.985.
　　方法解析根據(jù)分步乘法原理，9名同學的生日分布共有129種不同的情況，如果任兩名同學的生日不相同，則共有A種不同的情況，由間接法知，至少有2個同學在同一月出生的概率是1－.
　　試題點評本題緊緊圍繞教材，依照教材的例題改編而成，考察了學生對計數(shù)原理的掌握情況，同時本題也是概率論的經(jīng)典問題，用以說明有些直觀想法可能與實際結果相差很遠，間接告訴人們要理性分析科學問題. 今年上海卷的考題，著重考查高中數(shù)學的基本知識與基本內(nèi)容，本著有利于推進素質(zhì)教育、有利于高校選拔新生、有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)新和實踐能力的原則來設計. 如同本道題一樣，題目大多立足于數(shù)學學科的特點，鼓勵中學數(shù)學教學在合理的范圍內(nèi)對一些數(shù)學概念進行必要的分析和拓展，提高學生對數(shù)學的興趣，希望學生認識到數(shù)學在科學中的重要性.
　　本題的另一個明顯特點是考查考生對數(shù)學概念的領悟能力. 題目本身不難，大多數(shù)考生可以解答. 若不加分析就計算，可能就會失分. 要是先進行分析和探索，綜合自己掌握的數(shù)學知識，找到合適的切入點，問題就迎刃而解. 此外，源于教材、加強基本知識教學、反對題海戰(zhàn)術是題目設計的另一個出發(fā)點，如果我們能在高考試題的設計上更注重引導學生在做一定量的數(shù)學試題和提高學習興趣之間尋找一個平衡點，這樣就可以爭取更多的中學課堂回歸到素質(zhì)教育的講堂中來.
　　試題展示三：
　　（湖南理16）對于n∈N*，將n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，當i=0時，ai=1；當1≤i≤k時，ai為0或1. 記I（n）為上述表示中ai為0的個數(shù)（例如1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），則（1）I（12）=________；（2）2I（n）=________.
　　本題答案（1）2；（2）1093.
　　方法解析（1）因12=1×23+1×22+0×21+0×20，故I（12）=2；
　?。?）在2進制的k（k≥2）位數(shù)中，沒有0的有1個，有1個0的有C個，有2個0的有C個，…，有m個0的有C個，…，有k－1個0的有C=1個. 故對所有2進制為k位數(shù)的數(shù)n，在所求式中的2I（n）的和為1?20+C?21+C?22+…+C?2k-1=3k-1. 又127=27－1恰為2進制的最大7位數(shù)，所以2I（n）=20+3k-1=1 093.
　　
　　試題點評本道題是新定義一種表示，要求考生運用二進制、排列組合、二項式定理、等比數(shù)列等基礎知識以及分類與整合的數(shù)學思想解決問題.?搖 從題目設計的角度來看，此題注意了題目設制的多元化，全面考查考生的數(shù)學素養(yǎng)，即關注對“三基”（基礎知識、基本技能、基本思想方法）的考查，又在設計試題時注重了從教材中引申一些新的數(shù)學概念、符號，要求考生運用所給的新概念或符號作進一步的運算、分析、推理來解決問題.
　　2011年是湖南實施新課程高考的第二年. 從本題的設計可以看出，今年試卷的命制在去年試卷命制的基礎上進一步加大了改革力度，充分滲透新課改理念，在注重考查知識與技能的同時，加大對過程與方法的考查. 深化能力立意是數(shù)學命題一直以來的追尋目標. 在命制理念上突出全面的能力因素，多元化的能力層次；在命制構思上注重通性通法，堅持用數(shù)學基本思想方法解決問題；在試題呈現(xiàn)上突出新穎性.
　　試題展示四：
　?。ê衔?6）給定k∈N*，設函數(shù)f：N*→N*滿足：對于任意大于k的正整數(shù)n，f（n）=n－k.
　?。?）設k=1，則其中一個函數(shù)f在n=1處的函數(shù)值為________；
　?。?）設k=4，且當n≤4時，2≤f（n）≤3，則不同的函數(shù)f的個數(shù)為________.
　　本題答案（1）a（a為正整數(shù)），（2）16.
　　方法解析（1）由題可知f（n）∈N*，而k=1時，n>1，則f（n）=n－1∈N*，故只須f（1）∈N*，故f（1）=a（a為正整數(shù)）.
　?。?）由題可知k=4，n>4，則f（n）=n－4∈N*，而當n≤4時，2≤f（n）≤3，即f（n）∈｛2，3｝. 于是n∈｛1，2，3，4｝，f（n）∈｛2，3｝，由乘法原理可知，不同的函數(shù)f的個數(shù)為16個.
　　試題點評本道試題在設計上注重了對學生創(chuàng)新意識的考查，題目本身區(qū)別于傳統(tǒng)計數(shù)原理題目的編排模式和常見應用背景，形式新穎，讓考生有耳目一新的感覺. 創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn). 在數(shù)學學習和研究過程中，知識的遷移、組合及融匯的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出的創(chuàng)新意識也越強. 因此，在數(shù)學考題的設計上，注意試題形式的多樣性、考查內(nèi)容的層次性、呈現(xiàn)問題的開放性與探索性等，以加強對考生創(chuàng)新意識的考查，是新課程改革的重要內(nèi)容. 如何利用好高考命題的機會，對傳統(tǒng)內(nèi)容試題的設計力求推陳出新，對新增內(nèi)容的試題設計關注與傳統(tǒng)內(nèi)容的交匯融合，以形成聯(lián)系廣泛、背景新穎、結構精巧的試題對于促進新課程改革的縱深發(fā)展有著重要的指導意義.
　　
　　從命題趨勢看“計數(shù)原理”
　　計數(shù)原理是高中數(shù)學相對獨特的一個知識板塊，高考對該部分的考查主要從兩個方面進行. 一是以選擇題或填空題的形式有針對性地考查兩個基本原理，排列、組合知識在實際計數(shù)中的應用，考查使用二項式定理解決二項式系數(shù)、項的系數(shù)以及簡單的實際問題；二是在概率解答題中考查利用計數(shù)原理求解等可能性事件的概率，在綜合解答題中的某個環(huán)節(jié)考查二項式定理的簡單應用. 從近幾年課標地區(qū)的高考試題來看，計數(shù)原理、排列、組合的考查以其應用為主（實際計數(shù)、計算概率），二項式定理的考查以其通項公式為主.
　　?搖預計以后的高考會延續(xù)以前的傳統(tǒng)，考查計數(shù)原理、排列組合解決實際計數(shù)問題和在計算概率中的應用，考查二項式定理的通項公式的應用、考查二項式定理在簡單問題中的應用.試題也將更貼近學生的實際生活和學生熟悉的社會生活.