摘要：本文以一節(jié)公開課的一個(gè)片段為背景，對(duì)該片段的教學(xué)進(jìn)行了再設(shè)計(jì)， 從中分析了能夠解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)的簡(jiǎn)單想法不被學(xué)生所理解的原因，并提出教學(xué)實(shí)踐中需要建立豐富聯(lián)系來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的建議.
　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解；案例研究
　　
　　問題提出
　　2010年10月，筆者所在學(xué)校的數(shù)學(xué)教研組開展教研活動(dòng)，一位教齡近十年的中年教師開設(shè)了公開課，內(nèi)容是高一年級(jí)的“函數(shù)的單調(diào)性”新授課.教師在教完“增函數(shù)”的概念后，為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)“增函數(shù)”的概念是否真正理解，教師給出了1個(gè)課堂練習(xí)，課堂上的師生活動(dòng)情況是這樣的：
　　問題1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋郏?，2］，當(dāng)x1=－2，x2=2時(shí)，有f（x1）　　學(xué)生1：是增函數(shù). 根據(jù)增函數(shù)的定義，x1和x2是定義域里的兩個(gè)自變量，且當(dāng)x1　　學(xué)生2：好像有問題.x1=－2，x2=2剛好是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn).
　　教師：大家有沒有不同意見？
　　學(xué)生：……（沉默）
　　教師：大家有沒有注意到增函數(shù)定義中兩個(gè)自變量的值在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上是“任意”取的？
　　學(xué)生：……（沉默）
　　教師：判斷增函數(shù)的時(shí)候一定要看是否對(duì)區(qū)間上“任意”兩個(gè)數(shù)x1和x2，當(dāng)x1　　教師認(rèn)為學(xué)生并沒有完全理解單調(diào)性的概念，又給出了一個(gè)補(bǔ)充問題.
　　問題2：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若對(duì)任意x2>0，都有f（x2）>f（0），能否判斷f（x）在［0，+∞）上為增函數(shù)？
　　學(xué)生：不能判斷f（x）在［0，+∞）上為增函數(shù).
　　教師：為什么？
　　學(xué)生：因?yàn)?作為x1是固定的，不是任取的，不符合增函數(shù)定義.
　　教師：好！我們可以舉出反例，比如看這個(gè)函數(shù)f（x）=0，x=0，，x>0，它符合題目的條件，但顯然在［0，+∞）上不是增函數(shù).
　　教師：理解增函數(shù)定義有個(gè)簡(jiǎn)單想法，“一看”：看自變量是固定的還是任意的；“二驗(yàn)證”：用特殊函數(shù)驗(yàn)證.
　　
　　問題分析
　　學(xué)生對(duì)增函數(shù)的定義真正理解了嗎？課后對(duì)這一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行的討論中主要有兩種看法：一部分教師認(rèn)為，為了讓學(xué)生理解增函數(shù)的概念，教師教法切合學(xué)生實(shí)際理解力水平. 把對(duì)高一新生比較抽象的概念的理解過程可操作化，尤其是“一看二驗(yàn)證”兩個(gè)步驟明白、簡(jiǎn)潔、易懂，并且認(rèn)為掌握了“一看二驗(yàn)證”可以解決目前碰到的大部分判斷增函數(shù)的問題；另一種觀點(diǎn)是對(duì)此有質(zhì)疑，認(rèn)為“一看二驗(yàn)證”兩個(gè)步驟表面上看明白、簡(jiǎn)潔、易懂，但這樣的教學(xué)處理方式真的有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到出錯(cuò)的原因和所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)嗎？
　　學(xué)生情況究竟是怎么樣呢？課后對(duì)學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生覺得并沒有比較“舒服”地理解增函數(shù)的定義（學(xué)生原話），他們最糾結(jié)的竟然是為什么一定要用驗(yàn)證而不用直接推理.
　　“一看二驗(yàn)證”看上去簡(jiǎn)單，但實(shí)質(zhì)上“遷就”了學(xué)生的理解力，更由于思維方式上的差異，學(xué)生并不接受教師認(rèn)為的簡(jiǎn)單方法. “遷就”學(xué)生的理解力的教學(xué)是無為教學(xué)，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)核心問題是幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)難度的攀升.
　　
　　改進(jìn)后的教學(xué)行為
　　1. 探求新的教學(xué)思路
　　新的教學(xué)設(shè)計(jì)著重考慮：（1）利用直觀圖形啟發(fā)學(xué)生的思維，通過學(xué)生的自主探究活動(dòng)，既包含外部操作性活動(dòng)，也包括內(nèi)在思維性活動(dòng)，幫助學(xué)生完成單調(diào)性定義從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍；（2）設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)摹颁亯|”（有層次推進(jìn)的策略），既為學(xué)生提供豐富的聯(lián)系，又為學(xué)生提供必要的思維階梯，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)難度的攀升.
　　?搖 問題1：下面是我市2—10月氣溫變化的圖象，但有一部分破損了，請(qǐng)你補(bǔ)充完整并說出你的理由.
　　
　　圖1
　　問題提出后學(xué)生思考積極，課堂觀察發(fā)現(xiàn)一開始體現(xiàn)出的是思維呆板性的一面，學(xué)生得到的比較多的是圖1或圖2，但稍后就有學(xué)生畫出其他圖形，如圖3
　　
　　圖2
　　
　　圖3
　　
　　圖4
　　問題2：若f（x）的定義域?yàn)椋?2，2］，當(dāng)x1=－2，x2=2時(shí)，有f（x1）　　問題3：若f（x）的定義域?yàn)椋?2，2］，當(dāng)x1=－2，x2=2時(shí)，有f（x1））成立，f（x）在［-2，2］上不是增函數(shù)，這和增函數(shù)的定義有矛盾嗎？
　　學(xué)生1：不矛盾，
　　教師：為什么？
　　學(xué)生2：x1=－2，x2=2只是兩個(gè)特殊值，增函數(shù)要求兩個(gè)數(shù)x1和x2是任意值（答案擠壓出來了）.
　　教師：為什么要求是任意值？
　　學(xué)生3：增函數(shù)“時(shí)時(shí)刻刻是在增加的”呀（學(xué)生的個(gè)性化理解產(chǎn)生了）！
　　教師：“時(shí)時(shí)刻刻是在增加的”通過什么式子體現(xiàn)？
　　學(xué)生4：對(duì)區(qū)間上“任意”兩個(gè)數(shù)x1和x2，當(dāng)x1　　2. 答案是怎樣擠壓出來的
　　改進(jìn)后的教學(xué)行為更貼近學(xué)生的真實(shí)思維過程，教師設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)摹颁亯|”讓學(xué)生在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下完成單調(diào)性定義從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍. 問題1的作用是借助圖象，讓自變量變化與函數(shù)值對(duì)應(yīng)變化關(guān)系外顯成學(xué)生的感受，這種“感受”是不可缺省的，數(shù)學(xué)中抽象概念的理解都是依據(jù)這種“感受”實(shí)現(xiàn)的. 同時(shí)問題2、問題3為學(xué)生構(gòu)建新的認(rèn)知沖突，并讓原來的“感受”在新的問題情景中借助數(shù)學(xué)語言建立合理的邏輯聯(lián)系，這個(gè)過程是最有意義的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)行了多層次的分析、判斷、合理化解釋的思維活動(dòng)，擠壓出新的答案，并獲得了個(gè)性化理解.
　　
　　思考與建議
　　1. 簡(jiǎn)單的想法并不是學(xué)生最容易理解的
　　在教學(xué)實(shí)踐中有一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象，教師喜歡用反例來說明問題（因?yàn)楹?jiǎn)潔、明了），覺得這樣想是最簡(jiǎn)單的，潛意識(shí)地認(rèn)為學(xué)生也應(yīng)該沿這個(gè)方向去思考. 事實(shí)上，學(xué)生喜歡用推理來說明問題.為什么會(huì)有這樣的現(xiàn)象？深層次的原因是只有對(duì)知識(shí)理解到位的個(gè)體才有產(chǎn)生舉反例的思維活動(dòng)的傾向. 大部分學(xué)生面對(duì)一個(gè)并沒有完全理解的知識(shí)時(shí)，他總是試圖去“論證”它，而不是去“否決”它. 一開始思考時(shí)，教師就讓學(xué)生用反例來思考解決，學(xué)生的心理感覺當(dāng)然不“舒服”. 本案例中教師通過舉反例來說明自變量的任意性，雖然從數(shù)學(xué)說理的角度來看是最簡(jiǎn)單的，但是學(xué)生不認(rèn)為是容易理解的. 這一對(duì)矛盾，本原上分析是教師數(shù)學(xué)思維和學(xué)生數(shù)學(xué)思維的差異，究其原因是學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的形成必須要以學(xué)生的自主數(shù)學(xué)思維活動(dòng)為前提，這種思維活動(dòng)既有操作性活動(dòng)成分，也包括邏輯性活動(dòng)成分. 在個(gè)體數(shù)學(xué)理解的形成過程中，通過積極的智力參與，主動(dòng)的外部活動(dòng)過程逐步內(nèi)化為主體內(nèi)部的心理活動(dòng)過程，并從中形成主體的內(nèi)心體驗(yàn)，一種基于個(gè)體自身結(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)理解才能得以初步形成，這是一個(gè)不可簡(jiǎn)化的過程.
　　2. 建立豐富聯(lián)系是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的最有效的教學(xué)
　　要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成真正的理解，這意味著學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)由細(xì)碎的、片段的到結(jié)構(gòu)化的整合過程，而希爾伯特教授則用信息的內(nèi)部表示和構(gòu)成方式來描述理解，他說“我們認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、方法或事實(shí)是理解了的，是指它成了內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分. 更確切地說，數(shù)學(xué)是理解了的，是指它的智力表示成了表示網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分. 理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的.” 既然理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的，這就是說建立豐富聯(lián)系是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的最有效的教學(xué).
　　面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生更希望有一種自然的邏輯方式去認(rèn)知，教學(xué)中有些簡(jiǎn)單的想法，的確能揭示某一方面的數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師覺得對(duì)學(xué)生理解是非常有效的，然而事實(shí)證明并非如此，因此教師在教學(xué)中需要建立豐富聯(lián)系來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué).