摘要：本文通過實例，對函數(shù)在開區(qū)間上的值域和最值問題進(jìn)行了探討. 在高中數(shù)學(xué)里沒有給出嚴(yán)格的極限概念的基礎(chǔ)上，筆者對運(yùn)用極限的有關(guān)內(nèi)容求解值域進(jìn)行了思考與分析．
　　關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；值域；無窮
　　
　　引例：求函數(shù)f（x）=x+，x∈（－∞，0）∪（0，+∞）的值域．
　　學(xué)生甲：若x>0，則x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”；若x<0，則x+=－［（－x）+（－）］≤－2= －2，當(dāng)且僅當(dāng)x=－1時取“=”． 故函數(shù)f（x）=x+的值域為（－∞，－2］∪［2，+∞）．
　　學(xué)生乙：函數(shù)定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），f′（x）=1－=，令f′（x）=0，得x=±1，列表如下：
　　
　　所以，當(dāng)x=－1時，f=－2；當(dāng)x=1時，f=2；所以，函數(shù)f（x）=x+的值域為（－∞，－2］∪［2，+∞）．
　　從目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求來說，上述兩種解法都是沒有問題的，但細(xì)細(xì)想來，兩種解法存在著同一個缺陷，即沒有考慮到 0與無窮遠(yuǎn)處函數(shù)值的變化情況，默認(rèn)x趨于無窮大時，y也趨于無窮大. 這是大部分學(xué)生存在的一個認(rèn)識誤區(qū)，比如反比例函數(shù)y=－在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但當(dāng)x→+∞時，y→0-，并不趨于無窮大；再如函數(shù)y=1－x，雖然在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，但當(dāng)x→+∞時，y→1等，從圖象上看，這些函數(shù)的圖象會被某條直線攔住而到不了無窮大．對于函數(shù)f（x）=x+，是不是也會有某條直線把它的圖象攔住呢？事實上，當(dāng)x→+∞時，→0+，所以x+→+∞；當(dāng)x→0+時，→+∞，所以x+→+∞；當(dāng)x→－∞時，→0-，所以x+→－∞；當(dāng)x→0-時，→－∞，所以x+→－∞．
　　在0與無窮遠(yuǎn)處函數(shù)值都沒有被攔住，都趨于無窮遠(yuǎn)處，因此函數(shù)f（x）=x+的值域為（－∞，－2］∪［2，+∞）是正確的．
　　隨著對導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步研究，我們可以處理越來越復(fù)雜的函數(shù)，雖然高中數(shù)學(xué)教學(xué)只要求掌握“連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題”，但開區(qū)間上的值域與最值問題會不時地闖入我們的視線．
　　例1（南通市2009屆高三第二次調(diào)研第19（3）題）已知函數(shù)f（x）=x－k（x≥2，k為常數(shù)），求f（x）的值域．
　　解析f ′（x）=1－=，令f ′（x）=0，得=kx． 當(dāng)k≤0時，因為x≥2，所以－kx≥0，因而f′（x）≥0，于是f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，因此fmin（x）=f（2）=2－k；又因為當(dāng)x→+∞時，→+∞，－k→+∞，所以f（x）=x－k→+∞． 此時，f（x）的值域為［2－k，+∞）． 當(dāng)k>0時，對=kx兩邊平方，得x2－2=k2x2，即（1－k2）?x2=2（*）． ①當(dāng)k≥1時，（*）無解. 因為kx≥x=>，所以f′（x）<0恒成立，于是f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞減，因此f（x）max=f（2）=2－k． 又有f（x）=x－k==，若k>1，則當(dāng)x→+∞時，→0，→0，（1－k2）x→－∞，所以f（x）→－∞，此時f（x）的值域為（－∞，2－k］. 若k=1，則當(dāng)x→+∞時，x+→+∞，所以f（x）=x－=→0+． 此時f（x）的值域為（0，2－k］. ②?搖當(dāng)00，所以f（x）在，+∞上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=時，f（x）取到極小值． 又當(dāng)x→+∞時，→0，→0，（1－k2）x→+∞，所以f（x）→+∞． 此時f（x）的值域為［，+∞）． 若00恒成立，所以f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min=f（2）=2－k. 又當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞． 此時f（x）的值域為［2－k，+∞）．
　　綜上所述，當(dāng)k≤時，f（x）的值域為［2－k，+∞）；當(dāng)1時，f（x）的值域為（－∞，2－k］.
　　點評：與引例相比，這是一道直接的值域問題，大部分學(xué)生被打了個措手不及，得分率相當(dāng)?shù)停?難度不僅僅體現(xiàn)在多層次的分類討論上，還體現(xiàn)在缺乏對+∞處函數(shù)值趨勢的討論，即使有極少部分學(xué)生想到要考慮+∞處函數(shù)值的變化趨勢，也沒有考慮清楚，如當(dāng)k>0時，若x→+∞，則k→+∞，f（x）=“+∞”－“+∞”趨向于什么就不知道怎樣處理了．
　　例2已知函數(shù)f（x）=x2－2alnx，其中a為正實數(shù)，試證明：方程f（x）=2ax有唯一解的充要條件是a=．
　　證明方程f（x）=2ax，即x2－2alnx=2ax，即x2=2a（lnx+x）． 因為x>nLluSvOBAeQF8RBJOXaw7jVWZXsOOAUi5t3gcCjqZXQ=0，a>0，所以方程可同解變形為=． 令g（x）=，x∈（0，+∞），則g′（x）=． 當(dāng)x=1時，g′（x）=0；當(dāng)00；當(dāng)x>1時，g′（x）<0，所以x=1是g′（x）=0的唯一解，且g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=1時，g（x）取到極大值1． 又因為x→+∞時，→0+，→0+，所以g（x）==+→0+；當(dāng)x→0+時，lnx→－∞，x2→0+，所以g（x）==→－∞． 因此g（x）的簡圖如圖1：由圖及a>0知，當(dāng)且僅當(dāng)=1，即a=時，直線y=與曲線g（x）=只有一個交點，因此方程x2－2alnx=2ax有唯一解的充要條件是a=．
　　點評該題的標(biāo)準(zhǔn)答案是將方程變形為x2－2alnx－2ax=0，然后研究函數(shù)y=x2－2alnx－2ax的圖象與x軸的關(guān)系，感興趣的讀者可試一試，體會一下中間會遇到的困難． 筆者對方程采取了“分離參數(shù)”的變形技巧，但沒有按常規(guī)方法變形為a=，而是變形成了=，原因是方程x+lnx=0是有解的，而且函數(shù)y=（x≠x0，x0為方程x+lnx=0的解）的圖象研究起來會較困難．
　　函數(shù)y=的定義域為（0，x0）∪（x0，+∞），其中x0為方程x+lnx=0的根（可以證明方程x+lnx=0有唯一解），所以除了要考慮開區(qū)間端點0與+∞處函數(shù)值的變化情況，還要考慮x0左右兩邊函數(shù)值的取值情況． x=x0是函數(shù)y=的一個間斷點，體現(xiàn)在圖象上將成為一條漸近線，學(xué)生平時對這種不連續(xù)函數(shù)接觸不多，沒有足夠的辦法來處理像0、∞、x0這樣的開區(qū)間端點，甚至連要去處理的意識都沒有，所以這種方法顯然要求太高． 如果不分參，就將面對函數(shù)y=x2－2alnx－2ax，x>0，這個含參數(shù)a的不確定函數(shù)處理起來也是相當(dāng)困難的，因此筆者采用了改良后的分離參數(shù)法（如上）． 雖然該解法中的函數(shù)g（x）=，x∈（0，+∞）比y=，x∈（0，x）∪（x0，+∞）簡單了很多，但還是避免不了對0和+∞處函數(shù)值的變化趨勢做分析． 苦于高中教材中沒有求極限的法則，因此只能憑借“x”“x2”“”“l(fā)nx”等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合一些簡單的極限加減運(yùn)算法則作出合理的推測，一旦成功，此法顯然優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)答案的不分參法．
　　目前的高中數(shù)學(xué)教材中并沒有系統(tǒng)的極限知識，就連導(dǎo)數(shù)的概念也是跳過了抽象的極限的定義而建立在了形象的“逼近”的基礎(chǔ)上，因此，學(xué)生遇到類似的問題通常會感到比較困難． 但“逼近”的思想在教材里卻出現(xiàn)了多次，如反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)圖象的漸近線，球的體積公式的推導(dǎo)，雙曲線的漸近線方程的證明，定積分與導(dǎo)數(shù)的概念等，在平時的教學(xué)中，我們要充分利用這些素材，讓學(xué)生充分感知什么叫“無限靠近”． 雖然在高中階段補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)中的極限的定義和各種求極限的法則是不現(xiàn)實的，但遇到類似問題時補(bǔ)充一些極限的小結(jié)論或變形的技巧還是可以的，如例1中先對f（x）分子有理化，然后分子分母同除以x，再利用學(xué)生容易理解的結(jié)論“當(dāng)x→+∞時，→0，n∈N” 來求出f（x）的極限值．近幾年一些大學(xué)的自主招生搞得越來越轟轟烈烈，自主招生考試題中有關(guān)極限的題目也隨處可見，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)補(bǔ)充一些簡單的極限知識是非常有必要的．