數(shù)學(xué)表象是表征數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要形式，它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。同時(shí)，數(shù)學(xué)表象的直觀性，很容易掩蓋其深刻的內(nèi)涵與復(fù)雜性。另外，由于數(shù)學(xué)概念、定律、性質(zhì)、法則、公式、定理等知識(shí)都有其相應(yīng)的數(shù)學(xué)表象，因此，探究數(shù)學(xué)表象的教育價(jià)值，具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義。數(shù)學(xué)教育價(jià)值的內(nèi)容一般是通過(guò)數(shù)學(xué)教育目的呈現(xiàn)出來(lái)的，而數(shù)學(xué)教育研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的目的必然涉及相應(yīng)的利益群體。這一點(diǎn)在理論和經(jīng)驗(yàn)的探討上已經(jīng)得到了諸多研究者的認(rèn)同。如代表人物Emest列舉了三個(gè)利益群體：(1)教育者；(2)數(shù)學(xué)家；(3)企業(yè)和社會(huì)界的代表。其中每個(gè)群體都有自己的數(shù)學(xué)教育目的。歸納起來(lái)這些目的是：(1)個(gè)人的發(fā)展；(2)純數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得；(3)實(shí)用的目的。內(nèi)地的數(shù)學(xué)教育價(jià)值是以數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的形式呈現(xiàn)出來(lái)的，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是數(shù)學(xué)教育一切活動(dòng)的起點(diǎn)和歸宿。鑒于以上分析，本研究將數(shù)學(xué)表象的教育價(jià)值歸納為以下方面。
　　
　　一、借助數(shù)學(xué)表象的直觀性，幫助學(xué)生形象、快速地認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)
　　
　　數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，這種抽象性常制約著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。借助數(shù)學(xué)表象，充分利用數(shù)學(xué)表象的直觀性，能有效地解決這一問(wèn)題。例如，小學(xué)生理解抽象的、語(yǔ)言表征的圓的概念幾乎是不可能的，即“在同一平面上，和定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”。但是，教師可以通過(guò)精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在畫(huà)圓、剪圓和摸圓的過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓，建構(gòu)圓的直觀圖形表象，并借助圓的圖形表象，直觀形象地認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)屬性以及其他知識(shí)。
　　斯諾的“折紙測(cè)驗(yàn)”，說(shuō)明了表象表征可以壓縮人們的工作記憶容量，這也是其他表征形式難以做到的。表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，借助數(shù)學(xué)表象，能幫助學(xué)生迅速回憶起相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在解決與三角形有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，解題者都習(xí)以為常地先畫(huà)出一個(gè)三角形，然后結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題中提供的信息，迅速、條件反射似的想起有關(guān)的三角形的知識(shí)，如定義、分類(lèi)、內(nèi)角和為180°、兩邊之和大于第三邊………并以此嘗試尋找解決問(wèn)題的不同方法，從中篩選出有效、簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題方法。這種幫助學(xué)生壓縮記憶數(shù)學(xué)知識(shí)容量、迅速回憶起數(shù)學(xué)知識(shí)的功能，是數(shù)學(xué)表象教育價(jià)值的重要內(nèi)容之一。
　　
　　二、借助數(shù)學(xué)表象的表征功能，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)
　　
　　分析當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)的命題及其網(wǎng)絡(luò)表征受到了教育者的普遍重視，而數(shù)學(xué)表象的教學(xué)被忽視，也是不爭(zhēng)的事實(shí)。結(jié)果是，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中邏輯化成分很突出、很強(qiáng)，而學(xué)生的直感能力乃至創(chuàng)造力都受到了不同程度的壓制，數(shù)學(xué)表象在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的地位沒(méi)有得到教育者的充分重視。從這個(gè)意義上說(shuō)，我們應(yīng)該解決當(dāng)前數(shù)學(xué)表象教學(xué)中存在的問(wèn)題，發(fā)揮數(shù)學(xué)表象在知識(shí)表征過(guò)程中的作用，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的。
　　首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)表象由具體到抽象的概括過(guò)程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)表象是直觀性和概括性的辯證統(tǒng)一。分析學(xué)生在數(shù)學(xué)表象學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，多數(shù)是由于他們只看到了數(shù)學(xué)表象的直觀性，而忽視或遺忘了數(shù)學(xué)表象的概括性。按表象的概括性分，表象可以分為個(gè)別表象和一般表象。我們通常說(shuō)的某知識(shí)的數(shù)學(xué)表象是指它的一般表象。學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)表象由具體到抽象的概括過(guò)程中，需要分別考察某數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)別表象，需要通過(guò)個(gè)別表象的概括，抽象出某數(shù)學(xué)知識(shí)的一般表象。因此，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中可以充分認(rèn)識(shí)到某數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)別表象和一般表象之間的辯證關(guān)系，克服學(xué)生只見(jiàn)數(shù)學(xué)表象直觀性的片面性。
　　其次，發(fā)揮語(yǔ)言表征的協(xié)同作用，幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)表象所表征的意義。特別是圖形表象教學(xué)中，小學(xué)生經(jīng)常把圖形表象所反映的非本質(zhì)屬性當(dāng)作了它的本質(zhì)屬性。如，學(xué)生把“四個(gè)角不是直角”看成是平行四邊形的本質(zhì)屬性，就是一例。為了解決這個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，表象既可以用圖像編碼，也可以用語(yǔ)言編碼。具體地說(shuō)，教學(xué)中可以發(fā)揮語(yǔ)言的協(xié)同作用，借助語(yǔ)言把握數(shù)學(xué)表象所表征的意義。
　　再次，幫助學(xué)生構(gòu)建以數(shù)學(xué)表象為內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系為主要內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)表象之間的關(guān)系等。具體分為兩種情況：第一，某一數(shù)學(xué)表象表示不同的數(shù)學(xué)對(duì)象。例如，圖式表象“a=bc”不僅可以用來(lái)表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積之間的關(guān)系以及平行四邊形的底、高與面積之間的關(guān)系，而且可以用來(lái)表示時(shí)間、速度與路程之間的關(guān)系等。具有相同的圖式表象，說(shuō)明了這些知識(shí)之間一定存在著某種必然的聯(lián)系，在一定條件下它們是可以相互轉(zhuǎn)化的。比如，表現(xiàn)在解決行程問(wèn)題時(shí)不僅可以用線段的長(zhǎng)度表示路程，而且可以用長(zhǎng)方形的面積表示路程，長(zhǎng)和寬分別表示時(shí)間和速度等。第二，不同數(shù)學(xué)表象之間存在的聯(lián)系。例如，圖1就很好地反映了四邊形、平行四邊形、梯形、長(zhǎng)方形和正方形等幾何概念圖形表象之間的聯(lián)系。
　　
　　
　　三、以數(shù)學(xué)表象為基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力
　　
　　形象思維指的是依靠人腦中對(duì)表象的意識(shí)領(lǐng)會(huì)，得到理解的思維方法。數(shù)學(xué)形象思維的基本材料是數(shù)學(xué)表象。數(shù)學(xué)形象思維能力主要表現(xiàn)為直感能力和想象能力兩種形式。
　　1．在利用數(shù)學(xué)表象進(jìn)行判別的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的直感能力。數(shù)學(xué)直感是指在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形象特征進(jìn)行判別的思維過(guò)程。根據(jù)數(shù)學(xué)直感的定義，不難看出，數(shù)學(xué)表象是學(xué)生數(shù)學(xué)直感的依據(jù)。因此，數(shù)學(xué)表象對(duì)學(xué)生直感能力的培養(yǎng)起著關(guān)鍵的作用。同時(shí)，數(shù)學(xué)直感又可以劃分為形象識(shí)別直感、模式補(bǔ)形直感和形象相似直感等形式，也就是說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直感能力可以從這三個(gè)方面著手。
　　形象識(shí)別直感是指用數(shù)學(xué)表象的特征去比較具體數(shù)學(xué)對(duì)象的個(gè)象、判別個(gè)象特征的思維形式。教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)顯示，加強(qiáng)數(shù)學(xué)表象的變式訓(xùn)練，是提高形象識(shí)別直感能力的一條重要途徑。例如，在三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到變式后的問(wèn)題“計(jì)算26×309=____”時(shí)，他們首先要對(duì)算式進(jìn)行形象識(shí)別，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式“26×309=____”可以化歸為已學(xué)過(guò)的三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法(例如：144×15=____)后，他們才有可能在眾多方法中選擇適合的、簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，如，豎式計(jì)算。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法的過(guò)程中，圖式表象“144×15=_____”起著關(guān)鍵的作用，它是學(xué)生鑒別算式“26×309=____”特點(diǎn)的依據(jù)。教師在引導(dǎo)學(xué)生探索“26×309=______”計(jì)算方法的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)三位數(shù)乘兩位數(shù)算式的識(shí)別直感能力得到了進(jìn)一步的提升。
　　模式補(bǔ)形直感是指利用人腦中已建構(gòu)的數(shù)學(xué)表象，對(duì)具有部分特征相同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行表象補(bǔ)形、實(shí)施整合的思維形式。在形象識(shí)別的基礎(chǔ)上，利用圖形表象和圖式表象分別對(duì)有關(guān)對(duì)象進(jìn)行補(bǔ)形，是解題中常用的一種方法，教學(xué)中有大量的實(shí)例可以說(shuō)明這一點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并對(duì)具體對(duì)象進(jìn)行補(bǔ)形的過(guò)程。就是培養(yǎng)學(xué)生補(bǔ)形直感能力的過(guò)程。
　　形象相似直感是指以形象識(shí)別直感和模式補(bǔ)形直感為基礎(chǔ)的復(fù)合直感。這種直感常出現(xiàn)在解決有一定難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生此時(shí)找不到同質(zhì)的已有數(shù)學(xué)表象，也不能通過(guò)補(bǔ)形將該數(shù)學(xué)對(duì)象化歸為已有的數(shù)學(xué)表象，而是需要學(xué)生篩選出最接近于目標(biāo)的數(shù)學(xué)表象來(lái)進(jìn)行形象識(shí)別的一種思維方法。因?yàn)樵谠瓟?shù)學(xué)問(wèn)題中找不到同質(zhì)的數(shù)學(xué)表象，所以需要解題者通過(guò)添加輔助線的形式，構(gòu)造出能幫助有效解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)表象。
　　2．在對(duì)數(shù)學(xué)表象進(jìn)行結(jié)合和改造的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的想象力。數(shù)學(xué)想象力是指人們?cè)陬^腦中對(duì)已有數(shù)學(xué)表象經(jīng)過(guò)結(jié)合和改造，產(chǎn)生新表象的能力。從數(shù)學(xué)想像力的定義，不難看出，數(shù)學(xué)表象的結(jié)合和改造的過(guò)程就是學(xué)生想象力培養(yǎng)的過(guò)程。例如，在問(wèn)題“求1／2+1／4+1／8+1／16的和”的解決過(guò)程中，小學(xué)生常用的方法是“先同分母，再相加”，而學(xué)生如果以分?jǐn)?shù)的圖形表象為基礎(chǔ)(見(jiàn)圖2)，發(fā)揮學(xué)生的想象力，對(duì)1／2的圖形表象進(jìn)行改造和結(jié)合，就能構(gòu)造出算式“1／2+1／4+1／8+1／16”的圖形表象(見(jiàn)圖3)，探索出一條直觀、簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的方法，即1／2+1／4+1／8+1／16=1-1／16=15／16。在整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生的想象力至少得到了兩次提升：第一次，是學(xué)生構(gòu)造出1／4、1／8、1／16的圖形表象；第二次，是組合出算式“1／2+1／4+1／8+1／16”的圖形表象，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法。
　　
　　要說(shuō)明的是，數(shù)學(xué)想象力是通過(guò)圖形想像力和圖式想象力兩個(gè)方面表現(xiàn)出來(lái)的，兩者缺一不可。其中，圖形想象力是以圖形表象為基礎(chǔ)，學(xué)生通過(guò)改造和組合而展現(xiàn)出來(lái)的能力，而圖式想象力則是以圖式表象為基礎(chǔ)，通過(guò)學(xué)生的改造和組合而表現(xiàn)出來(lái)的能力。教學(xué)中教師要兼顧學(xué)生圖形想象力和圖式想象力的培養(yǎng)。
　　
　　四、以數(shù)學(xué)表象為橋梁，培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維能力
　　
　　表象雖然具有一定的概括性，但是以表象為依據(jù)進(jìn)行的思維仍屬于感性認(rèn)識(shí)的范疇。數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性等特征。學(xué)生具備一定的抽象邏輯思維能力，是他們勝任數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要。培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維能力，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一。數(shù)學(xué)表象在學(xué)生抽象邏輯思維能力的形成與發(fā)展過(guò)程中起著重要的作用。朱智賢和林崇德認(rèn)為，表象是從具體感知到抽象思維的過(guò)渡和橋梁。沒(méi)有這個(gè)過(guò)渡和橋梁，就不可能有抽象思維活動(dòng)和理性認(rèn)識(shí)。因此，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)表象是由感知覺(jué)向抽象邏輯思維過(guò)渡的基礎(chǔ)，它為學(xué)生抽象邏輯思維能力的形成與發(fā)展提供了可能。
　　抽象邏輯思維的基本形式有概念、判斷和推理，三者是緊密聯(lián)系在一起的，其中概念是基礎(chǔ)，判斷是概念的展開(kāi)和發(fā)展，推理則是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)新判斷的思維形式。數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系的建立離不開(kāi)抽象邏輯思維的作用，以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)，進(jìn)行判斷、推理是形成數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系的主要手段。下面以長(zhǎng)方形概念的形成為例，探析長(zhǎng)方形圖形表象在整個(gè)過(guò)程中所起的作用。長(zhǎng)方形概念產(chǎn)生與發(fā)展的歷史顯示，長(zhǎng)方形的圖形表征要先于長(zhǎng)方形的概念而產(chǎn)生。人們認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的活動(dòng)最早開(kāi)始于人類(lèi)的生產(chǎn)與生活中，并且在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)僅限于圖形表象的直觀認(rèn)識(shí)，在隨后漫長(zhǎng)的歷史變遷中，人們才逐步抽象概括出長(zhǎng)方形的概念，即長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角。其次，當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐顯示，學(xué)生在長(zhǎng)方形概念的建構(gòu)過(guò)程中是離不開(kāi)長(zhǎng)方形的圖形表象的。正是在學(xué)生折一折、量一量和比一比長(zhǎng)方形紙片的邊和角的過(guò)程中，他們才嘗試用語(yǔ)言的形式來(lái)表征長(zhǎng)方形的本質(zhì)屬性，經(jīng)過(guò)師生的討論，最終抽象、概括形成長(zhǎng)方形的概念。因此，無(wú)論是從長(zhǎng)方形概念產(chǎn)生與發(fā)展的歷史還是從學(xué)生建構(gòu)長(zhǎng)方形概念的過(guò)程來(lái)看，長(zhǎng)方形的圖形表象都是其概念形成的橋梁。進(jìn)而，以長(zhǎng)方形概念為基礎(chǔ)，才可能進(jìn)行相關(guān)的判斷或推理。
　　
　　五、借助數(shù)學(xué)表象表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力
　　
　　培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的重要目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程是復(fù)雜的，信息加工心理學(xué)家把解決問(wèn)題的過(guò)程歸納為四個(gè)步驟，并提出了“問(wèn)題表征”是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的第一步。數(shù)學(xué)表象是表征數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要形式，同樣，它也是表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的一條重要途徑。問(wèn)題解決的心理過(guò)程研究顯示，借助數(shù)學(xué)表象表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力。
　　首先，數(shù)學(xué)表象是表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用材料。解題者理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程一般包括：第一步，數(shù)學(xué)問(wèn)題的字面理解。解題者需要把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的每一個(gè)陳述嘗試轉(zhuǎn)換為自己內(nèi)部的心理表征，嘗試著將數(shù)學(xué)問(wèn)題與相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和情境知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，為進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)問(wèn)題做鋪墊。第二步，數(shù)學(xué)問(wèn)題的深層理解。心理學(xué)認(rèn)為，問(wèn)題深層理解指在問(wèn)題表層理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步把問(wèn)題的每一陳述綜合成條件、目標(biāo)統(tǒng)一的心理表征。問(wèn)題深層理解需要問(wèn)題圖式的知識(shí)。數(shù)學(xué)圖式是人腦對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的一般特征的概括，它是組成數(shù)學(xué)問(wèn)題圖式的重要內(nèi)容，而數(shù)學(xué)表象又是數(shù)學(xué)圖式的一種重要形式。因此，數(shù)學(xué)表象成為表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用材料太自然不過(guò)了。如，波利亞在關(guān)于“怎樣解題”的論述中提出，“畫(huà)張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)”是解題者“弄清問(wèn)題”的重要途徑，而幾何圖形和符號(hào)都是數(shù)學(xué)表象的內(nèi)容。
　　其次，借助數(shù)學(xué)表象，能夠幫助學(xué)生直觀、快速地發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法。例如，在解決與梯形有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用梯形的圖形表象要比利用其命題表征的概念直觀得多和快速得多。前者將要解決的問(wèn)題與梯形的圖形表象聯(lián)系起來(lái)，問(wèn)題變得直觀了，隨之解決問(wèn)題的思路也就變得清晰多了。而后者則需要學(xué)生以梯形的概念等知識(shí)為基礎(chǔ)，在判斷與邏輯推理的過(guò)程中尋找到解決問(wèn)題的方法。后者相比前者，對(duì)學(xué)生思維的要求要抽象得多和高得多，學(xué)生解決問(wèn)題的難度要大得多，解題時(shí)間要長(zhǎng)得多。當(dāng)然，我們并不否認(rèn)，后者更有利于學(xué)生抽象邏輯思維能力的培養(yǎng)。
　　第三，解題者以數(shù)學(xué)表象為對(duì)象，在探索解決問(wèn)題方法的過(guò)程中提升解決問(wèn)題的能力。Shepard的“心理旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)”令人信服地表明，人在完成某種作業(yè)或解決某些問(wèn)題時(shí)，主要依賴(lài)于視覺(jué)表象或表象過(guò)程。學(xué)生在借助不同數(shù)學(xué)表象來(lái)表征某一數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，他們很可能探索出多種不同的解決問(wèn)題的方法。例如，蘇教版教材“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”的內(nèi)容：計(jì)算28×12=____，教材給出了四種解決問(wèn)題的方法(見(jiàn)圖4)。分析這四種方法，不難發(fā)現(xiàn)，原數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決分別與圖式表象“28×10=280”、“28×6=168和168×2=336”、“28×10=-