楊 闊，石成才

（1.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610054；2.阿壩師范高等專科學(xué)校電子信息工程系，四川 汶川 623000）

一種快速分析周期性慢波結(jié)構(gòu)色散特性的方法＊

楊 闊1，2，石成才1

（1.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，四川 成都 610054；2.阿壩師范高等?？茖W(xué)校電子信息工程系，四川 汶川 623000）

分析了周期性慢波結(jié)構(gòu)中的場分布特點(diǎn)，提出了一種利用粒子模擬軟件Magic快速分析周期性慢波結(jié)構(gòu)色散特性和描繪色散曲線的方法.以一個(gè)具體的慢波結(jié)構(gòu)為實(shí)例，詳細(xì)介紹這種方法的操作過程，并結(jié)合周期性慢波結(jié)構(gòu)的場分布特點(diǎn)及其他電磁理論分析這種方法的原理，理論證明它的可行性.這種方法盡管有一定的誤差，但是其操作簡單而迅速，在進(jìn)行一些微波電子器件的初步設(shè)計(jì)工作當(dāng)中有一定的實(shí)際意義.

周期性慢波結(jié)構(gòu)；色散特性；空間諧波；諧振

行波管和返波管是通過行波場與電子注相互作用從而放大微波信號(hào)或產(chǎn)生微波振蕩的微波電真空器件，它們的高頻系統(tǒng)屬于慢波線型［1］.具有正弦波紋內(nèi)壁的中空周期性慢波結(jié)構(gòu)是返波管中使用較多的一類慢波線.在進(jìn)行返波管的設(shè)計(jì)工作時(shí)首先需要研究慢波結(jié)構(gòu)的色散特性.

用冷腔測(cè)試的方法探究慢波結(jié)構(gòu)的色散特性需要加工出實(shí)際物理器件進(jìn)行復(fù)雜的電磁測(cè)試，其成本高、期限長［2］.理論分析并數(shù)值求解色散特性往往只針對(duì)特定結(jié)構(gòu)的慢波線，并且運(yùn)算量較大，耗時(shí)較長.而利用電磁仿真軟件進(jìn)行建模并分析慢波結(jié)構(gòu)的色散特性則簡單而快速.Magic是一款成熟的粒子模擬軟件，用這一程序分析慢波結(jié)構(gòu)的色散特性效果比較好.

1 周期性慢波結(jié)構(gòu)中的場分布和空間諧波

邊界條件在軸向非均勻而周期性變化的慢波線稱為周期性慢波結(jié)構(gòu).在返波管中常見的是內(nèi)壁半徑沿軸向按正弦規(guī)律發(fā)生變化的一類周期性慢波結(jié)構(gòu)，其內(nèi)壁半徑可用表達(dá)式r＝r0＋hcos（2πz／L）來描述.其中：r0是平均半徑；h是波紋深度；L是其空間周期長度.由于空間結(jié)構(gòu)上的周期性，給定頻率下在其中傳輸?shù)哪骋荒Ｊ降碾姶挪ǖ姆植家簿哂兄芷谛裕捎萌缦聰?shù)學(xué)表達(dá)式來描述：

其中：φ是這個(gè)模式在某個(gè)場分量的幅值分布，對(duì)于無損耗系統(tǒng)；γ0＝j(luò)β0，這其實(shí)就是Floquet定理的數(shù)學(xué)表述［3］，是分析周期性慢波結(jié)構(gòu)的出發(fā)點(diǎn).根據(jù)（1）式所反映的周期性，在無損耗周期性慢波結(jié)構(gòu)中某一模式的某個(gè)場分量可以寫成φ（r，r）e－jβ0L.

周期性函數(shù)都可展開成傅立葉級(jí)數(shù)的形式，則

由此可見，由于結(jié)構(gòu)的空間周期性，周期性慢波結(jié)構(gòu)中傳播的某個(gè)模式的波可分解為無數(shù)個(gè)空間諧波.n次空間諧波的相位常數(shù)為

0次空間諧波又稱為基波，其相位常數(shù)與這無窮多個(gè)空間諧波的合成波的相位相同.某些空間諧波的相位常數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)，這表明它們的相速與合成波的群速方向相向，這些反向空間諧波稱為返波，返波管正是利用其中的－1次反向空間諧波在慢波結(jié)構(gòu)中形成反饋回路而產(chǎn)生微波振蕩的［4］.各個(gè)空間諧波的幅值之間的比例關(guān)系是確定的，由慢波系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)決定，所以，增強(qiáng)或減弱其中某一個(gè)空間諧波則整個(gè)模式的幅值就會(huì)得到相應(yīng)的變化.整個(gè)場分布在時(shí)間上是簡諧變化的，但是在空間上具有周期性而非簡諧分布特點(diǎn).由這種周期性和各空間諧波之間的相位關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)，周期性慢波結(jié)構(gòu)中某一特定模式的色散關(guān)系具有周期性［5］，反映在圖像上就是β－f曲線呈周期狀.

2 用駐波法確定慢波結(jié)構(gòu)中TM01模的有限個(gè)頻率值與相位關(guān)系

采用一個(gè)具有正弦波紋內(nèi)壁的中空軸對(duì)稱慢波結(jié)構(gòu)，其中：r0＝15mm；h＝2mm；L＝16mm.用理想導(dǎo)體片封閉這段慢波結(jié)構(gòu)的輸入和輸出端口，置入一個(gè)沿軸向（z向）的線電流源，在Magic中的函數(shù)表達(dá)式為J0＊step（2＊SYS＄Dtime，t），其中J0為自己選取的電流密度值，SYS＄Dtime是系統(tǒng)根據(jù)用戶劃分的網(wǎng)格和Courant條件計(jì)算的時(shí)間步長.這實(shí)際上相當(dāng)于在諧振腔內(nèi)引入一定頻率范圍內(nèi)的噪聲源，程序運(yùn)行過程中會(huì)看到場分布是雜亂無章的.在Magic代碼中書寫測(cè)量此線電流源兩端電壓的語句并且進(jìn)行傅立葉變換，程序運(yùn)行完之后所得的頻譜如圖1所示.

圖1 腔體內(nèi)諧振模式的傅立葉頻譜圖

這一頻譜圖所顯示的是在一定的頻率范圍內(nèi)（0～50Hz）所能諧振的頻率點(diǎn)，每個(gè)分離的頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)一特定的振蕩模式.因?yàn)榧?lì)源是一個(gè)沿軸向的電流源，所以諧振模式都是TM模.整個(gè)分布呈現(xiàn)不連續(xù)的片段，每個(gè)片段內(nèi)各頻率點(diǎn)同屬于一個(gè)橫向模式，最低一個(gè)片段對(duì)應(yīng)的是一組最低橫向模式TM01n，即角向無變化徑向分布一個(gè)半駐波，軸向有n個(gè)半駐波的諧振模式.放大圖1中所選定的一段頻譜，共有10個(gè)頻率點(diǎn)（表1）.

表1 諧振頻率與所對(duì)應(yīng)的序號(hào)

根據(jù)圖1中的序號(hào)可求出相應(yīng)諧振模式的相位常數(shù).比如，n＝6時(shí)模式為TM016，即在軸向有6個(gè)半駐波數(shù)目，那么其相位常數(shù)，在Magic中很容易通過本征模命令驗(yàn)證這一點(diǎn).在附近對(duì)相同的諧振腔進(jìn)行eigenmode運(yùn)算，Magic程序搜索到的諧振頻率為10.553GHz，與上面所得結(jié)果之間的差異甚小，所得角向磁場分布如圖2所示.

圖2 第9個(gè)諧振模式場分布

由這一場分布圖和其他幾個(gè)場分量的分布圖可知，這一諧振模在徑向只有1個(gè)半駐波數(shù)，角向場無變化，沿軸向分布半駐波數(shù)目為9，因此它所對(duì)應(yīng)的諧振模是TM019.

3 描繪出慢波結(jié)構(gòu)中TM01模的色散特性曲線

去掉諧振腔兩端的金屬片后形成周期性慢波結(jié)構(gòu)，可以通過以上的數(shù)據(jù)結(jié)果來描述這一結(jié)構(gòu)的色散特性，實(shí)際上已經(jīng)得到了慢波結(jié)構(gòu)中TM01模式若干個(gè)頻率值和對(duì)應(yīng)的相位常數(shù).先以（βn，fn）為坐標(biāo)畫出一段光滑曲線，相位常數(shù)范圍從0～π／L，在諧振腔所對(duì)應(yīng)的是離散的10個(gè)TM01n諧振模式，而在慢波結(jié)構(gòu)中表明連續(xù)的頻率值與相位的關(guān)系，其頻率范圍是7.600 1GHz～10.533GHz，也就是說這一頻率范圍內(nèi)的電磁波能在這個(gè)慢波結(jié)構(gòu)中以TM01模式傳播.有必要分析處于這一范圍兩端的2個(gè)頻率值，f0＝7.600 1GHz的TM電磁波在諧振腔內(nèi)的模式為TM010，場沿軸向沒有發(fā)生變化，這在慢波結(jié)構(gòu)中顯然是截止的；f9＝10.533GHz的TM電磁波在諧振腔內(nèi)的模式為TM019，場沿軸向分布的半駐波數(shù)目為9，如圖2所示.這一頻率的電磁波進(jìn)入慢波結(jié)構(gòu)時(shí)由于所有不均勻性的反射波與入射波都將得到同相疊加形成全駐波，所以波同樣被截止.慢波結(jié)構(gòu)的周期數(shù)決定其每個(gè)橫模允許存在縱向模式的數(shù)目，若慢波結(jié)構(gòu)周期數(shù)目為n，則其縱向模式數(shù)目為n－1［6］，所以上面的頻率范圍便是TM01模式的一個(gè)通帶.既然TM01是這一結(jié)構(gòu)的最低模式，那么這一頻率范圍也是它的第1個(gè)通頻帶.

對(duì)周期性慢波結(jié)構(gòu)中場分布的理論分析可知，合成某一傳輸模式的無數(shù)個(gè)空間諧波具有相同的頻率和共同的群速，而它們的相位常數(shù)如（2）式所示，其中基波的相位常數(shù)便是整個(gè)合成波的相位常數(shù).因此，用上面的方法所得的相位常數(shù)范圍在0～π／L的色散曲線也就是TM01模的基波的色散曲線，沿反方向傳播的同一模式的色散曲線便是上面這段曲線關(guān)于縱軸的一段對(duì)稱分布曲線，相位常數(shù)的范圍也就擴(kuò)展為－π／L～π／L，由（2）式可知，－1次空間諧波的相位常數(shù)范圍分為關(guān)于縱軸對(duì)稱的2個(gè)部分，－2π／L～－π／L和π／L～2π／L.因?yàn)楦鱾€(gè)空間諧波和合成波的頻率一致，所以就可以畫出TM01模具有周期性的色散特性曲線.0～2π／L范圍的色散曲線如圖3所示.

圖3 周期性慢波結(jié)構(gòu)的色散曲線

［1］張 軍，鐘輝煌.高功率 O型微波器件的縱向模式選擇研究 ［J］.物理學(xué)報(bào)，2005，54（1）：206－210.

［2］董 煒，董志偉，周海京.一種數(shù)值求解慢波結(jié)構(gòu)色散曲線的新方法 ［J］.信息與電子工程，2006，4（5）：331－336.

［3］王文祥.微波工程技術(shù) ［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2009：275－278.

［4］BARUCH L，THOMAS M A，ALAN B，et al.Theory of Relativistic Backward－Wave Oscillators with End Rflections［J］.IEEE Transaction on Plasma Science，1992，20（3）：263－280.

［5］陳昌華，劉國治，宋志敏，等.相對(duì)論返波管慢波結(jié)構(gòu)起始端的設(shè)計(jì) ［J］.強(qiáng)激光也粒子束，2005，17（8）：1 121－1 125.

［6］葛行軍，陳 宇，錢寶良，等.O型同軸慢波器件的縱向模式選擇研究 ［J］.電報(bào)科學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（6）：1 111－1 118.

（責(zé)任編輯 陳炳權(quán)）

Method of Rapidly Computing Dispersion Curves in SWS

YANG Kuo1，2，SHI Cheng－cai1
（1.School of Physical Electronics，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 610054，China；2.Department of Physics and Electronic Engineering，A’Ba Teacher’s College，Wenchuan 623000，Sichuan China）

Distributing character of fields in SWS is analysed.A method which makes use of the Magic code to compute rapidly dispersion in SWS and to depict it’s curves is proposed.Taking a specific construction as an example，the process of using the method is described elaborately.Meanwhile，the theory of the method is analyzed.Combining the theory of electron magnetic and distributing character of fields in SWS，the feasibility of the method is proved.Although there is somewhat error in the result，it is easily and rapidly operated，so there are some realistic values in the design of some microwave electron structures.

SWS；dispersion character；spacial resonance wave；resonance

O436.3；TN816

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2012.03.012

1007－2985（2012）03－0047－03

2012－01－20

四川省科技廳重點(diǎn)科技資助項(xiàng)目（2011JYZ031）；四川省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目（10ZC059）；阿壩師?？蒲姓n題（ASA11－28）

楊 闊（1980－），男，四川安岳人，阿壩師范高等?？茖W(xué)校電子信息工程系講師，電子科技大學(xué)博士研究生，主要從事物理電子學(xué)研究.