二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性證明的矩陣形式

李玉梅

(懷化學(xué)院數(shù)學(xué)系, 湖南懷化 418008)

1 引言

2 二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性證明的矩陣形式

表1

定理1[2]設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列分別為

和

若 Pij= Pi·P·j對(duì)于任意的i和j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)均成立,則稱 X和Y相互獨(dú)立.

2.1 符號(hào)標(biāo)記

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列為表格(＊),記

顯然A為二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列的矩陣形式.

令 IX=(1,1,…,1)T為n×1矩陣,IY=(1,1,…,1)為1×m矩陣.

2.2 二維離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性證明的矩陣形式

定理2 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為A,則它的邊際分布列分別為AIX和IYA.

證明：

隨機(jī)變量 X的邊際分布列.

p·2,…,p·m),即為隨機(jī)變量 Y的邊際分布列.

定理3二維離散型隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立的充要條件是A=AIX·IYA

證明：“必要性” 若X,Y相互獨(dú)立.則pij=pi·p·j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m).又(pij)=A,(pi·)=AIX,(p·j)= IYA.

故有A=AIX·IYA

“充分性” 若 A=AIX·IYA

所以有

即 pij=pi·p·j,(i=1,2,…,m),也即 X,Y相互獨(dú)立.

3 利用Matlab程序判定相互獨(dú)立性

%離散型隨機(jī)變量獨(dú)立性的Matlab驗(yàn)證程序

例1 已知二維離散型隨機(jī)變量 (X,Y)的分布列為

images/BZ_136_1238_2511_2213_2661.png-1 3/16 3/16 3/8 1 1/32 1/32 1/16 2 1/32 1/32 1/16

問 X,Y是否相互獨(dú)立?

程序運(yùn)行：

ans=

隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立.

例2 設(shè)X取值0,1,Y取值0,1,2的二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布如下表所示

images/BZ_137_168_645_1143_854.png041216 1 1 8 1 8 1 12 2 1 8 1 1 1216

證明隨機(jī)變量 X和Y不相互獨(dú)立.

程序運(yùn)行：

ans=

隨機(jī)變量 X與Y不獨(dú)立.

4 討論

本文提出了利用二維離散型隨機(jī)變量概率分布的矩陣形式來判定二維離散型隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,并利用Matlab程序快捷地做出解答.這種方法解決了一般判定二維離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立性復(fù)雜,繁瑣的證明過程,并且不易出錯(cuò).

[1]陳希儒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M].北京：科學(xué)出版社,2000：60-63.

[2]同濟(jì)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教研組.概率統(tǒng)計(jì) [Z].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社,1994：85-87.