周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083）

基于含可變因子廣義S變換的瑞雷面波頻散曲線提取方法

周竹生，楊朋凱，陳友良

（中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083）

面波頻散曲線的提取是面波資料處理的關(guān)鍵。鑒于S變換和廣義S變換不能全時段兼顧頻率分辨率和時間分辨率的缺點(diǎn)，提出了含可變因子廣義S變換進(jìn)行瑞雷面波頻散曲線的提取方法?？勺円蜃拥囊胧沟酶咚勾昂瘮?shù)的寬度隨頻率發(fā)生變化時具有目的性，而不是簡單地隨著頻率的增大而變窄。該方法可以有針對性地改善局部頻段（特別是低頻段和高頻段）的頻率分辨率及時間分辨率。通過理論模型和實(shí)際資料試算表明：含可變因子廣義S變換提取面波頻散曲線的方法具有可行性和實(shí)用性。

瑞雷面波；S變換；廣義S變換；可變因子；頻散曲線

0 前言

面波勘探方法是近年來發(fā)展起來的一種淺層地震勘探新方法，它是基于瑞雷波的頻散特征來進(jìn)行工作的。由于瑞雷波的波速同剪切波速度及巖、土力學(xué)參數(shù)有著密切的關(guān)系，因此在巖、土工程、煤田超前預(yù)測和地基處理等方面得到廣泛應(yīng)用［1～3］。其核心是利用了層狀介質(zhì)中面波的頻散特性和傳播速度與巖土物理力學(xué)性質(zhì)的相關(guān)性來達(dá)到勘探目的，即不同的頻率成份具有不同的相速度。因此如何準(zhǔn)確提取頻散曲線，是瑞雷波勘探技術(shù)的關(guān)鍵問題。

對瑞雷波頻散曲線的提取，前人做過一些研究。利用互相關(guān)譜法［4］，對兩道信號進(jìn)行傅里葉變換，得到自功率譜和互功率譜、傳遞函數(shù)和相干函數(shù)，由互功率譜可以得到兩道信號由于面波傳播過程中時間滯后所產(chǎn)生的相位差，從而求出頻散曲線。但是，由于傅里葉變換的相位變化范圍為［－π，＋π］，因此計(jì)算所得到的相位可能會相差n倍，限制其應(yīng)用。另外，對于頻率較低的單色波，一般情況下其相位差很小甚至趨于零，此時，即便相位差存在一個極小的誤差，都會對計(jì)算得到的相速度帶來極大的影響。劉云禎［5］等人提出通過多道分析選擇最佳觀測時窗，利用F－K變換提取瑞雷波頻散曲線，但當(dāng)各種轉(zhuǎn)換波與面波嚴(yán)重耦合在一起時，難以選擇最佳觀測窗口；Tatham、陳淑珍、孫先海等人［6～8］提出利用τ－p變換進(jìn)行波場分離的思想，為瑞雷波頻散曲線的提取提供了一條新的途徑，但是τ－p變換易出現(xiàn)假頻和端點(diǎn)效應(yīng)，且對層狀介質(zhì)，τ－p域中瑞雷面波沒有點(diǎn)狀特性，對于裂隙、空洞等復(fù)雜情況，τ－p域中的形狀更加復(fù)雜。此外，由于在巖土工程等方面應(yīng)用的瑞雷波屬于典型的非平穩(wěn)信號，如果在瑞雷波分析和參數(shù)提取方面還沿用時不變信號的處理手段進(jìn)行處理，勢必受到一定的限制。因此，可以嘗試采用時頻分析的方法進(jìn)行處理。

在應(yīng)用時頻分析進(jìn)行頻散曲線提取方面，孔令召［9］、馬見青［10］等通過 Gabor變換和S變換進(jìn)行瑞雷面波的頻散曲線提取，取得了一定的效果。但由于Gabor變換中高斯函數(shù)形態(tài)固定，受海森堡測不準(zhǔn)原則限制，時頻分辨率不能達(dá)到最好，并且S變換中固定的基本小波也限制了其應(yīng)用效果。為此，作者在廣義S變換的基礎(chǔ)上，對高斯窗函數(shù)進(jìn)行了改造，即引入一個以頻率為自變量的可變因子函數(shù)，以便針對非平穩(wěn)信號的時頻特征，靈活多變地調(diào)節(jié)窗函數(shù)的類型及其參量，避免了S變換的時頻分辨率變化趨勢不變及廣義S變換的時頻分辨率變化趨勢單一的問題，使之具有更高的適應(yīng)性和針對性，進(jìn)而繼承和發(fā)展了廣義S變換。同時，利用可變因子的廣義S變換進(jìn)行瑞雷波頻散分析，取得了理想的效果。

1 基本原理

1.1 S變換和廣義S變換

Stockwell等［11、12］吸收短時傅立葉變換和連續(xù)小波變換二者的優(yōu)點(diǎn)，提出了著名的S變換，它是以Morlet小波為基本小波的連續(xù)小波變換的延伸。S變換表述如式（1）：

式中 h（t）為信號在時域的表示式；f代表頻率；τ是時間，為窗函數(shù)的中心點(diǎn)，控制著窗函數(shù)在時間軸上的位置。

顯然，在S變換中，其基本小波和高斯窗函數(shù)被分別定義為：

由此可見：S變換允許高斯窗函數(shù)的寬度隨頻率f的改變而改變，且表現(xiàn)為隨頻率f的增大而變窄。因此，在低頻段時窗較寬，相應(yīng)的頻率分辨率較高；而高頻段時窗較窄，對應(yīng)的時間分辨率較高。也就是說，S變換在低頻、高頻段分別具有較高的頻率分辨率和時間分辨率。

在S變換中，由于基本高斯窗函數(shù)形態(tài)固定，因而限制了它的應(yīng)用。為此，Mansinha等［13～15］提出用｜f｜／k代替S變換的高斯窗函數(shù)中的｜f｜。這時，高斯窗函數(shù)表示為：

便得到所謂的廣義S變換：

式中 k為常數(shù)，且k＞0。

當(dāng)k＝1時，即為標(biāo)準(zhǔn)的S變換，也就是說S變換僅是廣義S變換的特例。在廣義S變換中，通過控制k值的變化，可以提高時～頻譜的時間（或頻率）分辨率。如：小k值對應(yīng)高時間分辨率；大k值對應(yīng)高頻率分辨率。鑒于時間分辨率和頻率分辨率之間的對立性，在應(yīng)用Mansinha廣義S變換時，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的k值。

1.2 含可變因子的廣義S變換

S變換無法解決頻率分辨率和時間分辨率之間的矛盾。Mansinha［13］提出的廣義S變換雖然可以通過調(diào)節(jié)k值來分別提高頻率分辨率或時間分辨率，但由于k值是在全域內(nèi)設(shè)定的常數(shù)值，它在提高頻率分辨率或時間分辨率的同時，分別以犧牲時間分辨率或頻率分辨率為代價，因而，仍然沒有解決二者之間的矛盾。

總的來說，對某一非平穩(wěn)信號的時～頻分解，S變換獲得的時～頻譜是唯一的，其時頻分辨率是不可改變的；廣義S變換通過調(diào)控k值可以獲得多個時～頻譜，但對于某個固定的k值，其分辨率的變化趨勢仍是單一的。因此，無論S變換還是廣義S變換，都無法做到同時對全時段信號的局部頻段的分辨問題進(jìn)行著重刻畫。為使變換得到的時～頻譜能更好地反映全時段信號局部頻段的細(xì)節(jié)，對廣義S變換中的高斯窗函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，引入一個與頻率有關(guān)的可變因子σf，得到了一種全新的廣義S變換。

將式（4）所示的高斯窗函數(shù)修正為：

式中 σf是一個以頻率f為自變量的函數(shù)因子，可視需要而定義為不同類型的函數(shù)。

例如?。?/p>

或

σf（f）＝ （kf＋b）a

式中 k、a、b均取常數(shù)。

當(dāng)可變因子σf隨頻率f呈線性變化時，含可變因子的廣義S變換表示為：

2 含可變因子的廣義S變換提取瑞雷面波頻散曲線

利用含可變因子的廣義S變換提取頻散曲線，只需求得道間距為d的兩道信號的時頻譜，就可以求出各頻率的相速度，實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）分析工區(qū)的瑞雷面波信號，選用合適的可變因子σf，對道間距為d的兩道瑞雷面波信號進(jìn)行可變因子廣義S變換，取得二張時頻譜圖。

（2）固定頻率f，分別在二張頻譜上尋找該頻率能量極值所對應(yīng)的時間t1、t2，可計(jì)算出該頻率在這二張時頻譜上的時間差Δt＝｜t1－t2｜。

（3）計(jì)算相速度VR（f）＝；為克服偶然性

影響，最好采用統(tǒng)計(jì)平均方法計(jì)算相速度，即：

式中 N為面波記錄的總道數(shù)；Δtm為頻率為f的第m－1和第m道之間的時間差。

（4）改變頻率f，重復(fù)步驟（2）～步驟（3），最終獲得全部計(jì)算頻段內(nèi)的相速度，即f－VR頻散譜圖。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了對比S變換、廣義S變換和含可變因子廣義S變換的時～頻分析效果，首先用合成模型信號來說明含可變因子廣義S變換具有更好的時頻分析能力。

圖1是合成的非平穩(wěn)信號。

圖2（a）為合成信號的S變換時頻譜，從圖2（a）中可見，S變換保持了在低頻段有較好頻率分辨率、高頻段有較好時間分辨率的特點(diǎn)，但低頻段的時間分辨率較低，高頻段的頻率分辨率較差。圖2（b）是對應(yīng)的廣義S變換的時頻譜，可見，雖然通過選擇合適的k值，提高了低頻段的時間分辨率，但全域的頻率分辨率大大下降，因此，廣義S變換只能在時間分辨率和頻率分辨率二者之間取舍。圖2（c）是取可變因子為0.02f時的廣義S變換的時頻譜，其中不僅時間分辨率得到了較大幅度的改善，而且中高頻成份的頻率分辨率也有所提高。

通過比較不難發(fā)現(xiàn)，含可變因子的廣義S變換，在時域和頻域的分辨率都比S變換乃至廣義S變換具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。

4 實(shí)際資料試算

圖3是福建某高速公路某工點(diǎn)采集的單炮面波記錄，檢波器主頻3.8Hz，12道接收，道間距為1m，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024個，采樣間隔為0.2ms。

圖3 單炮面波記錄Fig.3 Single－shot surface－wave records

按照上述求算步驟，以第7道和第8道為例來說明。對兩道進(jìn)行含可變因子的廣義S變換，得到二張時頻譜（如圖4所示），分別在二張時頻譜上尋找出20Hz的極值點(diǎn)所對應(yīng)的時間記錄點(diǎn)分別為301和268，由于采樣間隔為0.2ms，則時間差為6.6ms，由此計(jì)算出的對應(yīng)頻率20Hz的相速度為151.5m／s。用相同的方法也可以求出不同頻率的相速度，即頻散曲線。

按工程上的習(xí)慣，將頻率轉(zhuǎn)換為波長，并遵照半波長解釋理論，將波長轉(zhuǎn)換為勘測深度，就可得到如圖5所示的相速度～深度圖。

經(jīng)證實(shí)，該相速度－深度曲線所揭示的分層信息和各層物性參數(shù)與鉆探資料吻合良好。

5 結(jié)論

理論模型和實(shí)際資料試算結(jié)果表明，利用可變因子，可以控制高斯窗函數(shù)寬度變化的快慢，使得窗函數(shù)的改造與實(shí)際信號的特征更加緊密地聯(lián)系起來。相比S變換及Mansinha提出的廣義S變換，含可變因子的廣義S變換更能反映信號的局部特征。鑒于含可變因子的廣義S變換的這種優(yōu)勢，對瑞雷面波記錄進(jìn)行含可變因子的廣義S變換，能夠更準(zhǔn)確地反映時間和頻率的對應(yīng)關(guān)系，因而提高了提取瑞雷波相速度的精度，得到較理想的頻散曲線（受篇幅影響，這里未逐一展出S變換和廣義S變換的計(jì)算結(jié)果）。

值得一提的是，隨著時頻分辨率的提高，在時頻譜上識別各頻率的極值的難度相對增大，有時可能面臨多極值選擇。因此，實(shí)際工作中，應(yīng)適當(dāng)加入一些圖像處理、人工交互解釋以及統(tǒng)計(jì)計(jì)算方面的工作，才能保證取得更為理想的效果。

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P 631.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.03

1001—1749（2012）05—0518—05

2011－11－04 改回日期：2012－06－04

周竹生（1965－），男，湖南祁陽人，博士后，教授，現(xiàn)主要從事資源勘查、工程物探、地質(zhì)災(zāi)害調(diào)查、信號處理、應(yīng)用軟件研制及數(shù)據(jù)庫開發(fā)等方面的教學(xué)和研究工作。