柳炳利，郭 科，敖 東，武 菊

（1.成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院，成都 610059；2.數(shù)學(xué)地質(zhì)四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610059；3.內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，內(nèi)江 641112）

0 前言

成礦過(guò)程的多期性和多源性，必然使得地球化學(xué)元素分布具有高度的非線性特征。眾多復(fù)雜地質(zhì)因素對(duì)地球化學(xué)元素的控制，必然會(huì)表現(xiàn)出元素的群體特征，即共生組合特征。礦床的成礦元素及其伴生元素是指示礦床存在的重要標(biāo)志，單一的指示元素異常存在著不確定性，多元素的綜合指示能夠有效地反映礦體的存在。因此，采用多元素的組合評(píng)價(jià)，則可以彌補(bǔ)單元素評(píng)價(jià)的不足。

基于以上考慮，作者在本文引入了信息論中的JADE算法，用于尋求地球化學(xué)成礦元素組合的關(guān)鍵問(wèn)題。

獨(dú)立分量分析［1］（ICA，Independent Component Analysis）是近年來(lái)由盲源分離技術(shù)（BSS，Blind Source Separation）發(fā)展起來(lái)的一種新的多維信號(hào)處理方法，是信號(hào)處理技術(shù)發(fā)展中的一項(xiàng)前沿?zé)狳c(diǎn)。與傳統(tǒng)的二階空間去相關(guān)技術(shù)相比，ICA不僅可以去除各分量之間的一階、二階相關(guān)性，同時(shí)還具有發(fā)掘并去除數(shù)據(jù)間的高階相關(guān)信息的能力，使得輸出分量之間相互獨(dú)立［2］。因此ICA可以被看作是二階空間去相關(guān)技術(shù)的一種擴(kuò)展。JADE是獨(dú)立分量分析理論中的典型算法。

獨(dú)立分量分析發(fā)展至今，時(shí)間雖然不長(zhǎng)，但在算法上已得到了深入的研究，成為現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)十分活躍的領(lǐng)域，在電子信息、通信、生物醫(yī)學(xué)、圖像增強(qiáng)、雷達(dá)、地球物理信號(hào)處理等領(lǐng)域中，都取得了豐碩的成果。但在地球化學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，目前仍是空白狀態(tài)。作者在本文將JADE算法應(yīng)用于尋求地球化學(xué)礦化元素組合當(dāng)中，取得了較好的應(yīng)用效果。

1 獨(dú)立分量分析的理論基礎(chǔ)［3、4］

多道觀測(cè)信號(hào)X是由多個(gè)信源S，經(jīng)混合矩陣A組合而成（X＝AS）。現(xiàn)在的任務(wù)是：

在S與A均未知的條件下，求取一個(gè)解混矩陣W，使得X通過(guò)它后所得輸出Y（Y＝WX）是S的最優(yōu)逼近（見下頁(yè)圖1）。

獨(dú)立分量分析有多種算法［5］，如基于代數(shù)結(jié)構(gòu)的AMUSE、SOBI、JADE，以及基于信息論的FastICA和Infomax。其中JADE的估計(jì)精度較高，使其成為了獨(dú)立分量分析方法中的典型算法。該

圖1 ICA的基本框圖Fig.1 The basic diagram of ICA

1.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

（1）去均值。設(shè)X（t）＝（x1（t），x2（t），…，xn（t））T，t＝1、2、…、N為隨機(jī)矢量X的N個(gè)樣本，則采用以下方法去除樣本的均值：

（2）白化。隨機(jī)矢量X的白化，就是通過(guò)一定的線性變換T，令

其中 T稱為白化矩陣。

其中 δij為Kronecker delta函數(shù)。

白化后的信號(hào)的分量之間二階統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

1.2 JADE優(yōu)化判據(jù)——極大峰度法［2］

極大峰度法［1、2］的處理過(guò)程有二步，前一步使數(shù)據(jù)正交化，但未必獨(dú)立；后一步則在保持熵值不變的前提下，使各分量盡可能獨(dú)立。

（1）正交化。Givens旋轉(zhuǎn)是Jacobi算法的基礎(chǔ)，它是按照一定優(yōu)化要求，通過(guò)一種迭代步驟對(duì)一個(gè)隨機(jī)矢量進(jìn)行正交歸一變換的方法。通過(guò)反復(fù)進(jìn)行一系列坐標(biāo)平面旋轉(zhuǎn)，來(lái)達(dá)到正交歸一變換的目的。每一次的平面旋轉(zhuǎn)，都只施加在一對(duì)坐標(biāo)上。

令z為M×1矢量，對(duì)它的i、j分量，按式（3）作平面旋轉(zhuǎn)，同時(shí)保持z中其它元素不變。

（2）極大峰度法。上述步驟中的關(guān)鍵問(wèn)題，是計(jì)算Givens旋轉(zhuǎn)角θij。作者在本文中以采用白化數(shù)據(jù)輸入條件下的極大似然判據(jù)εML為例加以說(shuō)明。根據(jù)ML判據(jù)，對(duì)正交變換后的輸出y有：算法的主要特點(diǎn)是加強(qiáng)了算法的代數(shù)概念，即引入了多變量數(shù)據(jù)的四維累積量矩陣，并對(duì)其作特征分解，簡(jiǎn)化了算法，也提高了結(jié)果的穩(wěn)健性。

其中 Kij、Kijkl分別表示二階及四階聯(lián)合統(tǒng)計(jì)量；σ2、k4分別表示方差和峰度。

圖2 JADE算法流程圖Fig.2 JADE algorithm flow chart

經(jīng)白化及正交變換后Kij（y）＝δij，又根據(jù)原始假設(shè)δ2（si）＝1，于是有：

在式（5）中，第二項(xiàng)與y無(wú)關(guān)。在白化輸入下，第一項(xiàng)Kijkl（y）為常數(shù)，而第三項(xiàng)只有在i＝j(luò)＝k＝l時(shí)有值，故式（5）可以寫成式（6）。

式（6）中 ＝c表示與原式只相差一些與y無(wú)關(guān)的項(xiàng)（包括常數(shù)）。

式（6）即為極大峰度算法的表達(dá)式。

作者可以對(duì)JADE算法進(jìn)行總結(jié)：

（1）化探數(shù)據(jù)的零均值化。

（2）穩(wěn)健預(yù)白化方法得到W0，并令白化后的數(shù)據(jù)為Z＝W0X。

（3）求出白化數(shù)據(jù)的四階累計(jì)量。

（4）根據(jù)Givens找到一個(gè)旋轉(zhuǎn)陣V，使累積量盡可能地對(duì)角化，使得判據(jù)εML最小。

（5）源信號(hào)估計(jì)，得到被恢復(fù)信號(hào)的估計(jì)：

算法流程圖見圖2。

2 應(yīng)用實(shí)例

由ICA的數(shù)學(xué)模型可知，在源信號(hào)S（t）未知，混合矩陣A未知的情況下，若要使求得的最優(yōu)逼近信源的獨(dú)立信號(hào)Y，只要求得解混矩陣W即可。因此，將多道觀測(cè)信號(hào)X（t）作為輸入值，經(jīng)由去均值、白化的數(shù)據(jù)預(yù)處理后，以負(fù)極大峰度法作為優(yōu)化判據(jù)，從而確定目標(biāo)函數(shù)。Givens旋轉(zhuǎn)是判據(jù)最小以求得解混矩陣W，最終得到相互獨(dú)立的信號(hào)Y。

為解決尋求最優(yōu)的成礦元素組合的問(wèn)題，作者在本文中，應(yīng)用JADE算法加以剖析：

將單元素地球化學(xué)數(shù)據(jù)視為多道觀測(cè)信號(hào)，將影響元素組合的各種因素視為混合矩陣，在影響因素難以確定的前提下，從統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的角度出發(fā)，將分離出各獨(dú)立分量中能量最大的分量，視為最易致礦的元素組合。從而得到了一種非線性科學(xué)與高新信息處理技術(shù)相結(jié)合的地球化學(xué)數(shù)據(jù)處理新方法。

為驗(yàn)證模型的可靠性，作者選取西藏洞嘎金礦1∶10 000土壤地球化學(xué)測(cè)量資料作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用JADE算法得到成礦元素組合，最后采用分形理論，求得異常下限和異常濃集分帶［11～13］。

應(yīng)用JADE算法，可以得到能量最大的獨(dú)立分量式（7）。由式（7）的系數(shù)可以看出，對(duì)獨(dú)立分量Y的影響最大的元素是Zn和Au。所以我們可以判定Y是我們要尋求的成礦元素組合，而Zn和Au是最能影響元素組合異常分布的元素。根據(jù)異常圖，我們可以對(duì)結(jié)論提供進(jìn)一步的論證，見圖3。

圖3 某礦區(qū)元素異常對(duì)照?qǐng)DFig.3 Element anomalies contrast diagram

對(duì)比單元素的等值線疊加圖與JADE的元素組合異常圖我們可以看出，JADE算法能夠反映單元素疊加圖中的密集區(qū)域。也就是說(shuō)，JADE算法能夠準(zhǔn)確地反映成礦元素的空間分布。

從組合異常圖與各單元素異常圖的對(duì)比可以清楚地看出，元素組合異常清晰地反應(yīng)了Zn和Au的異常形態(tài)，這與由公式（7）所得到結(jié)果是一致的。

3 結(jié)果討論

通過(guò)應(yīng)用實(shí)例研究，可以得到以下結(jié)論：

（1）JADE算法從元素親和性、相關(guān)性，以及樣品和變量的空間對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度出發(fā)，在分離過(guò)程中，通過(guò)對(duì)分離結(jié)果的非高斯性或相互獨(dú)立性的度量來(lái)監(jiān)視分離結(jié)果，力求定量地分離出能量最大的元素組合。即在一定區(qū)域范圍內(nèi)，按照地球化學(xué)元素的空間組配形態(tài)與機(jī)制來(lái)度量異常。從組合異常圖來(lái)看，效果明顯。

（2）從處理技術(shù)上看，依據(jù)獨(dú)立性分解，勢(shì)必涉及概率論密度函數(shù)或高階統(tǒng)計(jì)量，并且在處理過(guò)程常常要引入非線性環(huán)節(jié)。而地球化學(xué)數(shù)據(jù)的空間分布特征也是非線性的［11］，所以應(yīng)用該技術(shù)來(lái)對(duì)地球化學(xué)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理是合理的、可行的。從這一意義上看，ICA技術(shù)優(yōu)越于常用的，只建立在二階統(tǒng)計(jì)量的線性處理技術(shù)。

（3）JADE算法能夠更科學(xué)地去除元素組合之間的相關(guān)性，得到的元素組合比傳統(tǒng)方法更具有說(shuō)服力。從對(duì)比圖來(lái)看，組合異常更能反映礦致異常的分布情況，為研究地球化學(xué)次生暈的產(chǎn)生和分布提供了新的有力支撐。

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