楊宋鵬 姚新利
(銅川市耀州中學(xué) 陜西 銅川 727100)
文獻(xiàn)[1]刊登了對(duì)2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)物理試題的評(píng)析,其中第24小題,給出了兩種解法,這兩種解法的確簡(jiǎn)單,但是讀完之后,總覺得這樣的解法沒有考慮初始位置間的夾角,有些不妥.課堂上給學(xué)生講完上述兩種解法后,大部分學(xué)生同樣不能理解:為什么不考慮初始位置間的夾角?從圖1所示位置開始到第一次共線,a,b運(yùn)動(dòng)過的圓心角的差值并不等于π.思考再三,原來教師總是向?qū)W生強(qiáng)調(diào)重視過程的分析,但學(xué)生對(duì)題目中a,b物體運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)系并沒有弄清,上述兩種解法中同樣沒有過程的分析.為什么不考慮初始位置間的夾角,的確存在思維上的漏洞.于是筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生分析,找到了兩種更好的、更常規(guī)的解法,現(xiàn)在與大家分享.
題目:如圖1所示,3個(gè)質(zhì)點(diǎn)a,b,c質(zhì)量分別為m1,m2,M(M?m1,M?m2).在質(zhì)點(diǎn)c的萬有引力作用下,a,b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4,則它們的周期之比Ta∶Tb=______;從圖示位置開始,在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中,a,b,c共線了______次.
圖1
解析:萬有引力提供向心力,則
所以Ta∶Tb=1∶8.第一問的求解與參考答案相同.
現(xiàn)將第二問的兩種常規(guī)解法介紹如下.
解法一:物理過程分析法
第一問已經(jīng)求得Ta∶Tb=1∶8,即b物體運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi)a物體運(yùn)動(dòng)8周.據(jù)此,將b物體運(yùn)動(dòng)的軌跡圓周分成8等份,如圖2所示.
圖2
在a物體運(yùn)動(dòng)第1周的時(shí)間內(nèi),b物體從圖2中的b位置到b1位置,此過程中,a的線速度大,質(zhì)點(diǎn)a,b,c第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b4cb5區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的兩側(cè));由于a最后回到出發(fā)點(diǎn),因此a,b,c第二次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在bcb1區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a,b在c的同側(cè)).所以在a運(yùn)動(dòng)第1周的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)2次.
在a運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi),b從圖2中的b1位置到b2位置,a的線速度大,b的線速度小,a,b,c的第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b5cb6區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的兩側(cè)),此后a最后回到出發(fā)點(diǎn),不可能再出現(xiàn)a,b,c共線的情形.所以在a運(yùn)動(dòng)第2周的時(shí)間內(nèi),a,b,c共線出現(xiàn)1次.
在a運(yùn)動(dòng)第3周的時(shí)間內(nèi),b從圖2中的b2位置到b3位置,a的線速度大,b的線速度小,質(zhì)點(diǎn)a,b,c的第一次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b2cb3區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a、b在c的同側(cè)),相當(dāng)于a超過b時(shí);質(zhì)點(diǎn)a,b,c第二次共線出現(xiàn)在當(dāng)a在b6cb7區(qū)域運(yùn)動(dòng)的過程中(a,b在c的兩側(cè)).所以在a運(yùn)動(dòng)第3周的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)2次.
同理,b從圖2中的b3位置到b4位置,從b4到b5,從b6到b7,b從圖中的b7位置回b位置,這幾個(gè)過程中,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)2次.而b從圖中的b5位置到b6位置的過程,與b從圖中的b1位置到b2位置的過程相似,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)1次.
所以在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線了14次.從分析求解過程可以看出:當(dāng)b在a的起始位置所在的區(qū)域及其對(duì)稱區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)1次,其他區(qū)域質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線出現(xiàn)2次,與初始位置間夾角∠acb的大小無關(guān).
這個(gè)解法符合學(xué)生的思維習(xí)慣,便于解答學(xué)生心中的疑惑,有利于學(xué)生思維能力和分析力、動(dòng)手能力的培養(yǎng),但是過程繁瑣,考試中較費(fèi)時(shí)間.
解法二:計(jì)算法
也是利用兩次共線的時(shí)間間隔t計(jì)算,但將開始計(jì)時(shí)到第一次共線的時(shí)間單列計(jì)算.
為便于理解,先分析起始位置共線的兩類情況.在圖3所示的兩類情況中,設(shè)每隔時(shí)間t,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線1次,則
(ωa-ωb)t=π
圖3
所以b運(yùn)動(dòng)1周的過程中,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線的次數(shù)為
圖4
本題中,第一次共線后的其他共線,均可視為上述情況.這樣考慮起始夾角∠acb=θ.設(shè)由圖4所示a,b位置運(yùn)動(dòng)到第一次共線(即a,b運(yùn)動(dòng)到a′,b′,位置)用時(shí)為t1,則由圖4中的關(guān)系可得
ωat1+θ-ωbt1=π
此后的情形與圖3所示情形相同,即設(shè)每隔時(shí)間t,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線1次,則
(ωa-ωb)t=π
那么在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線的次數(shù)為
這種解法學(xué)生從過程分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個(gè)方面都容易理解和接受.但是,學(xué)生往往容易產(chǎn)生一個(gè)錯(cuò)誤的推論:若θ>π, 那么n=15.其實(shí)這個(gè)想法是錯(cuò)誤的.
圖5
分析如下:設(shè)由圖5所示a,b位置運(yùn)動(dòng)到第一次共線(即a,b運(yùn)動(dòng)到a′,b′,位置)用時(shí)為t1,則由圖5中的關(guān)系可得
ωat1+θ-ωbt1=2π
此后的情形與上一種情形相同,即設(shè)每隔時(shí)間t,質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線1次,則
(ωa-ωb)t=π
那么在b運(yùn)動(dòng)1周的時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)a,b,c共線的次數(shù)為
這樣,學(xué)生更容易理解和接受,而且也證明了,結(jié)果的確與初始位置夾角θ的大小無關(guān).
參考文獻(xiàn)
1 宋淑光.對(duì)2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)物理試題的評(píng)析.中學(xué)物理教學(xué)參考,2010(9):44