劉艷紅，李男杰，魏俊潮

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

0 引言

在本文中，R表示有單位元的結(jié)合環(huán)；E（R），U（R），N（R）和J（R）分別表示R的冪等元集合、可逆元集合、冪零元集合和Jacobson根.設(shè)X?R，記lR（X），rR（X）分別表示子集X在R中的左、右零化子，即lR（X）＝｛r∈R｜rX＝0｝，rR（X）＝｛r∈R｜Xr＝0｝，有時(shí)簡(jiǎn)寫為l（X），r（X）.特別地，當(dāng)X＝｛a｝時(shí)，可表示為l（a），r（a）.設(shè)M 為左R－模，N 是M 的R－子模，作為左R－模，若N 是M的直和項(xiàng)，則用N｜M表示.根據(jù)文獻(xiàn)［1］269，環(huán)R的一個(gè)元a稱為exchange元，若存在e∈E（R），使得e∈Ra，1－e∈R（1－a）；a稱為clean元，若存在e∈E（R），u∈U（R），使得a＝e＋u.由文獻(xiàn)［1］275知，clean元總是exchange元.一個(gè)環(huán)R稱為excnahge環(huán)，若R的每個(gè)元都是exchang元.一個(gè)環(huán)R稱為clean環(huán)，若R的每個(gè)元都是clean元.顯然clean環(huán)總是exchange環(huán)，但反過來不成立.宇化平在文獻(xiàn)［2］27中指出Abel的exchange環(huán)是clean環(huán)，且在文獻(xiàn)［3］中又證明了左quasi－duo的exchange環(huán)是clean環(huán).

一個(gè)環(huán)R稱為NI環(huán)，若N（R）形成R的理想；一個(gè)環(huán)R稱為2－素環(huán)，若N（R）＝P（R）.易見NI環(huán)和2－素環(huán)都是NIFP環(huán).一個(gè)環(huán)R稱為NCI環(huán)［7］，如果N（R）＝0或者N（R）包含R的一個(gè)非零理想.顯然，NCI環(huán)未必為直接有限環(huán)，從而由本文的定理1說明NCI環(huán)未必為NIFP環(huán).本文證明NIFP的exchange環(huán)是clean環(huán)，從而NI的exchange環(huán)及2－素的exchange環(huán)都是clean環(huán).

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)R為NIFP環(huán)，則R是直接有限環(huán).

證明 設(shè)a，b∈R且ab＝1，又令e＝ba，則e∈E（R）.設(shè)h＝a－ea，則h∈N（R）.由于（1－e）e＝0，所以（1－e）N（R）e?J（R），從而（1－e）h＝（1－e）he∈（1－e）N（R）e?J（R）.因?yàn)閑h＝0，所以h∈J（R），從而hb∈J（R）.由于hb＝1－e，故1－e∈J（R）；因此ba＝e＝1，從而R是直接有限環(huán).

推論2 IFP環(huán)總是直接有限環(huán).

設(shè)R為一個(gè)環(huán)，e∈E（R）.顯然，J（eRe）＝eJ（R）e且N（eRe）?N（R），因此有下面的定理.

定理3 設(shè)R為NIFP環(huán)，e∈E（R），則eRe是NIFP環(huán).

當(dāng)R為quasi－normal環(huán)時(shí)，可得到定理3形式上的逆定理.

定理4 設(shè)R為quasi－normal環(huán)，e∈E（R）.若eRe及（1－e）R（1－e）都是 NIFP環(huán)，則R也是NIFP環(huán).

證明 設(shè)a，b∈R，ab＝0，則eabe＝0.由于R為quasi－normal環(huán)，故由文獻(xiàn)［4］1857推論2.2（1）知（eae）（ebe）＝0.由于eRe是NIFP環(huán)，所以eaeN（eRe）ebe?J（eRe）?J（R）.現(xiàn)設(shè)x∈N（R），則有正整數(shù)n，使得xn＝0.由文獻(xiàn)［4］1857推論2.2（1）知，（exe）n＝exne＝0，故exe∈N（eRe），從而eaeN（R）ebe＝eaeN（eRe）ebe?J（R）.由文獻(xiàn)［4］1857推論2.2（1）知，eaN（R）be?J（R）.同理，（1－e）aN（R）b（1－e）?J（R）.由于（eaN（R）b（1－e）R）2?eR（1－e）ReR，故由文獻(xiàn)［4］1857定理2.1知，eaN（R）b（1－e）?J（R）.同理，（1－e）aN（R）be?J（R），因此aN（R）b?eaN（R）be＋eaN（R）b（1－e）＋（1－e）aN（R）be＋（1－e）aN（R）b（1－e）?J（R），從而R 是 NIFP環(huán).

定理5 設(shè)R是NIFP環(huán)，則R是左極小Abel環(huán).

證明 設(shè)e為R的一個(gè)左極小冪等元.任取a∈R，記h＝ae－eae.如果h≠0，則Rh＝Re，he＝h，eh＝0，從而h2＝hh＝heh＝0，所以h∈N（R）.由于R是NIFP環(huán)，所以h＝（1－e）h＝（1－e）he∈（1－e）N（R）e?J（R），從而Re＝Rh?J（R），這是不可能的；于是h＝0，所以對(duì)每個(gè)a∈R，ae＝eae，從而e是左半中心元，R是左極小Abel環(huán).

推論6 1）NI環(huán)是左極小Abel環(huán)；

2）2－素環(huán)是左極小Abel環(huán).

定理7 設(shè)R為NIFP環(huán)，x∈R為exchange元，則x為clean元.

證明 由于x為exchange元，故有e∈E（R），使得e∈Rx，1－e∈R（1－x）.設(shè)e＝y(tǒng)1x，1－e＝z1（1－x），取y＝ey1，z＝（1－e）z1，則y＝ey，z＝（1－e）z∈R 且e＝y(tǒng)x，1－e＝z（1－x）.易見（yz）（x－（1－e））＝y(tǒng)x－y（1－e）－zx＋z（1－e）＝e－y（1－e）－ze＋z（1－x）＝e－y（1－e）－ze＋1－e＝1－y（1－e）－ze.由于R為NIFP環(huán)，故y（1－e）＝ey（1－e）＝e（ey（1－e））（1－e）∈eN（R）（1－e）?J（R），ze＝（1－e）ze＝（1－e）（（1－e）ze）e∈（1－e）N（R）e?J（R），從而y（1－e）＋ze∈J（R），1－y（1－e）－ze是可逆元，因此有u∈R，使得u（y－z）（x－（1－e））＝1.由定理1知，（x－（1－e））u（y－z）＝1，故x－（1－e）是可逆元，從而x為clean元.

推論8 1）NIFP的exchange環(huán)是clean環(huán)；

2）NI的exchange環(huán)是clean環(huán)；

3）2－素的exchange環(huán)是clean環(huán).

定理9 設(shè)R為NIFP環(huán)，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，則x為clean元.

證明 由于xn是clean元，故有u∈U（R），f∈E（R），使得xn＝u＋f.記e＝u－1（1－f）u，則u（xn－e）＝u（u＋f）－（1－f）u＝（xn－1）xn∈Rx，故e＝xn＋u－1（xn－x2n）∈Rx且1－e＝1－xnu－1xn（1－xn）＝（1－u－1xn）（1－xn）∈R（1－x），因此x是exchange元.由定理7知，x為clean元.

推論10 設(shè)R為NI環(huán)，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，則x為clean元.

推論11 設(shè)R為2－素環(huán)，x∈R且n∈Z＋.若xn是clean元，則x為clean元.

設(shè)a∈R，若l（a）＝0，則稱a為R的左正則元.為方便計(jì)，用W（R）表示R的所有左正則元的集合.設(shè)a∈R，若存在b∈R，使得ab＝1，則稱a是R的右可逆元.若對(duì)每個(gè)a∈W（R），都有Ra｜R，則稱R是左wGC2環(huán)［9］.若對(duì)每個(gè)a∈R，作為左R－模，當(dāng)Ra?R時(shí)，總有Ra｜R，則稱R是左GC2環(huán)［10］.顯然左GC2環(huán)是左WGC2環(huán).

定理12 設(shè)R是NIFP環(huán)和左WGC2環(huán)，則R是左GC2環(huán).

證明 設(shè)a∈R，使得Ra?σR.設(shè)σ（a）＝c∈R，σ（ba）＝1，則bc＝1.由于R是NIFP環(huán)，故由定理1知cb＝1.若x∈l（a），則xc＝0，所以x＝x1＝xcb＝0，從而l（a）＝0.由于R是左wGC2環(huán)，所以Ra｜R，R是左GC2環(huán).

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