員美娟，鄭 偉

（1.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430065；

2.中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430077）

文獻(xiàn)［1］～文獻(xiàn)［4］利用分形毛細(xì)管模型研究了幾種非牛頓流體的流動(dòng)特性。Ellis流體是非牛頓流體中常見(jiàn)的一種。本文在考慮實(shí)際彎曲毛細(xì)管的分形特性基礎(chǔ)上，研究Ellis非牛頓流體在單毛細(xì)管中的流動(dòng)特性，以得到其不含經(jīng)驗(yàn)常數(shù)的分形表達(dá)式。

1 Ellis流體在單毛細(xì)管中流動(dòng)的分形模型

1.1 流量

Ellis流體在單根毛細(xì)管中的流量方程為［5］：

式中：Δp／L0為施加在毛細(xì)管兩端的壓力梯度，其中Δp為毛細(xì)管兩端的壓降；L0為毛細(xì)管通道的直線長(zhǎng)度；R為毛細(xì)管的半徑；φ0、φ1和α為描述Ellis流體特性的常量，其中α＞1。

當(dāng)φ1＝0時(shí)，Ellis模型可簡(jiǎn)化為牛頓模型，流體在管壁處受到的切應(yīng)力τw為

彎曲毛細(xì)管通道中流體流動(dòng)的分形冪規(guī)律為［6］

式中：DT為毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)；Lt為彎曲毛細(xì)管通道的實(shí)際長(zhǎng)度，且Lt≥L0。

考慮到彎曲流線的分形特征，采用毛細(xì)管的實(shí)際長(zhǎng)度Lt，式（1）可改寫為

式（4）即為Ellis流體流量方程的分形表達(dá)式。式（4）中，當(dāng)φ1＝0時(shí)可得單毛細(xì)管中牛頓流體流量方程的分形表達(dá)式為

由式（4）、式（5）可以看出，流量是流體特性參數(shù)、毛細(xì)管結(jié)構(gòu)參數(shù)和毛細(xì)管兩端壓降的函數(shù)。

1.2 流速

由式（4）可得單毛細(xì)管中Ellis流體的流速表達(dá)式為

由式（6）可知，Ellis流體在單毛細(xì)管中的流速不僅與毛細(xì)管的半徑R和迂曲度分形維數(shù)DT有關(guān)，而且與施加在毛細(xì)管兩端的壓力梯度（Δp／L0）和流體的特性參數(shù)（φ0、φ1和α）有關(guān)。

式（6）中，當(dāng)φ1＝0時(shí)，可得單毛細(xì)管中牛頓流體的流速表達(dá)式為

1.3 有效滲透率

Ellis流體的本構(gòu)方程［5］為

由本構(gòu)方程（8）可寫出單毛細(xì)管中Ellis流體的表觀黏度μa為

管壁處的切應(yīng)力τw為

結(jié)合式（6）、式（9）和式（10），由非牛頓流體滿足的廣義達(dá)西定律可得單毛細(xì)管中Ellis流體的有效滲透率為

式（11）中，當(dāng)φ1＝0時(shí)可得單毛細(xì)管中牛頓流體的有效滲透率為

由式（11）和式（12）可以看出，Ellis流體的有效滲透率不僅與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與其流體特性相關(guān)；而牛頓流體的有效滲透率只與毛細(xì)管的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與流體特性無(wú)關(guān)。

2 結(jié)語(yǔ)

本文考慮到彎曲毛細(xì)管的分形特性，研究了Ellis流體在單毛細(xì)管中的流動(dòng)特性，給出了該流體在單毛細(xì)管中的流量、流速和有效滲透率的分形解析解，所得結(jié)果對(duì)于進(jìn)一步理解Ellis流體流動(dòng)的內(nèi)在物理機(jī)理有一定作用。

［1］ Yun M J，Yu B M，Cai J C.A fractal model for the starting pressure gradient for Bingham fluids in porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2008，51（5）：1 402－1 408.

［2］ Yun M J，Yu B M，Cai J C.Analysis of seepage characters in fractal porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2009，52（13）：3 272－3 278.

［3］ Yun M J，Yu B M，Xu P，et al.Fractal analysis of power－law fluid in a single capillary［J］.Chinese Physics Letters，2008，25（2）：616－619.

［4］ 員美娟，鄭偉.單毛細(xì)管中卡森流體的分形分析［J］.武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，35（3）：229－231.

［5］ Govier G W，Aziz K.The flow of complex mixtures in pipes［M］.New York：Litton Edu Pub Inc，1972，143－144.

［6］ Yu B M.Fractal character for tortuous streamtubes in porous media［J］.Chinese Physics Letters，2005，22（1）：158－160.