楊 景，荀 坤，陳曉林

（北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871）

1 引 言

第13屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽于2012年5月1日至5月8日在印度首都新德里舉行.代表中國(guó)參賽的8名中學(xué)生全部都獲得了金牌，并且包攬了總分前三名.其中姚文杰同學(xué)還獲得了總分第一和實(shí)驗(yàn)第一的好成績(jī)，而劉尚同學(xué)則獲得了理論第一的好成績(jī).

本屆競(jìng)賽的2道實(shí)驗(yàn)題分別是“摩擦系數(shù)”和“電磁感應(yīng)”.因原題較長(zhǎng)，我們不得不作縮略，但會(huì)盡可能保留原貌.試題解答采用賽會(huì)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，并在必要時(shí)作簡(jiǎn)短評(píng)論.

2 試 題

2.1 試題1：摩擦系數(shù)

圖1 摩擦系數(shù)實(shí)驗(yàn)示意圖

由于摩擦力的作用，繞過(guò)圓柱的細(xì)繩的兩端張力會(huì)不同（見(jiàn)圖1）.要拉住細(xì)繩一端懸掛的物體，在細(xì)繩另一端加的力可以比物體所受的重力小.隨著細(xì)繩在圓柱上纏繞圈數(shù)的增多另一端所需加的最小力會(huì)以令人吃驚的速度減小.基于此，水手在固定船只時(shí)會(huì)將纜繩在泊樁上繞很多圈.本實(shí)驗(yàn)擬系統(tǒng)地探究負(fù)載W（＝MWg）、最小平衡力P（＝MPg）及纏繞角θ三者之間的關(guān)系.

2.1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示.在平臺(tái)的中間豎立一鋼管，在其四周各平置一鋼管.在其中一平置鋼管前，放一有機(jī)玻璃刻線板（間距為1.5mm），用于檢測(cè)細(xì)繩是否移動(dòng).用來(lái)纏繞鋼管的繩子有花色和粉色2種.在繩子的兩端可分別懸掛塑料秤盤(pán)和重物.放大鏡上的藍(lán)色滑塊用于開(kāi)關(guān)照明燈.含掛架的塑料秤盤(pán)的質(zhì)量Mpan標(biāo)在秤盤(pán)的側(cè)面，秤盤(pán)內(nèi)可放置不同質(zhì)量的砝碼，計(jì)有500.0，200.0，100.0，50.0，20.0，10.0，5.0，2.0，1.0g等規(guī)格.1個(gè)質(zhì)量未知的物體，其質(zhì)量用Mu表示.1個(gè)帶掛鉤的重物串，每件質(zhì)量均為100g，總質(zhì)量為800g.

圖2 摩擦系數(shù)實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.1.2 實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1）研究負(fù)載W、最小平衡力P以及纏繞角θ之間的關(guān)系（注：在此部分使用花色繩）.

以帶掛鉤的重物串作負(fù)載MW，將其系在所給花色繩（其質(zhì)量可忽略）一端，并在繩的另一端系上秤盤(pán)（質(zhì)量已知）.通過(guò)使細(xì)繩跨過(guò)或繞過(guò)2個(gè)或更多個(gè)鋼管可以改變纏繞角θ（見(jiàn)圖3）.平衡力由秤盤(pán)和加在其中的砝碼提供.

當(dāng)細(xì)繩不接觸豎直鋼管橫跨在2個(gè)平行鋼管上時(shí)得到的纏繞角θ最?。ㄒ?jiàn)圖3）.通過(guò)使細(xì)繩繞過(guò)豎直鋼管，及將秤盤(pán)和砝碼掛放在不同的水平管上，可使纏繞角θ以π／2的步長(zhǎng)變化.負(fù)載應(yīng)放置在裝有刻線板的水平管一側(cè).

理論上，可以通過(guò)觀察MW相對(duì)于刻線板移動(dòng)的臨界狀態(tài)來(lái)確定MP（克服靜摩擦力）.但實(shí)際上只能確定該值所處的區(qū)間[MP－，MP＋].測(cè)量時(shí)應(yīng)使該區(qū)間盡可能小.

圖3 纏繞角分別為π和3π／2的示意圖

a.固定θ角，研究MP與MW的關(guān)系.（2.2分）

在θ＝π時(shí)，改變負(fù)載，測(cè)量不同負(fù)載時(shí)MP的大小.要利用所給砝碼使測(cè)量范圍盡可能寬.要估算測(cè)量值包含因子為2的擴(kuò)展不確定度.畫(huà)圖確定MP與MW之間的關(guān)系.

b.固定負(fù)載MW，研究MP與θ之間的關(guān)系.（5.2分）

改變?chǔ)冉嵌?，測(cè)量平衡時(shí)MP的值.畫(huà)出必要的圖線，綜合各圖線得到MP與θ之間的關(guān)系.

c.綜合各圖線得到所需的方程.（0.6分）

分析所得數(shù)據(jù)，將P用W和θ表達(dá)出來(lái).P的表達(dá)式中還會(huì)含有與鋼管和細(xì)繩間的摩擦有關(guān)的項(xiàng).從P的表達(dá)式中找出此項(xiàng)，令其等于系統(tǒng)的摩擦系數(shù)μ，并估算此系數(shù)的擴(kuò)展不確定度.

2）測(cè)量未知物體質(zhì)量Mu和粉色繩與鋼管之間的摩擦系數(shù)μu.（2分）

寫(xiě)出用以求得Mu和μu的方程.利用任務(wù)1）中得到的關(guān)系式，在θ＝π時(shí)作必要的測(cè)量來(lái)確定未知重物的質(zhì)量Mu以及粉色繩與鋼管之間的摩擦系數(shù)μu，并估算它們的擴(kuò)展不確定度.

2.2 試題2：電磁感應(yīng)

2.2.1 引言

在1個(gè)耦合線圈系統(tǒng)中（2個(gè)線圈），通過(guò)線圈1磁通量為φ1＝L1i1＋M12i2，式中，i1和i2分別為流過(guò)線圈1和線圈2的電流，L1是線圈1的自感系數(shù)，M12是互感系數(shù).當(dāng)線圈2通有電流時(shí)，磁通量與上式類(lèi)似，并有M21＝M12＝M.

當(dāng)角頻率為ω的交流電流過(guò)串聯(lián)的電阻R和電感L時(shí)，會(huì)有電壓降.設(shè)電流i＝I0sinωt，則電阻和電感上的電壓降分別等于I0Rsinωt和I0ωLcosωt，ωL稱(chēng)為感抗，用符號(hào)X表示.稱(chēng)

為總阻抗.可以將R和L上的總壓降表示為I0Zsin（ωt＋θ），其中

交流電壓和交流電流的有效值V和I滿(mǎn)足類(lèi)似于歐姆定律的表達(dá)式：V＝IZ.由此有

不同于直流電路中電阻由歐姆定律來(lái)決定，交流電路中電阻的概念是與電磁能的耗散相聯(lián)系的.

若電路中還有其他電阻或電感與L和R組合串聯(lián)，回路中的總電壓降等于總電阻上的電壓降和總電感上的電壓降平方和的平方根.

由式（2）和（3）可以得到：

如果在1個(gè)含有線圈和1個(gè)已知電阻R′的組合回路上，加上電壓VA（如圖4所示），那么電壓VA和R′上的電壓降VR′，線圈上的電壓V和角度θ的關(guān)系為

式（6）中除θ外的所有量都能夠測(cè)量得到.

圖4 測(cè)量線圈感抗和電阻的電路圖

因此，測(cè)量出3個(gè)電壓VA，VR′和V，并利用式（4）～（6），θ，R，Z和X就能夠被確定：

若知道交流電的頻率，則還能夠計(jì)算出L.

對(duì)于由2個(gè)線圈組成的耦合回路，電源供給初級(jí)線圈的能量，部分消耗在初級(jí)線圈中，部分消耗在與之耦合的次級(jí)線圈中.當(dāng)不存在機(jī)械功時(shí)，能量?jī)H消耗在電阻上.電感不耗能，只是將電能以磁能的形式儲(chǔ)存起來(lái).對(duì)于自感系數(shù)為L(zhǎng)的電感，當(dāng)電流為I時(shí)，其平均儲(chǔ)能等于LI2／2.

當(dāng)電流流經(jīng)次級(jí)線圈時(shí)，其在初級(jí)線圈中感應(yīng)出的電動(dòng)勢(shì)會(huì)導(dǎo)致初級(jí)線圈中的電流變化.可以將次級(jí)線圈的影響包含在初級(jí)線圈的等效電阻和等效感抗中，使初級(jí)和次級(jí)線圈中消耗的總能量就好像是消耗在初級(jí)線圈的有效電阻上一樣.

初級(jí)線圈等效電阻RPE和等效電感LPE與從次級(jí)線圈“反射”的電阻RR和“反射”的電感LR有關(guān).在初級(jí)線圈中，反射的電阻RR所消耗的（平均）功率必須等于次級(jí)回路中電阻RS消耗的功率，即

類(lèi)似地，反射的電感LR和次級(jí)回路中電感LS滿(mǎn)足：

由于初級(jí)線圈中交變電流IP的改變，而在次級(jí)線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小等于ωMIP.根據(jù)基爾霍夫回路方程，可以寫(xiě)出初級(jí)和次級(jí)線圈中電流滿(mǎn)足的方程式中ZS是次級(jí)回路中的總阻抗.當(dāng)次級(jí)回路中阻抗為無(wú)限大時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就好像作用于開(kāi)路的次級(jí)線圈上.

2.2.2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示.頻率1 000Hz時(shí)輸出為10V（有效值）的正弦波發(fā)生器；數(shù)字萬(wàn)用表；2組繞在同一個(gè)無(wú)磁性非導(dǎo)體圓柱狀中空繞線筒上的同軸耦合線圈；能夠插入中空繞線筒的鋁棒；安裝在絕緣板上的電阻排（每排10個(gè)電阻：其中一排的電阻值均為100Ω，另一排的則均為10Ω，都含有香蕉插孔）；所需要的負(fù)載電阻RL或者取樣電阻R′可以用電阻排和導(dǎo)線連接來(lái)進(jìn)行選取，當(dāng)電阻排用作負(fù)載電阻時(shí)，還有另一個(gè)300Ω的電阻可用作取樣電阻；帶香蕉插頭的5根黑線和5根紅線.

頻率為1 000Hz的正弦波發(fā)生器可用于產(chǎn)生交流電壓.使用萬(wàn)用表的20V量程測(cè)量交流電壓的有效值.若有需要，可以從測(cè)量到的初級(jí)回路中R′上的電壓和次級(jí)回路中RL上的電壓，計(jì)算得到電流IP和IS.

圖5 電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.2.3 實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1）測(cè)量無(wú)芯（空氣芯）線圈和鋁芯線圈的電阻和電感.（3.4分）

如圖6所示，將線圈1（接線柱為藍(lán)色）和電阻R′（從電阻排上?。┐?lián)，并連接到正弦信號(hào)發(fā)生器的兩端.

交換連接數(shù)字萬(wàn)用表的“V／Ω”和“com”插口的表筆得到的讀數(shù)會(huì)有些許不同，每次測(cè)量時(shí)都要交換萬(wàn)用表的表筆，并取2次測(cè)量值的平均.

請(qǐng)選適合的R′，使VR′和V值大致相等.這樣，電壓測(cè)量的系統(tǒng)誤差對(duì)阻抗Z的影響可忽略.

圖6 測(cè)量線圈電阻和電感的電路圖

a.測(cè)量VA，VR′和V，以及另一線圈兩端的電壓VO，得到線圈1（藍(lán)色端點(diǎn)）的電阻R1和電感L1，并估算測(cè)量值的不確定度.（0.9分）

b.連接線圈2（接線柱為綠色），通過(guò)測(cè)量確定R2和L2.估算測(cè)得值的不確定度.（0.9分）

c.將鋁棒插入線圈中，重復(fù)a.，找出線圈1的電感L＊1和電阻R＊1及相應(yīng)的不確定度.（0.8分）

d.重復(fù)b.，得到帶鋁芯的線圈2的電感L＊2和電阻R＊2，并估算不確定度.（0.8分）

下面第2），3），4）部分，不需計(jì)算不確定度.

2）互感和耦合常數(shù).（3分）

e.互感M可以從VR′和VO[在1）部分中已測(cè)量]中得到.分別給出不帶和帶鋁芯的線圈1和線圈2的互感的平均值.耦合線圈的互感和自感之間的關(guān)系由M＝k（L1L2）1／2給出.確定耦合常數(shù)k的值.（0.4分）

f.如圖7所示，用線圈1（藍(lán)色接線柱）作初級(jí)線圈，線圈2（綠色接線柱）作次級(jí)線圈.將初級(jí)線圈與取樣電阻R′＝300Ω串聯(lián)，并接于信號(hào)發(fā)生器的輸出端.將次級(jí)線圈與可變電阻RL相聯(lián).測(cè)量RL兩端的電壓以得到輸出電壓VO.改變RL，測(cè)量每個(gè)RL時(shí)的VA，VR′，V和VO.（0.8分）

g.將式（12）重寫(xiě)成展開(kāi)式，可作出線性圖.其斜率可用來(lái)獲得互感M，截距可用來(lái)獲得次級(jí)線圈的感抗XS.給出線性圖的表達(dá)式.（0.2分）

h.使用f.中的數(shù)據(jù)，算出一些必要的物理量，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)于g.中表達(dá)式的圖.（0.9分）

i.作圖，并得到M和XS的值.（0.7分）

3）初級(jí)線圈的等效阻抗和次級(jí)線圈的反射物理量之間的關(guān)系.（2.4分）

j.使用2）中得到的數(shù)據(jù)，找出對(duì)應(yīng)次級(jí)回路中各個(gè)RL取值時(shí)，初級(jí)線圈的等效電阻RPE和等效感抗XPE.（0.6分）

圖7 測(cè)量線圈互感的電路圖

k.使用2）中得到的數(shù)據(jù)，對(duì)所有RL，計(jì)算式（10）中所定義的反射電阻RR和反射電抗XR[參見(jiàn)式（11）].（0.6分）

l.作出XPE隨XR變化的曲線.請(qǐng)考慮作圖所繪各量的不確定度，寫(xiě)出初級(jí)線圈的等效感抗和反射感抗之間關(guān)系的表達(dá)式.（0.6分）

m.在所研究的取值范圍內(nèi)，用圖像表示出RR和RL的關(guān)系，并找出反射電阻達(dá)到最大時(shí)RL的取值.如有需要，可進(jìn)一步測(cè)量得到更多數(shù)據(jù)，以便更加精確地找出上述最大值.（0.6分）

4）渦流效應(yīng).（1.2分）

n.通過(guò)分析3）中得到的數(shù)據(jù)，可以使用一種模型來(lái)估算金屬芯中的渦流所感受到的電感和電阻的比值.通過(guò)分析2）中h.和i.的數(shù)據(jù)，可以得到RPE＝RP＋RR.而XPE和XR之間的關(guān)系從3）中l(wèi).得到.參照1）中c.得到的數(shù)據(jù)，分別對(duì)線圈1和線圈2接上電源的情形，估算鋁芯中渦流所感受到的電感和電阻的比值.（0.8分）

o.按照2）中圖3所示連接線圈，并插入鋁芯.給出鋁芯的功率損耗ΔP的表達(dá)式.取R′＝300Ω，RL＝1 000Ω，將VA調(diào)到9.0V.通過(guò)測(cè)量，得出鋁芯中渦流引起的功率損耗.（0.4分）

3 試題解答

3.1 試題1解答

3.1.1 研究負(fù)載W、最小平衡力P以及纏繞角θ之間的關(guān)系

a.按圖3（a）的方式固定θ＝π，測(cè)量在不同的負(fù)載MW下，達(dá)到平衡時(shí)所需的MP值，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1 MP與MW的關(guān)系測(cè)量數(shù)據(jù)（θ＝π）

表1中的測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)如有4個(gè)得0.4分，每多測(cè)1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)多得0.1分，測(cè)滿(mǎn)8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.8分.如有5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的不確定度ΔMP＜5g得0.4分，每增加1個(gè)不確定度ΔMP＜5g的數(shù)據(jù)點(diǎn)多得0.1分，全部數(shù)據(jù)點(diǎn)的不確定度＜5g得0.7分.在MW＞500g時(shí)，若ΔMP＜1g，不得分.

作圖區(qū)域占據(jù)作圖紙的70%以上得0.1分.如有3個(gè)點(diǎn)在直線上得0.1分；如有4個(gè)點(diǎn)在直線上得0.2分.2個(gè)坐標(biāo)軸單位標(biāo)注正確得0.1分.圖8中的直線斜率在0.6～0.8之間得0.3分，在0.5～0.6或者0.8～0.9之間只得0.1分.

圖8 與MW間關(guān)系圖

b.固定負(fù)載MW，研究MP與θ之間的關(guān)系.

取負(fù)載MW＝800.0g.通過(guò)使細(xì)繩繞過(guò)豎直鋼管，可使纏繞角θ以π／2的步長(zhǎng)變化.改變?chǔ)冉?，測(cè)量平衡時(shí)MP的值，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.

表2 MP與θ的關(guān)系測(cè)量數(shù)據(jù)（MW＝800.0g）

表2中測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)有6個(gè)或7個(gè)得0.5分；如有8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得1分，在此基礎(chǔ)上每增加1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)多得0.1分，直至得滿(mǎn)1.4分.如有8個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的不確定度ΔMP＜5g得0.8分，每增加1個(gè)不確定度ΔMP＜5g的數(shù)據(jù)點(diǎn)多得0.1分，直至得滿(mǎn)1.2分.但不確定度ΔMP＜1g不得分.

作圖區(qū)域占滿(mǎn)作圖紙的70%以上得0.2分.2個(gè)坐標(biāo)軸單位標(biāo)注正確得0.2分.曲線平滑得0.6分；如曲線大體平滑（至少有一半數(shù)據(jù)點(diǎn)在曲線上）得0.4分.

圖9 MP與θ間關(guān)系圖

c.綜合所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到P，W和θ的關(guān)系表達(dá)式.為了驗(yàn)證上述指數(shù)衰減關(guān)系，可以作ln MP－θ或者ln（MP／MW）－θ圖.如果二者成線性關(guān)系，就表明

或者

結(jié)合所得的關(guān)系（13）和（14），可得到

常數(shù)k可以定義為摩擦系數(shù)μ，

考慮到θ＝0時(shí)，P＝W，常數(shù)C為1.因此可以得到P，W和θ之間的關(guān)系：

作ln（MP／MW）－θ圖，如圖10所示.由圖10的斜率得到μ＝0.106.根據(jù)ΔMP可得到Δμ＝0.011，換算成標(biāo)準(zhǔn)差uc（μ）＝0.006 2.擴(kuò)展不確定度U（μ）＝0.012≈0.01.因此μ＝0.11±0.01.

圖10 ln（MP／MW）與θ間的關(guān)系曲線圖

圖10中作圖區(qū)域占滿(mǎn)作圖紙的70%以上得0.2分.坐標(biāo)軸單位標(biāo)注均正確得0.1分.有4個(gè)點(diǎn)在直線上得0.4分，5個(gè)點(diǎn)得0.5分，6個(gè)點(diǎn)得0.6分.圖10中的斜率在0.09～0.13之間得0.5分，在0.08～0.09或者0.13～0.14之間只得0.4分.斜率的不確定度計(jì)算方法有0.1分，擴(kuò)展不確定度小于等于0.02再得0.1分.能將式（17）中θ前的系數(shù)確定為摩擦系數(shù)μ得0.1分.式（17）正確得0.5分.式（17）中將重量P和W混淆成質(zhì)量MP和MW只能得0.2分；常數(shù)C沒(méi)有判斷為1的也只能得0.2分.

3.1.2 測(cè)量未知物體質(zhì)量Mu和粉色繩與鋼管之間的摩擦系數(shù)μu

將未知重物Mu和秤盤(pán)MP分別懸掛于粉色繩的兩端（纏繞角θ＝π），在秤盤(pán)內(nèi)加入砝碼使粉色繩靜止.當(dāng)秤盤(pán)達(dá)到向上運(yùn)動(dòng)和靜止間的臨界狀態(tài)時(shí)，摩擦力阻礙未知重物下落，

當(dāng)秤盤(pán)達(dá)到向下運(yùn)動(dòng)和靜止間的臨界狀態(tài)時(shí)，摩擦力阻礙秤盤(pán)下落，

分別測(cè)量秤盤(pán)向上和向下2種臨界狀態(tài)時(shí)的質(zhì)量MP.秤盤(pán)處于向上臨界狀態(tài)時(shí)，MP1的范圍為73.6～77.6g.秤盤(pán)處于向下臨界狀態(tài)時(shí)，MP2的范圍為184.6～192.6g.

Mu的不確定度計(jì)算為

μu的不確定度計(jì)算為

求解式（18）和（19）正確得0.4分，測(cè)量Mu和μu的方法正確得0.6分.測(cè)量[MP1－，MP1＋]和[MP2－，MP2＋]得0.4分.Mu的值在115～121g之間得0.2分，如在113～115g或121～123g之間只能得0.1分.Mu的擴(kuò)展不確定度≤4g得0.1分.μu的值在0.13～0.20之間得0.2分，μu的擴(kuò)展不確定度≤0.01得0.1分.

3.2 試題2解答

3.2.1 測(cè)量無(wú)芯（空氣芯）線圈和鋁芯線圈的電阻和電感

按照?qǐng)D6，分別測(cè)量VA，VR′和V，根據(jù)式（7）和（9），得到線圈的電阻和電感.分別對(duì)a.線圈1空氣芯、b.線圈2空氣芯、c.線圈1鋁芯和d.線圈2鋁芯共4種情況進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.

表3 電壓測(cè)量數(shù)據(jù)

根據(jù)前面的公式計(jì)算出線圈參量，得到表4.

表4 線圈參量數(shù)據(jù)

這一部分實(shí)驗(yàn)內(nèi)容要求計(jì)算不確定度.此處實(shí)驗(yàn)的測(cè)量過(guò)程是用數(shù)字萬(wàn)用表對(duì)電壓進(jìn)行測(cè)量，因此系統(tǒng)誤差由萬(wàn)用表說(shuō)明書(shū)給出.在20V量程范圍內(nèi)，萬(wàn)用表電壓擋的系統(tǒng)誤差ΔV＝±（1.0%×讀數(shù)＋4個(gè)字）.表1中ΔVA，ΔV和ΔVR′的數(shù)值即據(jù)此得到.ΔV看作是極限誤差，按照均勻分布規(guī)律換算成標(biāo)準(zhǔn)差us（V）＝ΔV／除此之外，還要求考慮數(shù)字萬(wàn)用表的分辨率誤差，即讀數(shù)最后一位的半值.由于測(cè)量在20V量程范圍內(nèi)，最小分度為10mV.因此分辨率帶來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為ur（V）＝0.005／＝0.002 9V.由式（7）及（8）可以進(jìn)行誤差計(jì)算，得到R的系統(tǒng)誤差us（R）和分辨率誤差ur（R）及Z的系統(tǒng)誤差us（Z）、分辨率誤差ur（Z）.最后得到的合成誤差為和uc（Z）＝通過(guò)公式X2＝Z2－R2可以得到感抗誤差uc（X）和電感誤差uc（L）.最后的誤差結(jié)果要求用包含因子為2的擴(kuò)展不確定度來(lái)表達(dá)，即U（R）＝2uc（R）和U（L）＝2uc（L）.誤差計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5.

表5 誤差計(jì)算結(jié)果

對(duì)上述4種情況的測(cè)量，即：a.線圈1空氣芯、b.線圈2空氣芯、c.線圈1鋁芯、d.線圈2鋁芯，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)基本一樣.首先要求選擇適當(dāng)?shù)腞′，使得｜V－VR′｜≤0.15V.這樣可以減少電壓測(cè)量給阻抗Z帶來(lái)的系統(tǒng)誤差.滿(mǎn)足上面的要求，a～d每一種情況各得0.1分，共0.4分.

其次對(duì)于空氣芯線圈的測(cè)量a.和b.，交換電表探頭測(cè)量電壓2次，a.和b.各得0.2分；只測(cè)量1次各得0.1分.Z1在435～465Ω，得0.1分；R1在40～47Ω，得0.1分，L1在69～73mH，得0.1分.us（R1）在1.1～1.2Ω之間得0.1分；U（R1）為±3Ω，得0.1分；U（L1）為±0.2mH，得0.1分.Z2在335～365Ω，得0.1分；R2在40～47Ω，得0.1分，L2在52～59mH，得0.1分.us（R2）在0.85～0.97Ω之間得0.1分；U（R2）為±3Ω，得0.1分；U（L2）為±0.1mH或者±0.2mH，得0.1分.

對(duì)于鋁芯線圈的測(cè)量c.和d.，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)與a.和b.略有不同.交換電表探頭測(cè)量2次，c.和d.中各得0.1分，若只測(cè)量1次，則不得分.在280～310Ω，得0.1分；在100～110Ω，得0.1分，在42～46mH，得0.1分.us（）在1.1～1.4Ω之間，得0.1分；U（）為±3Ω，得0.1分；U（）為±0.2mH，得0.1分.在275～285Ω，得0.1分；在64～76Ω，得0.1分，在40～44mH，得0.1分.us（）在0.91～1.2Ω之間，得0.1分；若U（）為±2Ω或者±3Ω，得0.1分；U（）為±0.2mH，得0.1分.

3.2.2 測(cè)量互感和耦合常數(shù)

按照?qǐng)D7連接電路圖，注意此處實(shí)驗(yàn)要求使用的是線圈1作為初級(jí)線圈，線圈2作為次級(jí)線圈，并且是空氣芯的情況.改變可變電阻RL，測(cè)量VA，VR′，V和VO.將式（12）展開(kāi)，

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表6所示.

測(cè)量5組數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.4分，6組數(shù)據(jù)得0.5分，7組數(shù)據(jù)得0.6分.如果超過(guò)7組數(shù)據(jù)并且RL是按100Ω步長(zhǎng)遞增，再得0.1分.交換電表極性測(cè)量電壓2次得0.1分.

作圖所依據(jù)的公式即式（12）的展開(kāi)式正確，得0.2分，計(jì)算作圖參量，有4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.2分；5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.4分；6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.6分.IP和IS計(jì)算正確各得0.1分，（RS＋RL）2計(jì)算正確，特別是RS應(yīng)選為線圈2空氣芯的電阻，得0.1分.

表6 改變可變電阻RL測(cè)量電壓數(shù)據(jù)

表7 和作圖所用參量數(shù)據(jù)

表7 和作圖所用參量數(shù)據(jù)

RL／ΩIP／A IS／A（IP／IS）2（RS＋RL）2／Ω2 100 0.020 0 0.017 1.35 20 438.25 200 0.018 1 0.014 1.69 59 030.73 300 0.017 1 0.011 2.24 117 623.21 400 0.016 8 0.010 2.99 196 215.69 500 0.016 5 0.008 3.90 294 808.17 600 0.016 5 0.007 5.03 413 400.65 700 0.016 5 0.007 6.31 551 993.13 800 0.016 5 0.006 7.77 710 585.61

圖11 和的關(guān)系圖

作圖區(qū)域占滿(mǎn)作圖紙的70%以上得0.1分.恰當(dāng)?shù)剡x取原點(diǎn)坐標(biāo)得到截距，得0.1分.從斜率中計(jì)算得到的M在50～54mH范圍內(nèi)，得0.1分；如更精確地處在51～52mH范圍內(nèi)得0.2分.從截距計(jì)算得到的XS在320～385Ω范圍內(nèi)得0.1分；如更精確地處在335～360Ω得0.2分.如有5個(gè)點(diǎn)以上在直線上得0.1分.

3.2.3 初級(jí)線圈的等效阻抗和次級(jí)線圈的反射物理量之間的關(guān)系

首先要求計(jì)算等效阻抗和反射阻抗，再研究二者之間的關(guān)系.對(duì)于等效阻抗，是從初級(jí)線圈的角度出發(fā)，將次級(jí)線圈在初級(jí)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等效為初級(jí)線圈阻抗的變化對(duì)電流的影響.反射阻抗是從次級(jí)回路的角度出發(fā)，將次級(jí)回路上的能量損耗根據(jù)能量守恒定律等效為初級(jí)回路中的反射阻抗.具體計(jì)算公式如（10）和（11）所示.因此直接利用3.2.2部分的電壓測(cè)量數(shù)據(jù)，代入線圈阻抗計(jì)算式（7）和（9）即可得到等效電阻和等效感抗，而代入定義公式（10）和（11）即可得到反射電阻和反射感抗.注意在代入公式（10）的過(guò)程中，次級(jí)回路的電阻應(yīng)為線圈的電阻RS和串聯(lián)的可變電阻RL之和，即式（10）應(yīng)為具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表8.

表8 等效阻抗和反射阻抗隨RL的變化數(shù)據(jù)

等效電阻的計(jì)算公式正確得0.1分.計(jì)算5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)得0.1分；計(jì)算6個(gè)及以上得0.2分.等效感抗、反射電阻和反射感抗的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)均與等效電阻相同.

作XPE隨XR的變化曲線，得到二者成線性關(guān)系，如圖12所示.觀察圖中直線的斜率和截距，可得斜率為－1，截距為線圈1空氣芯的感抗XP.因此有關(guān)系式XP－XR＝XPE.

圖12 XPE和XR關(guān)系圖

作圖區(qū)域占滿(mǎn)作圖紙的70%以上得0.1分.恰當(dāng)?shù)剡x取原點(diǎn)坐標(biāo)得到截距，得0.1分.斜率在－0.9～－1.1范圍內(nèi)，得0.1分；截距等于第（1）部分中所測(cè)得的線圈2空氣芯的感抗，誤差在＋20Ω范圍內(nèi)，得0.1分.如有5個(gè)點(diǎn)以上在直線上得0.1分.推導(dǎo)出關(guān)系式XP－XR＝XPE得0.1分.

試題還要求研究RR和RL的關(guān)系.觀察前面的測(cè)量數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)RL＝300Ω左右時(shí)RR有最大值.進(jìn)一步在RL＝300Ω附近進(jìn)行細(xì)致測(cè)量，可得到反射電阻有最大值時(shí)的RL取值.此處要求作圖，數(shù)據(jù)如表9所示，關(guān)系圖見(jiàn)圖13.

根據(jù)圖13可知當(dāng)RL＝300Ω時(shí)，RR有最大值.其實(shí)RR和RL之間的關(guān)系也可以通過(guò)推導(dǎo)得到.將式（12）代入（10），可得當(dāng)RL＝XS－RS時(shí)，RR有最大值.

作圖區(qū)域占滿(mǎn)作圖紙的70%以上得0.1分.曲線光滑得0.1分.有明顯的峰得0.1分.RL在理論值（XS－RS）附近＋20Ω范圍內(nèi)，得0.1分；如更精確地處在±5Ω范圍內(nèi)得0.3分.

表9 反射電阻RR隨可變電阻RL的變化

圖13 RR和RL的關(guān)系圖

3.2.4 渦流效應(yīng)

此部分研究線圈中插入金屬芯產(chǎn)生的渦流效應(yīng)，測(cè)量數(shù)據(jù)見(jiàn)表10.首先要求估算鋁芯中渦流受到的電感和電阻的比值.由式（10）和（11）之比看出：鋁芯中渦流受到的電感和電阻之比等于反射電感和反射電阻之比.根據(jù)前面得到的反射阻抗和等效阻抗的關(guān)系，有分別代入線圈1和線圈2的相關(guān)參量，可得到比值4.85×10－4s和4.50×10－4s.

從等效阻抗和反射阻抗的討論可得出，初級(jí)線圈中反射電阻消耗的功率等于鋁芯損耗功率與次級(jí)線圈電阻消耗的功率之和，即ΔP＝（RPERP）－（RS＋RL）.取R′＝300Ω，RL＝1 000Ω，VA＝9.0V，通過(guò)相應(yīng)的測(cè)量計(jì)算可以得到鋁芯中渦流引起的功率損耗為1.65×10－2W.

表10 鋁芯功率損耗電壓測(cè)量數(shù)據(jù)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物理概念、公式和數(shù)據(jù)都有要求.估算渦流所感受到的電阻和電感比值時(shí)，物理概念清晰，公式正確得0.4分，2個(gè)比值計(jì)算正確各得0.2分.計(jì)算渦流功率損耗時(shí)，交換萬(wàn)用表探頭極性各測(cè)1次得0.1分，功率損耗物理概念正確得0.2分，計(jì)算值正確，誤差在±0.001W范圍內(nèi)再得0.1分.

4 結(jié)束語(yǔ)

本次亞賽的實(shí)驗(yàn)考題總體風(fēng)格與前幾屆相同，都是讓考生按給定的方法完成任務(wù).本次實(shí)驗(yàn)注重對(duì)基本實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)的考察，如誤差的計(jì)算、作圖中的各種細(xì)節(jié)；注重對(duì)基本物理實(shí)驗(yàn)技能的考察，如第1題中通過(guò)物理量的測(cè)量推導(dǎo)函數(shù)關(guān)系；注重考察物理概念和物理圖像的理解，如第2題中等效阻抗、反射阻抗以及損耗功率的計(jì)算等問(wèn)題.與12屆以色列亞賽實(shí)驗(yàn)題目相比，難度有所減小，但題量增加不少.特別是第2題需要進(jìn)行多次的電壓測(cè)量，這導(dǎo)致時(shí)間嚴(yán)重不夠，學(xué)生最多只能做到第2題的第3部分.這就要求學(xué)生除了具有扎實(shí)的實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)和實(shí)驗(yàn)技能外，還要求具有較快的解題速度.中國(guó)學(xué)生在此次比賽中也出現(xiàn)了一些本可以避免的問(wèn)題導(dǎo)致失分，如第1題中改變角度的測(cè)量和第2題中改變可變電阻RL的測(cè)量，不少同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)偏少；第2題中測(cè)量線圈的電阻和電感中，R′沒(méi)有仔細(xì)調(diào)節(jié)使得V和VR′差值足夠小，等等.然而總體來(lái)說(shuō)，本次亞賽中國(guó)學(xué)生了體現(xiàn)扎實(shí)的基本功和較高的實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)，臨場(chǎng)發(fā)揮出色，取得了近幾年來(lái)在亞賽賽場(chǎng)上的最好成績(jī).

本次競(jìng)賽中要求用包含因子為2的擴(kuò)展不確定度來(lái)作不確定度的估計(jì)，我們認(rèn)為不必要.其實(shí)，只要給出了標(biāo)準(zhǔn)差，任何置信度下的不確定度都可以通過(guò)由標(biāo)準(zhǔn)差乘以相應(yīng)的包含因子得到.其次，在第2題中計(jì)算用萬(wàn)用電表測(cè)量電壓的不確定度時(shí)，除了萬(wàn)用表說(shuō)明書(shū)給出的系統(tǒng)誤差外，出題者還要求考慮萬(wàn)用表電壓擋分辨率帶來(lái)的誤差，即最小分度引起的誤差（最小分度的半值）.萬(wàn)用表說(shuō)明書(shū)給出的系統(tǒng)誤差ΔV＝±（1.0%×讀數(shù)＋4個(gè)字）已經(jīng)包含了某一擋末位的誤差（4個(gè)字），此時(shí)再另外考慮電壓擋0.5個(gè)字的分辨率誤差顯然沒(méi)有必要.

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