萬樹德

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)電磁學(xué)教學(xué)組，安徽合肥230026）

1 無電刷法拉第模型電動機

無電刷法拉第模型電動機如圖1所示，用于電磁學(xué)教學(xué)課堂演示.轉(zhuǎn)子線圈用漆包線繞制，近似矩形，線頭自兩側(cè)引出，刮去漆皮作為轉(zhuǎn)子線圈的轉(zhuǎn)軸，架在由2塊銅板做成的導(dǎo)體支架上.兩導(dǎo)體板通過開關(guān)K分別與干電池兩極焊接，接通開關(guān)K后電池供電有電流流過轉(zhuǎn)子線圈.在兩導(dǎo)電板之間、轉(zhuǎn)子線圈下方安放1塊銣鐵硼永磁體.通電的轉(zhuǎn)子線圈邊框通過磁體附近時會受到安培力的作用.

實驗現(xiàn)象如下：1）若K斷開，無論給轉(zhuǎn)子線圈任何方向的初始角動量，轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動幾圈后都將逐漸停止轉(zhuǎn)動；2）若K接通，給轉(zhuǎn)子線圈初始角動量，轉(zhuǎn)子線圈將會維持旋轉(zhuǎn)；3）若K接通，給轉(zhuǎn)子線圈一反向的初始角動量，轉(zhuǎn)子線圈也會維持旋轉(zhuǎn).

在轉(zhuǎn)子線圈通電的情況下，只要給轉(zhuǎn)子線圈初始的角動量讓轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)子線圈將維持轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向保持與原始轉(zhuǎn)動方向一致.

2 解釋實驗現(xiàn)象遇到的困難

實驗現(xiàn)象1）很好解釋，K斷開，轉(zhuǎn)子線圈無電流通過，磁場對轉(zhuǎn)子線圈無安培作用力，所受磁力矩為0，轉(zhuǎn)子線圈受空氣阻力、軸與支架間的摩擦力作用轉(zhuǎn)動逐漸停止，符合牛頓力學(xué)規(guī)律.

實驗現(xiàn)象2）和3）難以解釋.

很顯然，無電刷法拉第模型電動機不能改變流經(jīng)轉(zhuǎn)子線圈的電流方向，應(yīng)不能維持轉(zhuǎn)動.

為了便于說明問題，首先簡化問題，由于永磁體安裝位置原因，下部磁場較強，上部磁場較弱，假定上部磁場為0，下部磁場垂直向上，轉(zhuǎn)子線圈下邊框處在磁場中，受到安培力作用，上邊框所受安培力為0.n是轉(zhuǎn)子線圈平面法線方向單位矢量，與線圈電流的右手螺旋旋進(jìn)方向平行，設(shè)它與中垂軸z的夾角為θ，這樣無電刷法拉第模型電動機可用圖2表示.ω＝dθ／dt是轉(zhuǎn)子線圈的旋轉(zhuǎn)角速度，旋轉(zhuǎn)方向由箭頭標(biāo)示.

因轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)軸兩側(cè)導(dǎo)線電流方向相反，分別處在下部磁場區(qū)域時所受安培力方向相反，相對轉(zhuǎn)軸的磁力矩方向也是相反的.這樣，轉(zhuǎn)子線圈每旋轉(zhuǎn)1周（θ改變2π），總有半周（0～π）所受磁力矩與另外半周（π～2π）所受磁力矩的方向相反而且大小相等.即有半周（π～2π）所受磁力矩與轉(zhuǎn)子線圈初始角動量平行，使轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動加速，角動量增加；另半周（0～π）所受磁力矩與轉(zhuǎn)子線圈初始角動量反平行，使轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動減速，角動量減小.

圖2 無刷法拉第電動機模型

轉(zhuǎn)子線圈角動量的改變量等于轉(zhuǎn)子線圈所受的沖量矩[1－2]：

據(jù)分析，θ由0～π與由π～2π間角動量的改變量滿足大小相等方向相反，即：

或者，轉(zhuǎn)子線圈每轉(zhuǎn)動1周由安培力所引起的角動量的改變量為0，即：

如果不考慮空氣阻力、轉(zhuǎn)軸與支架間的摩擦力，只要給轉(zhuǎn)子線圈一初始角動量，轉(zhuǎn)動可以一直維持，事實上（實驗現(xiàn)象1說明）空氣阻力、轉(zhuǎn)軸與支架間的摩擦力是客觀存在的，在旋轉(zhuǎn)過程中，耗散力帶給轉(zhuǎn)子線圈的沖量矩或角動量增量為負(fù)值，無電刷通電轉(zhuǎn)子線圈是不能夠維持轉(zhuǎn)動的，這與實驗現(xiàn)象2）和3）結(jié)果相矛盾.

關(guān)于無電刷法拉第模型電動機持續(xù)轉(zhuǎn)動原因，首先可能是由于轉(zhuǎn)子線圈關(guān)于轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)不對稱所造成的，線圈轉(zhuǎn)軸一側(cè)比另一側(cè)多1匝，如圖3所示.

圖3 轉(zhuǎn)子線圈（轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)不對稱）

這樣轉(zhuǎn)子線圈每旋轉(zhuǎn)1周有半周所受安培力比另半周所受安培力小，如果碰巧安培力小的半周是發(fā)生在阻止轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動的情況下，那么轉(zhuǎn)子線圈能夠持續(xù)轉(zhuǎn)動就可以解釋了.如果如此，只要改變永磁體磁極方向或改變流經(jīng)線圈電流方向，安培力小的半周就會發(fā)生在加速轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動的情況下，轉(zhuǎn)動就會停止.分別翻轉(zhuǎn)磁體的磁極、改變流經(jīng)轉(zhuǎn)子線圈電流方向重復(fù)上述實驗，轉(zhuǎn)子線圈仍然將會維持旋轉(zhuǎn).說明無電刷法拉第模型電動機能夠維持轉(zhuǎn)動不是由于轉(zhuǎn)子線圈關(guān)于轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)不對稱所造成的.為了進(jìn)一步證明這一結(jié)果，重新繞制了轉(zhuǎn)子線圈，使轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)關(guān)于轉(zhuǎn)軸對稱，如圖4所示.重復(fù)實驗的結(jié)果還是不支持無電刷法拉第模型電動機轉(zhuǎn)動是由于轉(zhuǎn)子線圈關(guān)于轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)不對稱引起的推測.

圖4 轉(zhuǎn)子線圈（轉(zhuǎn)軸兩側(cè)匝數(shù)對稱）

在上述討論中認(rèn)為流經(jīng)轉(zhuǎn)子線圈的電流大小不變.如果考慮轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動時切割磁感線，電磁感應(yīng)可以引起流經(jīng)轉(zhuǎn)子線圈中的電流的改變，電流不同安培力的大小不同，可能是驅(qū)動轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動，使無電刷法拉第模型電動機維持轉(zhuǎn)動的原因.動生電動勢的大小為[2]

由圖2可看出，θ由0～π間磁力矩方向與角動量方向相反，阻止轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動，而感應(yīng)電流方向與線圈原電流方向一致，考慮電磁感應(yīng)情況下磁力矩更大；θ由π～2π間磁力矩方向與角動量方向一致，加速轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動，而感應(yīng)電流與線圈原電流方向相反，考慮電磁感應(yīng)情況下磁力矩更小，2個區(qū)域的角動量改變量大小不相等，即：分析結(jié)果表明：考慮電磁感應(yīng)比不考慮電磁感應(yīng)的情況下，阻止轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動的磁力矩比加速轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動的磁力矩更大，每旋轉(zhuǎn)1周角動量的減小量大于角動量的增加量.考慮電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)動停止得更快.解釋實驗現(xiàn)象2）和3）也遇到困難.

3 轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)軸跳動假設(shè)

轉(zhuǎn)子線圈的轉(zhuǎn)動軸托舉在導(dǎo)電支架上，除了支架對它向上托舉約束之外沒有其他約束存在，因此提出轉(zhuǎn)軸跳動假設(shè)，對無電刷法拉第模型電動機轉(zhuǎn)動給出動力學(xué)解釋.

θ由π～2π間磁力矩方向與角動量方向一致，加速轉(zhuǎn)子線圈轉(zhuǎn)動，線圈轉(zhuǎn)軸不會跳動.

考慮θ由0～π／2間轉(zhuǎn)子線圈跳離支架使這時本應(yīng)減速轉(zhuǎn)動變成磁力矩等于0的自由轉(zhuǎn)動，只要此過程引起減小的角動量減小量能彌補旋轉(zhuǎn)1周耗散力引起的角動量減小量，旋轉(zhuǎn)將可持續(xù).

4 實驗驗證

要驗證上述推測是否正確并不難，線圈跳起電路斷開，流經(jīng)線圈電流等于0，只要設(shè)法測量流過線圈的電流隨時間的變化就可判斷出線圈是否跳起.

測量方法：用示波器測量兩導(dǎo)電板間的電壓隨時間變化波形.當(dāng)線圈轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)軸與支架相接觸情況下有電流流過線圈，導(dǎo)電板間電壓就是線圈端電壓，小于電源電動勢；當(dāng)線圈跳起無電流流過線圈，導(dǎo)電板間電壓等于電源電動勢.通過測量導(dǎo)電板間的電壓變化波形可知線圈是否跳起.

測量結(jié)果如圖5所示，跳動確實發(fā)生了.橫坐標(biāo)2.5～6.5之間對應(yīng)θ改變了2π，即轉(zhuǎn)子線圈旋轉(zhuǎn)1周.2.5～3.2間線圈跳起，此時無電流流過線圈，兩導(dǎo)電板間的電壓等于電源電動勢1.5V，對應(yīng)的θ改變約為這與θ在0～區(qū)間會跳離支架分析結(jié)果相符；在3.2～4.7間對應(yīng)于θ在～π區(qū)間，線圈受到安培力制動，造成轉(zhuǎn)軸施予支架更大的力，分析結(jié)果線圈不會跳動，實驗結(jié)果卻相反，發(fā)生了一連串的持續(xù)時間很短的跳動，可能的原因是：前次跳動落下時撞擊支架、加上落下時瞬間接通電源制動磁力矩使得轉(zhuǎn)軸施予支架更大壓力引起轉(zhuǎn)軸彈性形變而反彈所致，因彈跳高度不高持續(xù)時間很短.但這些彈跳對維持轉(zhuǎn)子線圈的轉(zhuǎn)動也都是有利的.4.7～6.5間線圈沒有跳動保持電源接通，對應(yīng)θ在π～2π區(qū)間磁力矩使轉(zhuǎn)子線圈加速情況.跳動是周期發(fā)生的，而且發(fā)生在θ在0～π區(qū)間，安培力阻止線圈轉(zhuǎn)動的情況下，確保轉(zhuǎn)子線圈每旋轉(zhuǎn)1周由磁力矩引起的角動量的增加量大于減小量，即：

圖5 兩導(dǎo)電板間的電壓波形

或

這樣無電刷法拉第模型電動機維持不停轉(zhuǎn)動得以解釋.雖能夠維持轉(zhuǎn)動，但不能向外輸出動力.

[1] 楊維纮.力學(xué)與理論力學(xué)（上冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2008：107.

[2] 胡友秋，程福甄，葉邦角.電磁學(xué)與電動力學(xué)（上冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2008：119，189.