胡素敏，張曉果

(河南城建學院數理系，河南平頂山467036)

期權定價問題一直是金融數學和金融工程學研究的核心問題之一.在以往的期權定價中，人們普遍假設標的資產價格服從幾何布朗運動，它是一個連續(xù)的隨機過程，而在金融市場上，一些重要信息的出現會刺激股票價格發(fā)生不連續(xù)的跳躍，因此股票價格應包含連續(xù)擴散過程和不連續(xù)的跳躍過程兩方面.關于股價服從跳擴散過程的期權定價方面，周圣武[1]研究了股價服從跳擴散過程的標準歐式期權定價，劉宣會[2]研究了基于跳擴散過程的一類亞式期權定價.K.Zhang[3]和M.Freeman[4]等研究了跳擴散模型下期權的定價和應用問題.

本文將用跳擴散過程研究股價的演化行為，即用Poisson過程描述股價的跳躍行為，用幾何Brown運動刻畫股價的連續(xù)波動行為，在此基礎上應用風險中性原理研究跳擴散過程的歐式雙向期權，推導了標的資產價格服從跳擴散過程的歐式雙向期權定價公式.

1 股票價格的跳擴散行為

研究跳擴散過程下歐式雙向期權的定價問題，需要如下假設：股票價格ST遵循Ito過程[5]

求解式(2)，并應用Poisson過程的性質qT-qt=qτ(τ=τ-t)，可得T時刻股票價格ST的概率分布

其中：τ=T-t;Un表示股票價格在第n個跳躍時刻tn的跳躍幅度，并假設U1，U2，…，Un，…是一系列獨立分布的隨機變量.應用全期望公式可得股票價格在T時刻的數學期望.為表述方便，本文將沿用Merton[7]的假設：

假設U、qt、Wt相互獨立，且1+U服從對數正態(tài)分布，即

其中μ、σU為常數.

于是當qτ=n時，由正態(tài)分布的可加性可得：

從而存在標準正態(tài)隨機變量Z2～N(0，1)，使得隨機和可表示為：

而且由于U、qt、Wt相互獨立，可知Z1、Z2也相互獨立.

由式(3)和式(5)以及正態(tài)分布的可加性可知，當qτ=n時，存在標準正態(tài)隨機變量Zn～N(0，1)，使得

3 無紅利支付的歐式雙向期權定價

歐式雙向期權是指期權持有者可以在未來某T時刻以規(guī)定的價格K買進或賣出某指定標的資產，且標的資產價格滿足式(1)，由于在T時刻歐式雙向期權的權益為：

即歐式雙向期權的終端收益可以分解為具有相同到期時刻和相同執(zhí)行價格的同一種標的資產的一個買入期權的終端收益和一個賣出期權的終端收益之和.

本文在推導歐式雙向期權定價的過程中，需要用到下列基本假設[6-7]：(1)標的股票價格服從跳擴散過程，且滿足式(1);(2)無風險利率r是常數;(3)標的股票價格的波動率σ是常數;(4)不存在交易費用;(5)在期權的有效期內標的股票無紅利支付;(6)不存在無風險套利機會.

根據風險中性定價原理，在風險中性概率測度Q下，標準歐式股票看漲期權在當前t(t＜T)時刻的價值為：

其中EQ表示在風險中性概率測度Q下的數學期望.

引理1[1]標的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的標準歐式看漲期權在t時刻的價值為：

引理2[1]標的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的標準歐式看跌期權在t時刻的價值為

式中符號同引理1，證明過程與引理1類似.

定理1[1]標的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的歐式雙向期權在t時刻的價值為：

證明

推論1當n=0時，即股票價格不發(fā)生跳躍時，得歐式雙向期權的價值為此定價公式與董躍武[8]得到的定價公式完全相同.

[1] 周圣武.基于跳擴散過程的歐式股票期權定價與風險度量研究[D].徐州：中國礦業(yè)大學，2009.

[2] 劉宣會.基于跳擴散過程的一類亞式期權定價[J].系統(tǒng)工程學報，2008，23(2)：142-147.

[3] Leland H E.Option pricing and replication with transaction costs[J].Journal of Finance，1985(40)：1283-1301.

[4] Markowitz H M.Portfolio selection[J].Journal of Finance，1952(1)：77-91.

[5] 黃志遠.隨機分析學基礎[M].北京：科學出版社，2001.

[6] Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976(3)：125-144.

[7] Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973(81)：637-659.

[8] 董躍武.歐式雙向期權的定價問題[J].上海鐵道大學學報，1999，20(6)：71-73.