魏 靜，孫清朝，孫 偉，秦大同，朱才朝，朱萬(wàn)剛，郭愛貴

（1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，大連 116024；2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；3.太原重工股份有限公司，太原 030024）

隨著我國(guó)高速鐵路交通快速發(fā)展，機(jī)車牽引技術(shù)也應(yīng)運(yùn)而生。我國(guó)鐵路牽引齒輪技術(shù)研究從上世紀(jì)50年代末開始，經(jīng)過近50年發(fā)展，已經(jīng)達(dá)到一定水平。由于機(jī)車重載和高速技術(shù)的發(fā)展，要求牽引齒輪有很高的可靠性和較長(zhǎng)的使用壽命。高速鐵路機(jī)車牽引齒輪箱除要求較輕的重量和較小的結(jié)構(gòu)體積外，還要符合牽引齒輪箱嚴(yán)格的噪聲極限值，以使旅客舒適性得以改善。經(jīng)過一些列技術(shù)攻關(guān)，我國(guó)鐵路機(jī)車牽引齒輪技術(shù)有了很大提高。但是我國(guó)機(jī)車牽引齒輪箱壽命仍然較低，在壽命和可靠性方面與國(guó)外發(fā)達(dá)國(guó)家還有較大差距［1］。

本文以某高速機(jī)車牽引齒輪箱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮牽引齒輪箱斜齒輪三維空間全方向自由度的振動(dòng)響應(yīng)，綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、動(dòng)態(tài)傳遞誤差、齒面間隙、軸承游隙等多種非線性因素影響，建立高速機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)彎-扭-軸-擺耦合分析模型，探討齒輪內(nèi)部激勵(lì)、齒面間隙、軸承游隙等非線性因素對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響，為高速機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和齒面?zhèn)认?、軸承游隙等參數(shù)合理選擇提供理論依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)分析數(shù)學(xué)模型

在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，時(shí)變剛度和輪齒間隙是齒輪系統(tǒng)中最重要的影響因素。在高速運(yùn)行情況下，齒輪系統(tǒng)齒側(cè)間隙會(huì)導(dǎo)致輪齒間出現(xiàn)重復(fù)沖擊的現(xiàn)象，此時(shí)用傳統(tǒng)線性模型和線性理論己經(jīng)不能真實(shí)可靠地反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為［2-5］。隨著振動(dòng)理論不斷完善，綜合考慮多種非線性因素耦合，更能反映真實(shí)情況下系統(tǒng)振動(dòng)特性，近幾年國(guó)內(nèi)外學(xué)者更加關(guān)注非線性動(dòng)力學(xué)研究。如：Iwatsubo［6］利用傳遞矩陣法建立彎-扭轉(zhuǎn)耦合分析模型，求解了在常嚙合剛度下由于質(zhì)量不平衡引起的振動(dòng)響應(yīng)；楊振等［7］建立了正交面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性模型并進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析；陳小安等［8］建立基于有限單元法的多間隙耦合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)并進(jìn)行非線性動(dòng)態(tài)特性分析。李潤(rùn)方等［9］建立斜齒輪副彎-扭-軸耦合及彎-扭-軸-擺耦合分析模型。

高速機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在本質(zhì)上是時(shí)變參數(shù)與間隙共存的多自由度非線性系統(tǒng)。本文建立具有多間隙、多時(shí)變參數(shù)動(dòng)力學(xué)耦合模型，探討多間隙參數(shù)對(duì)牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性振動(dòng)影響。

圖1 機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of high speed locomotive gear transmission system

如圖1所示，考慮齒輪徑向振動(dòng)響應(yīng)及包含軸承游隙等在內(nèi)的斜齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：

徑向振動(dòng)：由x方向自由度描述；

切向振動(dòng)：由y方向自由度描述；

軸向振動(dòng)：由z方向自由度描述；

扭擺振動(dòng)：由θy方向自由度描述；

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)：由θz方向自由度描述。

其中：cm和kh為齒輪副嚙合阻尼和時(shí)變嚙合剛度，kij（i=1，2；j=x，y，z）和cij（i=1，2；j=x，y，z）分別表示軸承支承剛度和阻尼，e（t）為齒輪副嚙合誤差。

xi，yi，zi（i=1，2）為主、被動(dòng)齒輪中心點(diǎn)O1和O2在x，y，z三個(gè)方向平移振動(dòng)位移；θiy（i=1，2）為主、被動(dòng)齒輪中心點(diǎn)通過該中心并平行于y軸軸線的扭擺振動(dòng)位移；θiz（i=1，2）為主、被動(dòng)齒輪繞傳動(dòng)軸軸線扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移。不考慮摩擦力作用，系統(tǒng)廣義位移列陣{δ}可表示為：

設(shè)主動(dòng)輪螺旋角為β，法向壓力角為αn，端面壓力角為αi，Ri（i=1，2）分別為主、從動(dòng)齒輪基圓半徑，則主動(dòng)輪1及被動(dòng)輪2在嚙合點(diǎn)上的振動(dòng)位移與主動(dòng)輪廣義位移間關(guān)系為：

斜齒輪嚙合剛度kh，嚙合阻尼cm，嚙合誤差e在x，y，z三個(gè)方向的分量為：

這里引入動(dòng)態(tài)相對(duì)傳動(dòng)誤差，用各個(gè)方向的振動(dòng)位移代替靜態(tài)傳遞誤差中的彈性變形：

相應(yīng)地，動(dòng)態(tài)嚙合力可表示為：

根據(jù)拉格朗日普遍方程，考慮齒輪徑向振動(dòng)及軸承游隙影響的斜齒輪彎–扭–軸–擺耦合的10自由度振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程為：

式中：mi（i=1，2）為主、從動(dòng)齒輪質(zhì)量；Jij（i=1，2；j=y，z）為主、從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；cij（i=1，2；j=x，y，z）和kij（i=1，2；j=x，y，z）分別為主、從動(dòng)齒輪兩端軸承支承阻尼和支承剛度；ciθy（i=1，2）和kiθy（i=1，2）為齒輪扭擺阻尼和扭擺剛度；T1和T2分別為齒輪副驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為齒輪副徑向、切向及軸向動(dòng)態(tài)嚙合力。

f（ij）（i=x，y，z；j=1，2，3）表示與間隙有關(guān)的非線性描述函數(shù)，統(tǒng)一表示如下：

式中：齒輪副齒側(cè)間隙為2b5；主動(dòng)輪兩端支撐軸承徑向游隙為2b1，軸向游隙為2b3；被動(dòng)輪兩端支撐軸承徑向游隙為2b2，軸向游隙為2b4，x（t）表示各方向振動(dòng)位移。

利用Fourier級(jí)數(shù)將齒輪嚙合剛度表示成Fourier級(jí)數(shù)形式，齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算公式為［8］：

式中：ω0=2π/T，為齒輪嚙合基頻；km為齒輪副平均嚙合剛度；an，bn（n=1，2，…，N）為 Fourier級(jí)數(shù)展開系數(shù)。

輪齒嚙合阻尼由下式計(jì)算：

式中：ξg為輪齒嚙合阻尼比，一般取 0.03 ～0.17。

齒輪誤差用正弦函數(shù)表示為：

式中：e0為輪齒傳動(dòng)誤差均值；ea為輪齒傳動(dòng)誤差幅值；ωh為齒輪副嚙合頻率，ωh=z1ω1，z1為主動(dòng)輪齒數(shù)，ω1為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)頻 ω1=n1/30，n1為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速（r/min）；φ為相位角。

斜齒輪副在嚙合過程中，其扭擺振動(dòng)只在一個(gè)方向上，即繞y軸扭擺振動(dòng)，如圖2所示。

齒輪兩端支承距齒輪質(zhì)心的距離分別為l1、l2，其扭擺阻尼和扭擺剛度可按下式計(jì)算：

圖2 齒輪軸扭擺振動(dòng)等效參數(shù)模型Fig.2 Equivalent parameters model of gear shaft torsion vibration

2 動(dòng)力學(xué)方程求解

2.1 動(dòng)力學(xué)方程無量綱化

分別表示pi對(duì)無量綱時(shí)間τ的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，無量綱化后的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：ξij和ηij（i=1，2；j=x，y，z）分別為主、從動(dòng)齒輪兩端軸承支承無量綱阻尼和無量綱剛度；ξiθj和ηiθj（i=1，2）分別為為主、從動(dòng)齒輪在扭擺方向上的無量綱阻尼和無量綱剛度；ξimj和ηimj（i=1，2）分別為為主、從動(dòng)齒輪在輪齒徑向、切向、軸向方向上的無量綱阻尼。限于篇幅，無量綱處理后的上述參數(shù)計(jì)算不再給出。

方程（13）為一強(qiáng)非線性非自治系統(tǒng)，采用4階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)方程進(jìn)行求解。

2.2 系統(tǒng)仿真結(jié)果

圖1所示高速機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，相關(guān)計(jì)算參數(shù)為：齒輪模數(shù)mn=6 mm，齒數(shù)z1=34，z2=84，齒寬b=70 mm；主動(dòng)輪螺旋角β=-17°，壓力角 25°，軸承支撐剛度5.968×106N/mm。齒面?zhèn)认?b5=0.025 mm，主動(dòng)輪兩端軸承徑向、軸向游隙分別為2b1=0.107 mm，2b3=0.148 mm；被動(dòng)輪兩端軸承徑向、軸向分別游隙為2b2=0.075 mm、2b4=0 mm；齒輪平均嚙合剛度km根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算；輪齒嚙合阻尼比ξg，軸承支撐阻尼比取為0；輪齒傳動(dòng)誤差均值e0=0，誤差幅值ea=108 μm。

取主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=2 000 r/min，求解動(dòng)力學(xué)方程并得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。主、被動(dòng)齒輪在x、y、z及扭擺、扭轉(zhuǎn)方向的位移相圖、Poincare截面和FFT圖如圖3～圖7所示。

從圖3中可以看出，在徑向x自由度方向上，主動(dòng)輪振動(dòng)幅值較大，振動(dòng)更加劇烈。在相同徑向嚙合力作用下，主動(dòng)輪振幅也較大；主動(dòng)輪的振動(dòng)速度不如被動(dòng)輪平穩(wěn)，且都成單周期簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律，在振動(dòng)信號(hào)中，低頻信號(hào)占主要成分。

從圖4中可以看出，在切向y自由度方向上，被動(dòng)輪振動(dòng)幅值較大。在相同切向力作用下，一部分產(chǎn)生切向平動(dòng)位移，另一部分產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)位移。由于主動(dòng)輪直徑小，扭轉(zhuǎn)剛度小，大部分切向力都用來產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)位移，所以在切向方向上的平動(dòng)位移較??；主動(dòng)輪為2倍周期的次諧振動(dòng)響應(yīng)，而被動(dòng)輪成單周期簡(jiǎn)諧振動(dòng)響應(yīng)。

從圖5中可以看出，在軸向z自由度方向上，被動(dòng)輪的振動(dòng)幅值較大；對(duì)于主動(dòng)輪來說，軸向平動(dòng)位移較??；主動(dòng)輪振幅波動(dòng)情況比被動(dòng)輪復(fù)雜，主動(dòng)輪為3倍周期次諧振動(dòng)響應(yīng)，被動(dòng)輪成單周期簡(jiǎn)諧振動(dòng)響應(yīng)。

從圖6中可以看出，在扭擺自由度方向上，雖然被動(dòng)輪無量綱弧度振幅較大，但換算為有量綱幅值后被動(dòng)輪振幅較小，且主動(dòng)輪振幅波動(dòng)對(duì)時(shí)間變化更快，振動(dòng)更劇烈；從弧度-角速度相圖和Poincare截面可知，二者成準(zhǔn)周期振動(dòng)；從FFT圖可以看出，在這個(gè)方向上的振動(dòng)信號(hào)頻率成分較多。

從圖7中可以看出，在扭轉(zhuǎn)自由度方向上，主動(dòng)輪的無量綱弧度振幅較大，而換算后的振動(dòng)位移也較大。而主、被動(dòng)輪的弧度幅值相差也很大，這主要是因?yàn)橹鳌⒈粍?dòng)齒輪在嚙合時(shí)不同轉(zhuǎn)速導(dǎo)致的。

3 非線性因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

3.1 齒面?zhèn)认秾?duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

齒輪系統(tǒng)齒側(cè)間隙的存在會(huì)導(dǎo)致在嚙合時(shí)輪齒間接觸、脫齒、再接觸的重復(fù)沖擊，表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性，對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)特性產(chǎn)生重要影響。以振動(dòng)較為劇烈的x方向?yàn)檠芯繉?duì)象，從相圖和振動(dòng)幅值來分析齒面?zhèn)认秾?duì)系統(tǒng)影響。取無量綱激勵(lì)頻率ω=0.545 67，不同齒面間隙對(duì)主、被動(dòng)輪振動(dòng)位移響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8 不同側(cè)隙對(duì)齒輪x方向振幅影響曲線Fig.8 Vibration amplitude under different gear backlash in in x direction

根據(jù)圖8可知，隨著齒面?zhèn)认蹲兓?，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)出不同狀態(tài)，但被動(dòng)輪變化過程比主動(dòng)輪平穩(wěn)，主動(dòng)輪周期性變化比較明顯。隨著側(cè)隙增大，主、被動(dòng)輪振動(dòng)幅值都逐漸減小。根據(jù)弧度-角速度相圖和Poin-care相圖可以知道，隨著齒面?zhèn)认恫粩嘣龃?，主、被?dòng)輪都由周期響應(yīng)走向混沌，加劇了嚙合沖擊性。對(duì)于不同齒輪側(cè)隙值，主、被動(dòng)齒輪最大徑向位移和振動(dòng)周期性如表1所示。

表1 不同齒面?zhèn)认兜捻憫?yīng)結(jié)果Tab.1 Dynamic response under different gear backlash

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可知：隨著齒面?zhèn)认恫粩嘣龃?，系統(tǒng)徑向振動(dòng)位移不斷減小，但在側(cè)隙為0.045 mm時(shí)出現(xiàn)一個(gè)微小增加，隨后繼續(xù)減小，但系統(tǒng)振動(dòng)周期性越來越差，逐漸變?yōu)榛煦珥憫?yīng)，因此，選擇齒面?zhèn)认稌r(shí)，既要保證振動(dòng)位移要小，又要保證振動(dòng)周期性良好，該齒輪參數(shù)下齒面?zhèn)认稇?yīng)選擇0.033～0.040 mm之間較為合理。

3.2 內(nèi)部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)激勵(lì)頻率會(huì)影響動(dòng)態(tài)激勵(lì)力的大小，進(jìn)而造成系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同激勵(lì)響應(yīng)。以振動(dòng)較為劇烈的主動(dòng)輪x方向?yàn)檠芯繉?duì)象，保持其它參數(shù)不變，改變激勵(lì)頻率ω大小，令其在0.2～1.4之間變化。不同內(nèi)部激勵(lì)頻率對(duì)主動(dòng)輪x方向徑向彎曲振動(dòng)最大響應(yīng)變化曲線如圖9所示。

圖9 不同頻率時(shí)主動(dòng)輪振幅最大響應(yīng)Fig.9 Vibration amplitude of pinion under different excitation frequency

從圖9中可以看出在激勵(lì)頻率遞增至1之前，振動(dòng)不穩(wěn)定，波動(dòng)很大，在頻率大于1之后，振動(dòng)相對(duì)較穩(wěn)定。該齒輪系統(tǒng)在額定轉(zhuǎn)速下無量綱激勵(lì)頻率為ω=1.118 6，處于比較理想振動(dòng)頻率范圍，因此齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)以及設(shè)計(jì)的額定轉(zhuǎn)速基本合理。

3.3 軸承游隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

在主、被動(dòng)齒輪支撐軸承徑向游隙值b1、b2單獨(dú)作用及b1、b2共同作用下對(duì)主動(dòng)輪x方向振動(dòng)位移的影響曲線如圖10所示。從圖10可知，每個(gè)軸承游隙對(duì)振動(dòng)位移的影響不是簡(jiǎn)單線性疊加，而是呈強(qiáng)非線性耦合關(guān)系。

取主動(dòng)輪徑向游隙b1為變量，得到系統(tǒng)在不同激勵(lì)下軸承游隙b1對(duì)主動(dòng)輪x方向最大振動(dòng)位移響應(yīng)影響曲線。同時(shí)，為保證軸承游隙在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)對(duì)振動(dòng)位移影響最小，需要綜合分析其影響規(guī)律。為此，將不同轉(zhuǎn)速激勵(lì)下、不同游隙下產(chǎn)生不同位移響應(yīng)曲線進(jìn)行絕對(duì)值疊加，不同軸承游隙對(duì)主動(dòng)輪徑向最大位移響應(yīng)如圖11所示。

在該齒輪系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速?gòu)膯?dòng)到額定轉(zhuǎn)速的變化過程中，可大致分為低速、中速、高速三個(gè)階段。從圖11知，除b1=0.07 mm之前變化對(duì)主動(dòng)輪x方向振動(dòng)最大位移影響波動(dòng)較大，在b1=0.07 mm之后在不同轉(zhuǎn)速激勵(lì)下呈現(xiàn)不同規(guī)律：在低速階段，游隙大小變化對(duì)最大位移響應(yīng)影響沒有規(guī)律性，隨游隙增大，最大位移響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生階躍型變化；在中速階段，隨游隙增大，最大位移響應(yīng)也相應(yīng)增大，只是最大響應(yīng)出現(xiàn)方向因轉(zhuǎn)速不同而不同；在高速階段，游隙變化對(duì)齒輪副最大位移響應(yīng)影響較小。

從合成曲線知，從0.07 mm之后，振動(dòng)位移隨游隙b1增大而增大，因此，要減小振動(dòng)，需選取合理的軸承游隙。根據(jù)上述分析，在該斜齒輪系統(tǒng)參數(shù)下主動(dòng)輪軸承徑向游隙值b1合理取值范圍0.07～0.08 mm，即主動(dòng)輪軸承徑向游隙2b1取值范圍是0.14～0.16 mm。

4 結(jié)論

對(duì)高速機(jī)車牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無量綱化處理，根據(jù)求解得到時(shí)間歷程和幅頻響應(yīng)仿真結(jié)果，對(duì)齒面?zhèn)认?、?nèi)部激勵(lì)和軸承游隙等非線性因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析可知：

（1）牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在空間各個(gè)自由度方向上呈現(xiàn)出不同的振動(dòng)狀態(tài)。牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在徑向方向上振動(dòng)響應(yīng)和切向、軸向方向上振動(dòng)響應(yīng)幅值在數(shù)量級(jí)上相同，對(duì)機(jī)車牽引齒輪副進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)徑向方向自由度振動(dòng)響應(yīng)不可忽略。

（2）選擇合理齒面?zhèn)认对谝欢ǔ潭壬峡蓽p小牽引齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)位移響應(yīng)：較小齒面?zhèn)认稌?huì)導(dǎo)致牽引齒輪系統(tǒng)出現(xiàn)較大振動(dòng)響應(yīng)，隨著齒面?zhèn)认恫粩嘣龃?，系統(tǒng)振動(dòng)位移會(huì)不斷減小，但會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)從周期走向混沌。

（3）隨著系統(tǒng)激勵(lì)頻率不斷增加，系統(tǒng)振動(dòng)周期性發(fā)生不同的變化，在系統(tǒng)固有頻率附近，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)較大振動(dòng)響應(yīng)。

（4）多個(gè)軸承游隙是以強(qiáng)非線性耦合的形式綜合對(duì)系統(tǒng)起作用，不同的軸承游隙在不同轉(zhuǎn)速下對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)位移響應(yīng)影響不同：在低速階段對(duì)系統(tǒng)的影響較大，而在高速階段影響較小。選擇合理軸承游隙對(duì)減小機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)有重要作用。

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