朱興文, 王彭德

(大理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 云南 大理 671003)

0 引言

一個(gè)n階符號(hào)模式矩陣矩陣P，若它的每一行和每一列上只有一個(gè)元素等于+，而其余元素都等于0，則稱P為置換模式矩陣.若A,B, 是兩個(gè)方符號(hào)模式矩陣，若存在置換模式矩陣P使得B=PAPT，則A,B是置換相似.一個(gè)置換模式矩陣或符號(hào)差模式矩陣中的某些(也可能是全部)非零元素用負(fù)元素代替而得到的符號(hào)模式矩陣，則稱P為廣義置換模式矩陣；若A=PBPT，則稱符號(hào)模式矩陣A廣義置換相似于符號(hào)模式矩陣B[3].

A是復(fù)m×n的矩陣，如果n×m的矩陣G滿足(1)AGA=A；(2)GAG=G；(3)(GA)T=GA；(4)(AG)T=AG，則稱矩陣G為矩陣A的Moore-Penrose逆.給定一個(gè)符號(hào)模式矩陣A，若存在數(shù)字矩陣B,C∈Q(A)，使得它們滿足Moore-Penrose逆的(i),(j),…,(l)，則稱A允許(i,j,…,l)-廣義逆，記作G(i,j,…,l)，也就是A∈G(i,j,…,l)；若滿足(1)和(2)，則稱A∈G(1,2)；若滿足(1)～(4)的所有等式，則稱A∈G(1,2,3,4)，此時(shí)，我們說A允許A+[4].

一個(gè)符號(hào)模式矩陣A，若A=AT，則稱A為對(duì)稱符號(hào)模式矩陣.本文從對(duì)稱符號(hào)模式矩陣的結(jié)構(gòu)研究了符號(hào)模式矩陣的廣義逆及其冪等性質(zhì)；并將F. J. Hall, Z. Li和B. Rao等給出的關(guān)于非負(fù)符號(hào)模式矩陣的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)[6]推廣到了對(duì)稱符號(hào)式矩陣.

1 引理

引理1.1[4,7]集合ID，SI，G(i,…,l) 在以下變換中是封閉的：(1) 符號(hào)差相似；(2) 置換相似；(3) 轉(zhuǎn)置.

引理1.2[8]如果符號(hào)模式矩陣A∈ID,且在A2的運(yùn)算中沒有出現(xiàn)#元素，那么A∈SI, 且A的主對(duì)角線上的元素為非負(fù)元素.

引理1.3[5,7-9]符號(hào)模式矩陣A是n×n的不可約符號(hào)模式，且A∈SI，則有以下結(jié)論成立：

(1)A∈ID[7,9]；

(2)A=AT[8](A是對(duì)稱符號(hào)模式矩陣)；

(3)A中沒有零元素[5,8]；

(4)mr(A)=1[7].

2 主要結(jié)論

證明必要性：根據(jù)符號(hào)冪等的定義和引理1.1，顯然成立.

為了討論的方便，我們引入記號(hào)，用L表示定理2.1中符號(hào)模式矩陣A的相似塊矩陣形式，即：

定理2.2給定A是一對(duì)稱符號(hào)模式矩陣，且對(duì)于A2的運(yùn)算不會(huì)出現(xiàn)#元素,則A是允許冪等的，即A∈ID，當(dāng)且僅當(dāng)A是符號(hào)冪等的，即A∈SI.

證明必要性 由引理1.2，結(jié)論顯然成立.

充分性：由于A是一對(duì)稱符號(hào)模式矩陣且A是符號(hào)冪等的，則A廣義置換相似于B=diag(A11,A22,…,Akk) ，其中Aii是元素全為正或全為零的符號(hào)模式矩陣，i=1,2,…,k.從而Aii∈ID，則有B∈ID.根據(jù)引理1.1，可得A∈ID成立.

在文獻(xiàn)[4]中，Eschenbach, Hall和李忠善得出以下結(jié)論：

我們可以知道這個(gè)定理是對(duì)非負(fù)符號(hào)模式矩陣而言的，根據(jù)定理2.1和定理2.2，可以得出與定理2.3類似的關(guān)于對(duì)稱符號(hào)模式矩陣的一些結(jié)論.

定理2.4給定A是一對(duì)稱符號(hào)模式矩陣，且對(duì)于A2的運(yùn)算不會(huì)出現(xiàn)#元素，則A∈ID當(dāng)且僅當(dāng)A廣義置換相似于L.

進(jìn)一步不難得出一個(gè)等價(jià)命題.

定理2.5給定A是一對(duì)稱符號(hào)模式矩陣，且對(duì)于A2的運(yùn)算不會(huì)出現(xiàn)#元素.則以下命題等價(jià)：

(1)A∈DI；(2)A∈SI；(3)A廣義置換相似于L.

以上，我們研究了對(duì)稱符號(hào)模式矩陣的冪等性質(zhì)及其結(jié)構(gòu).下面我們將來考慮對(duì)稱符號(hào)模式矩陣的最小秩結(jié)構(gòu)的性質(zhì).從定理2.1可知：若A∈SI，且mr(A)=r，則A廣義置換相似于L.因此存在一個(gè)廣義置換模式矩陣P使得：

其中HT=(IrA2)PT，且mr(H)=r=mr(A).我們把這種分解的這種結(jié)構(gòu)稱為是最小秩結(jié)構(gòu)[6].

定理2.6若A=AT且mr(A)=r，則以下命題等價(jià)：

(1)A廣義置換相似于L.

(3)A廣義置換相似于

J=diag(J1,J2,…,Jr,0,…，0)，其中Ji是元素全為正的方符號(hào)模式矩陣，i=1,2,…,r.

(4)A=HHT，其中H是n×r符號(hào)模式矩陣，且H包含Ir的一些行置換子矩陣，同時(shí)H的列是正交的且最小秩mr(H)=r.

證明 (3)?(2)：假設(shè)(3)成立，則存在一個(gè)廣義置換模式矩陣P，使得

A=PTdiag(J1,J2,…,Jr,0,…,0)P，

(1)?(3)：假設(shè)(1)成立，由定理2.1可知，則A∈SI.因?yàn)锳是對(duì)稱符號(hào)模式矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)[4,12] 的修正后的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型，A置換相似于B=diag(A11,A22,…,Akk) ，其中Aii是元素全為正或元素全為零的符號(hào)模式矩陣，i=1,2,…,k.由于mr(A)=r，所以r≤k≤n.對(duì)B同時(shí)進(jìn)行行置換和相應(yīng)的列置換，則(3)成立.反之，假設(shè)(3)成立，對(duì)J同時(shí)進(jìn)行行置換和相應(yīng)的列置換，即可得(1).

(1)?(4)：假設(shè)(1)成立，則存在置換模式矩陣P，使得

類似于文獻(xiàn)[6]中的定理3.3，從以上的討論可得如下推論：

推論2.7A是一個(gè)沒有零對(duì)角元的符號(hào)模式矩陣，且A∈SI，則以下命題等價(jià)：

(1)A∈ID.

(2)A=AT.

(3)存在廣義置換模式矩陣P，使得PTAP=diag(J1,J2,…,Jr)，其中Ji是元素全為正的方符號(hào)模式矩陣i=1,2,…,r，并且mr(A)=r.

從文獻(xiàn)[7]中，黃容已經(jīng)給出了兩類符號(hào)冪等的符號(hào)模式矩陣廣義置換相似于非負(fù)的符號(hào)模式矩陣.通過定理2.6，我得到一個(gè)對(duì)稱符號(hào)模式矩陣也是廣義置換相似于非負(fù)符號(hào)模式矩陣；同時(shí)，也研究了對(duì)稱符號(hào)模式的最小秩分解結(jié)構(gòu).接下來將研究符號(hào)廣義逆，三次冪等和它們與允許冪等的關(guān)系.

定理2.8A是對(duì)稱符號(hào)模式矩陣，mr(A)=r，且A是廣義置換相似于L，則以下結(jié)論成立：

(1)存在實(shí)矩陣B,C∈Q(A)，使得BCB=B，也就是，A允許廣義逆G(1,2).

(2)A允許廣義逆G(1,2,3,4)，即A允許廣義逆A+.

證明(1)由定理2.5可知A允許冪等，所以A允許三次冪等，故存在實(shí)矩陣B∈Q(A)，使得B3=B，從而A允許廣義逆G(1,2).

(2)根據(jù)定理2.6，A廣義置換相似于

J=diag(J1,J2,…,Jr,0,…,0),

其中Ji是元素全為正的方符號(hào)模式矩陣，i=1,2,…,r，并且mr(A)=r.從而存在一個(gè)廣義置換模式矩陣，使得PTJP=A.將符號(hào)模式矩陣P和J中的正、負(fù)元素分別用+1和-1代替，則可得一實(shí)矩陣

E=diag(E1,E2,…,Er,0,…,0)∈Q(J),

其中Ei是元素全為1的實(shí)方陣，i=1,2,…,r.從而由實(shí)矩陣E的Moore-Penrose廣義逆，可知：

其中Ei是元素全為1的實(shí)方陣，i=1,…,r.因此符號(hào)模式矩陣J允許Moore-Penrose廣義逆，即J允許J+.根據(jù)引理1.1，可知：A允許廣義逆A+.

定理2.9A是對(duì)稱符號(hào)模式矩陣,mr(A)=r，且A是廣義置換相似于L，則A∈ID當(dāng)且僅當(dāng)A允許廣義逆G(1,2).

證明必要性 因?yàn)锳∈ID，從而A允許三次冪等，故存在一實(shí)矩M∈Q(A)，使得M=M3，因而根據(jù)允許廣義逆G(1,2)的定義，結(jié)論成立.

充分性 如果A允許廣義逆G(1,2)，即存在兩個(gè)實(shí)矩陣B,C∈Q(A)，使得BCB=B，CBC=C.所以可有BCBC=BC，CBCB=CB.由于A是廣義置換相似于L，根據(jù)定理2.1，可知A∈SI，即A2∈Q(A).取D=BC，K=CB，則存在D,K∈Q(A)，使得D2=D，K2=K成立.所以A∈ID成立.

[1] F. J. Hall, Z. Li.Sign pattern matrices, handbook of linear algebra simon and hall/CRC press[Z]. Boca Raton, FL, 2007, Chapter 33.

[2] Brualdi R. A, Ryser H. J.Combinatorial matrix theory[M].New York: Cambridge University Press, 1991.

[3] R. A. Brualdi, B. L. Shader. Matrices of sign-solvable linear systems[M]. Cambridge:Cambri-dge University Press,1995.

[4] C. A. Eschenbach, Frank. J. Hall, Zhongshan Li. Sign pattern matrices and generalized inverses[J]. Lin. Alg. Appl, 1994, 211: 53-66.

[5] J. Li, Y. Gao. The structure of tripotent sign pattern matrices[J]. Appl. Math of Chin. Univ. Ser,2001, B16 (1): 1-7.

[6] F. J. Hall, Z. Li, B. Rao. From boolean to sign pattern matrices[J]. Lin. Alg. Appl, 2004, 393：233 -251.

[7] Rong Huang. Sign idempotent sign patterns similar to nonnegative sign patterns[J]. Lin. Alg. Appl, 2008,428:2 524-2 535.

[8] C. A. Eschenbach. Idempotence for sign pattern matrices[J]. Lin. Alg. Appl, 1993,180:153-165.

[9] S. G. Lee, S. W. Park. The allowance of idempotent of sign pattern matrices[J]. Common. Korean. Math. Soc. 1995,10(3): 561-573.