徐 艷，胡世德

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

近20年來(lái)，隨著越來(lái)越多大跨度拱橋的相繼建成，促進(jìn)了各地交通經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，其中更有為數(shù)不少的大跨度拱橋因其優(yōu)美的外形成為城市的地標(biāo)［1］；但另一方面，全球接連發(fā)生的幾次大地震卻表明，震中都位于城市附近，重災(zāi)區(qū)往往是人口聚集的城市，從而引發(fā)對(duì)位于城市交通樞紐節(jié)點(diǎn)上的許多城市橋梁的抗震性能的特別關(guān)注［2－3］。中國(guó)已故橋梁專家李國(guó)豪先生曾在《橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與振動(dòng)》一書中指出：橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是關(guān)系其安全與經(jīng)濟(jì)的主要問(wèn)題之一，它與強(qiáng)度問(wèn)題具有同等重要的意義［4］。眾所周知，其中又以拱橋的穩(wěn)定問(wèn)題最為突出。

早期的文獻(xiàn)研究表明［5－7］：當(dāng)結(jié)構(gòu)承受的靜載相對(duì)較大時(shí)，振動(dòng)分析時(shí)就不能忽略失穩(wěn)因素，此時(shí)動(dòng)力失穩(wěn)很可能就是結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中突發(fā)的一種破壞模式。近年來(lái)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定研究取得了很大的進(jìn)展：文獻(xiàn)［8］基于經(jīng)典動(dòng)力穩(wěn)定理論，采用Budiansky and Hutchinson準(zhǔn)則針對(duì)兩端簡(jiǎn)支的薄壁柱提出了在面內(nèi)脈沖荷載作用下的臨界動(dòng)力失穩(wěn)荷載求解的有限元方法；文獻(xiàn)［9］針對(duì)鋼儲(chǔ)油罐在水平地震荷載作用下進(jìn)行了動(dòng)力失穩(wěn)的有限元分析，提出了彈性動(dòng)力失穩(wěn)的臨界峰值加速度PGA；文獻(xiàn)［10］為了研究多層鋼框架結(jié)構(gòu)在地震作用下的動(dòng)力穩(wěn)定性能，對(duì)其立柱進(jìn)行了足尺的單向和循環(huán)荷載試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果以及計(jì)算分析表明這種鋼立柱在地震荷載作用下會(huì)發(fā)生多次的非彈性屈曲，但最終仍能抵抗重力荷載；另外，在橋梁抗風(fēng)領(lǐng)域，風(fēng)致動(dòng)力失穩(wěn)也是一個(gè)重要的研究方向，尤其是針對(duì)大跨度跨江跨海大橋［11－13］；但在橋梁抗震領(lǐng)域，尤其是穩(wěn)定問(wèn)題突出的大跨度拱橋，針對(duì)地震引起的拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問(wèn)題的研究相對(duì)比較少見(jiàn)。

鑒于以拱肋為主要承重受壓構(gòu)件的拱橋是眾多橋型中穩(wěn)定問(wèn)題最為突出的橋型，且隨著跨徑的增大日益突出，作者曾以鋼管混凝土拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，首次從穩(wěn)定的角度研究了鋼管混凝土拱橋的抗震性能，提出了動(dòng)力第一類穩(wěn)定和第二類穩(wěn)定的概念，并發(fā)展了相應(yīng)的計(jì)算方法［14］。其中動(dòng)力第一類穩(wěn)定問(wèn)題本質(zhì)上為彈性動(dòng)力屈曲問(wèn)題，通過(guò)作者提出的動(dòng)態(tài)特征值方法進(jìn)行研究；后者本質(zhì)上是動(dòng)力極值問(wèn)題，根據(jù)B－R失穩(wěn)準(zhǔn)則，結(jié)合動(dòng)態(tài)增量法進(jìn)行研究。由于涉及到時(shí)間參數(shù)，這兩種方法都需要以時(shí)間積分?jǐn)?shù)值計(jì)算為基礎(chǔ)，尤其是后者還需要結(jié)合材料的非線性參數(shù)以及不確定的初始缺陷進(jìn)行迭代求解，計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)［15］。另外，隨著跨度的增大，拱結(jié)構(gòu)形式的復(fù)雜化，模型的單元和節(jié)點(diǎn)數(shù)也越來(lái)越多，使得計(jì)算時(shí)間更為冗長(zhǎng)。從工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用的角度考慮，希望能有更為簡(jiǎn)潔和有效，且能與靜力穩(wěn)定相關(guān)聯(lián)的方法來(lái)初步判斷拱橋的動(dòng)力穩(wěn)定性能，以便及時(shí)調(diào)整設(shè)計(jì)方案優(yōu)化結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性能。

因此，本文將針對(duì)基于Liapunov動(dòng)力穩(wěn)定性意義的動(dòng)力第一類穩(wěn)定問(wèn)題，首先通過(guò)對(duì)靜力屈曲和動(dòng)力屈曲在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系，闡明動(dòng)力屈曲的本質(zhì)，并將靜力穩(wěn)定安全系數(shù)引入動(dòng)力第一類穩(wěn)定的計(jì)算過(guò)程，提出一種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法確定拱橋的動(dòng)力失穩(wěn)臨界荷載，并以一座實(shí)際大跨度拱橋?yàn)楣こ瘫尘斑M(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證。

1 結(jié)構(gòu)彈性動(dòng)力失穩(wěn)的本質(zhì)

由于時(shí)間參數(shù)的引入，目前對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力失穩(wěn)準(zhǔn)則一直沒(méi)有達(dá)成一致的判別標(biāo)準(zhǔn)，但在彈性動(dòng)力失穩(wěn)的本質(zhì)上，一般都理解為基于Liapunov動(dòng)力穩(wěn)定性意義上的動(dòng)力屈曲［16］。實(shí)際上，這是一個(gè)動(dòng)力分叉概念，對(duì)于彈性體系最終歸結(jié)為判斷運(yùn)動(dòng)方程一次近似矩陣的特征方程的正負(fù)定問(wèn)題。對(duì)于具有式（1）的運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)構(gòu)體系：

由一般運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論可以得到［17］，該方程的一次近似方程的系數(shù)矩陣A為：

其中特征根的平方λ2，如果忽略阻尼的影響，就是剛度矩陣K＊（K＊是K的三角矩陣）的特征根的負(fù)數(shù)（－λ2）。但實(shí)際結(jié)構(gòu)是有阻尼的，結(jié)構(gòu)阻尼的存在使得一般K＊的特征根不等于λi（λi一般為復(fù)數(shù)，i＝1，2n），但通過(guò)分析可知阻尼的存在（尤其是小阻尼）不會(huì)影響特征根的性質(zhì)。因此，仍然可以通過(guò)剛度矩陣的性質(zhì)來(lái)判斷一次近似的穩(wěn)定性，從而判別原運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)定性。

綜上所述，當(dāng)特征值λi消失時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界狀態(tài)，此時(shí)ωi＝0，于是動(dòng)力屈曲在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)相當(dāng)于0頻率的特征值問(wèn)題。

式中，如果ωi＝0，并且M是正定的，那么K一定是奇異的。因此我們就將一個(gè)動(dòng)力穩(wěn)定問(wèn)題退化到了由式（4）表達(dá)的靜力準(zhǔn)則。

式（4）與文獻(xiàn)［18］中曾提出的“結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率趨于零時(shí)，出現(xiàn)動(dòng)力失穩(wěn)”這一準(zhǔn)則在本質(zhì)上一致的。此時(shí)我們可以忽略質(zhì)量矩陣的影響，但必須注意，由于非保守力的影響，結(jié)構(gòu)的剛度K一般是不對(duì)稱的。對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，我們可以用這個(gè)靜力準(zhǔn)則簡(jiǎn)單的判別結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性，給出非保守力的臨界荷載。

但在確定彈性動(dòng)力失穩(wěn)準(zhǔn)則這個(gè)問(wèn)題上，曾有學(xué)者［19］提出通過(guò)二次特征值的方法來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定，認(rèn)為方程（5）的第一特征值是判斷動(dòng)力屈曲的最好指標(biāo)。

在此基礎(chǔ)上得到動(dòng)力失穩(wěn)特征方程為：

因此，針對(duì)式（4）的判斷準(zhǔn)則，得到的動(dòng)力穩(wěn)定（也稱動(dòng)力屈曲）問(wèn)題的控制方程為：

即為t時(shí)刻求最小特征值α的問(wèn)題，稱α為屈曲系數(shù)，λ是輸入地震波的比例系數(shù)。式中 ［K0］ 為結(jié)構(gòu)的初始彈性剛度矩陣；為由恒載引起的幾何剛矩陣；為t時(shí)刻動(dòng)荷載引起的幾何剛度矩陣。

2 拱橋彈性動(dòng)力失穩(wěn)的研究方法

2.1 動(dòng)態(tài)特征值方法

由于經(jīng)典的Liapunov意義上的彈性動(dòng)力穩(wěn)定性是指離散時(shí)間點(diǎn)上的一種動(dòng)力分叉解，基于這個(gè)意義，結(jié)構(gòu)在一個(gè)地震動(dòng)過(guò)程中可以具有有限個(gè)（與輸入地震波的時(shí)間長(zhǎng)度和時(shí)間間隔相關(guān)）動(dòng)力平衡狀態(tài)，得出在某些時(shí)間點(diǎn)或區(qū)段上是動(dòng)力穩(wěn)定的，而在另一些時(shí)間點(diǎn)或區(qū)段上卻是不穩(wěn)定的，結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)有可能是穩(wěn)定的也有可能是不穩(wěn)定的結(jié)論［17］。

文獻(xiàn)［20］正是基于此準(zhǔn)則提出了動(dòng)態(tài)特征值法，進(jìn)行動(dòng)態(tài)的屈曲分析，據(jù)此判斷在整個(gè)地震動(dòng)過(guò)程中是否會(huì)發(fā)生動(dòng)力屈曲，圖1為動(dòng)態(tài)特征值求解的流程圖。

動(dòng)態(tài)特征值方法的初衷就是將結(jié)構(gòu)從0到t時(shí)間的振動(dòng)，經(jīng)過(guò)離散形成n×Δt的時(shí)間間隔，使得每一個(gè)Δt間隔內(nèi)，求解式（7），提取n個(gè)最小特征值，得到一個(gè)反映結(jié)構(gòu)在地震波作用時(shí)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)特征值曲線，從該曲線上可以很直觀的看到結(jié)構(gòu)在振動(dòng)的哪一時(shí)刻最容易發(fā)生動(dòng)力屈曲，屈曲系數(shù)是多少。

圖1 動(dòng)態(tài)特征值法求解流程圖

當(dāng)某一級(jí)λ輸入，使得式（7）最小特征值α＝1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的λ即為動(dòng)力屈曲荷載系數(shù)，此時(shí)的地震動(dòng)峰值（g）稱為動(dòng)力屈曲臨界荷載，而其他時(shí)刻的α表示為當(dāng)前輸入G＋λE（恒載和λ倍的地震波輸入）的倍數(shù)。值得注意的是：如果λ為0，那么式（7）就是恒載作用下的靜力第一類失穩(wěn)特征方程，α的大小反映了恒載的應(yīng)力儲(chǔ)備?？梢?jiàn)，結(jié)構(gòu)的靜力屈曲是動(dòng)力屈曲的一個(gè)特殊情況。

但正如前所述，隨著拱橋跨度越來(lái)越大，結(jié)構(gòu)形式越來(lái)越復(fù)雜，有限元模型的單元和節(jié)點(diǎn)數(shù)也越來(lái)越多，并且為了得到失穩(wěn)臨界荷載（α＝1）還須對(duì)上述λ輸入反復(fù)迭代，這樣使得計(jì)算時(shí)間太多冗長(zhǎng)，直接影響了該方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。因此，一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單卻有效的計(jì)算方法是非常必要的。

2.2 簡(jiǎn)化計(jì)算方法

經(jīng)典的穩(wěn)定理論［4］明確指出，第一類失穩(wěn)前滿足線性假設(shè)，在小變形情況下，幾何剛度矩陣與應(yīng)力水平成正比，且僅與單元初始軸力和幾何長(zhǎng)度位置相關(guān)。幾何剛度矩陣對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊懼饕怯捎谳S力在單元彎曲時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)所致，當(dāng)軸力表現(xiàn)為拉力時(shí)，單元的剛度變大，當(dāng)軸力表現(xiàn)為壓力時(shí)，單元的剛度變小。而軸力是與外荷載相關(guān)的，當(dāng)外荷載增加到λ倍后，則軸力和幾何剛度矩陣也增加λ倍，當(dāng)λ足夠大，使得結(jié)構(gòu)達(dá)到隨遇平衡狀態(tài)，此時(shí)的λ即為臨界荷載比例系數(shù)。

由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)輸入下，結(jié)構(gòu)各組成桿件空間位置和軸力分布并不均勻，因此無(wú)法事前較為合理的確定最不利的應(yīng)力場(chǎng)，但拱橋的主要受壓構(gòu)件為拱肋，縱梁橫撐等其他構(gòu)件均不以受壓為主，據(jù)此，針對(duì)拱橋的這種受力特點(diǎn)，如果我們能事先確定結(jié)構(gòu)的最不利軸力時(shí)刻，然后僅對(duì)此時(shí)刻進(jìn)行式（7）的屈曲分析，那么就能得到當(dāng)前輸入下（λ倍的地震波）最小的α值。但實(shí)際上，我們關(guān)心的是需要多大的λ，才能在［0，t］區(qū)間的任一時(shí)刻使α＝1。

因此，提出如下簡(jiǎn)化計(jì)算方法：

1）首先計(jì)算結(jié)構(gòu)在恒載作用下的屈曲系數(shù)α，并據(jù)此得到臨界荷載作用下的軸力N1，可以近似由N1＝αNs（Ns為恒載作用下單元的軸力）得到；

2）然后計(jì)算動(dòng)荷載引起的最不利軸力N2，顯然N2＝λNd（Nd為根據(jù)原始地震輸入下的線性時(shí)程計(jì)算結(jié)果找到的最不利動(dòng)軸力Nd）；

即為彈性動(dòng)力失穩(wěn)的最低臨界荷載比例系數(shù)。

值得注意的是，該方法對(duì)于簡(jiǎn)單受壓結(jié)構(gòu)，理論上可以一次快速的找到臨界荷載；對(duì)復(fù)雜的大跨度拱橋，盡管拱肋的軸力分布較為一致，但由于慣性力和阻尼力的存在，各桿件內(nèi)力時(shí)程并不相同，可選取幾個(gè)關(guān)鍵截面試算幾次以確定最小的臨界荷載。

自噬不僅參與了正常細(xì)胞生長(zhǎng)發(fā)育、同時(shí)也參與了細(xì)胞的成熟分化及死亡的調(diào)控，自噬活性的改變經(jīng)?？梢?jiàn)于一些腫瘤細(xì)胞，影響了腫瘤的發(fā)生和發(fā)展[4，6]。

3 彈性動(dòng)力失穩(wěn)計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述方法的正確性與有效性，本文選取一實(shí)際大跨度鋼拱橋進(jìn)行有限元建模，該橋主橋全長(zhǎng)750m，為一中承式拱梁組合體系鋼拱橋，主跨跨徑為550m，拱肋內(nèi)傾成為提籃拱，矢跨比f(wàn)／L＝1／5.5，邊跨采用跨徑各為100m的上承式拱梁結(jié)構(gòu)；橋面寬37m，采用鋼加勁板梁結(jié)構(gòu)；兩邊跨端橫梁之間布置強(qiáng)大的水平拉索，以平衡主跨拱肋的水平推力。

采用空間有限元建模，橋梁結(jié)構(gòu)全部模擬為三維梁?jiǎn)卧?，不考慮支座單元，拱腳在承臺(tái)處固結(jié)，橋面簡(jiǎn)支，縱向自由；橋面板模擬為一根脊骨梁，主梁和吊桿之間通過(guò)剛臂連接，有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元計(jì)算模型

根據(jù)文獻(xiàn)［20］的研究結(jié)果，最容易引起結(jié)構(gòu)彈性動(dòng)力失穩(wěn)的是地震動(dòng)的豎向輸入，而無(wú)論是橫向還是縱向輸入，對(duì)結(jié)構(gòu)的彈性動(dòng)力失穩(wěn)臨界荷載影響都較小。一方面因?yàn)樗て鸬慕Y(jié)構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng)分布與恒載是不同的，在強(qiáng)烈的地震動(dòng)作用下，很有可能是局部構(gòu)件的屈曲發(fā)生在前，繼而帶來(lái)整個(gè)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)；另一方面是因?yàn)樗降卣疠斎胍鸸敖Y(jié)構(gòu)的響應(yīng)中，彎矩是一個(gè)很重要的部分，從本質(zhì)上屬于文獻(xiàn)［15］提出的動(dòng)力穩(wěn)定極限承載能力的問(wèn)題。因此，本為以影響最大的豎向輸入為例，進(jìn)行彈性動(dòng)力失穩(wěn)臨界荷載求解。

1）動(dòng)態(tài)特征值法 首先以原始場(chǎng)地波輸入求解，得到動(dòng)態(tài)屈曲系數(shù)時(shí)程如圖3所示，由圖可清楚觀察地震動(dòng)輸入對(duì)結(jié)構(gòu)在整個(gè)時(shí)間歷程中穩(wěn)定性能的影響，由于地震波的往復(fù)交替，這種影響也時(shí)而增強(qiáng)時(shí)而減弱，最不利的時(shí)刻約在11s附近；利用文獻(xiàn)［20］在Ansys平臺(tái)開(kāi)發(fā)的動(dòng)態(tài)特征值求解程序，經(jīng)過(guò)13次循環(huán)求解圖3所示的動(dòng)態(tài)特征值曲線，當(dāng)輸入地震波比例系數(shù)λ＝13.0，在11.16s得到最小屈曲系數(shù)α＝1.057，意味著該時(shí)刻為動(dòng)力屈曲的觸發(fā)點(diǎn)，屈曲模態(tài)為面內(nèi)豎彎，如圖4所示。圖5為該級(jí)荷載輸入下拱頂?shù)奈灰茣r(shí)程，由圖可見(jiàn)，拱頂?shù)呢Q向位移在11s左右表現(xiàn)出了明顯的位移瞬時(shí)增大的趨勢(shì)，這也充分說(shuō)明了t時(shí)刻的彈性動(dòng)力屈曲臨界荷載是結(jié)構(gòu)動(dòng)力失穩(wěn)的觸發(fā)點(diǎn)。

圖3 動(dòng)態(tài)特征值曲線

圖4 屈曲模態(tài)（t＝11.16s）

圖5 臨界荷載作用下拱頂位移時(shí)程

2）簡(jiǎn)化計(jì)算方法 如前所述，對(duì)復(fù)雜的拱橋結(jié)構(gòu)，應(yīng)用本文簡(jiǎn)化方法，需要找準(zhǔn)能代表結(jié)構(gòu)屈曲的最不利桿件。通常，拱腳單元是受壓最大的桿件，但保守起見(jiàn)，我們將拱頂、1／4跨、拱梁結(jié)合處處以及拱腳4個(gè)截面的軸力時(shí)程進(jìn)行比較，如圖6所示。

圖6 各關(guān)鍵部位線性軸力時(shí)程

由圖6可知，拱肋各單元的時(shí)程曲線基本一致，拱腳的軸力最大，發(fā)生在11.12s，其他3個(gè)截面的軸力最大值都在11.16s。我們先取拱腳單元為最不利軸力單元，進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過(guò)程如下：

（1）計(jì)算恒載作用下屈曲分析，得到：α＝4.956，屈曲模態(tài)與圖3一致；

（3）計(jì)算由（1）得到的臨界荷載作用下的軸力N1＝αNs＝－5.288×108（N）；

（4）拱肋單元最不利動(dòng)軸力為Nd＝－3.031e7（N），t＝11.12s，N2＝λNd；

（5）令N2＋Ns＝N1，求得：

由圖3可知，這個(gè)計(jì)算結(jié)果與動(dòng)態(tài)特征值曲線計(jì)算得到的結(jié)果λ＝13相比，誤差為8%，但計(jì)算過(guò)程和時(shí)間卻大為簡(jiǎn)化和減少。

為更進(jìn)一步說(shuō)明問(wèn)題，我們分別取拱頂、1／4跨、拱梁結(jié)合處3個(gè)單元為最不利單元，重復(fù)上述計(jì)算，結(jié)果列于表1。

表1 動(dòng)力屈曲臨界系數(shù)

由表1可見(jiàn)，取用不同代表單元所得結(jié)果非常接近，誤差均不超過(guò)10%。雖然動(dòng)力屈曲發(fā)生的時(shí)刻不完全相同，但對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)的時(shí)間過(guò)程，這一點(diǎn)并不是特別重要，因?yàn)槿缜八觯贚iapunov動(dòng)力失穩(wěn)只是一個(gè)激發(fā)結(jié)構(gòu)進(jìn)入不穩(wěn)定振動(dòng)的觸發(fā)點(diǎn)，因此只要最終求得的動(dòng)力失穩(wěn)臨界系數(shù)準(zhǔn)確，即達(dá)到工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用的目的。

事實(shí)上，如果我們?cè)谏鲜龅冢?）步對(duì)靜力屈曲系數(shù)α進(jìn)行迭代，對(duì)于本例即從α＝4.956調(diào)整恒載比例因子直到α＝1，然后準(zhǔn)確得到此時(shí)對(duì)應(yīng)的恒載軸力N1而非上述根據(jù)初試屈曲系數(shù)近似得到的軸力，所得計(jì)算結(jié)果誤差將不超過(guò)5%，如表2所示。

表2 動(dòng)力屈曲臨界系數(shù)

綜上所述，此簡(jiǎn)化方法不但計(jì)算簡(jiǎn)單，且計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確率高。即便對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)需進(jìn)行幾次試算，該方法也不需經(jīng)過(guò)循環(huán)求解整個(gè)時(shí)間過(guò)程的動(dòng)態(tài)屈曲系數(shù)，而僅通過(guò)簡(jiǎn)單的靜力計(jì)算和線性時(shí)程計(jì)算結(jié)果就能快速確定彈性動(dòng)力失穩(wěn)臨界荷載。

4 結(jié) 論

針對(duì)基于Liapunov動(dòng)力穩(wěn)定性意義的動(dòng)力第1類穩(wěn)定問(wèn)題，通過(guò)得到動(dòng)力屈曲和靜力屈曲在數(shù)學(xué)上的控制方程，闡明動(dòng)力屈曲和靜力屈曲的本質(zhì)聯(lián)系，并將靜力穩(wěn)定安全系數(shù)引入動(dòng)力第1類穩(wěn)定的計(jì)算過(guò)程，提出一種更為簡(jiǎn)化適用的計(jì)算方法確定拱橋的動(dòng)力失穩(wěn)臨界荷載。應(yīng)用本文方法，通過(guò)1座實(shí)際大跨度拱橋的第1類動(dòng)力穩(wěn)定計(jì)算表明：該方法不但計(jì)算簡(jiǎn)單、快速，且準(zhǔn)確，誤差在5%左右，是比動(dòng)態(tài)特征值法更為有效的第1類動(dòng)力失穩(wěn)計(jì)算方法。該方法不但可用于大跨度拱橋的彈性動(dòng)力失穩(wěn)計(jì)算，也可用于其他具有類似穩(wěn)定問(wèn)題的橋梁如斜拉橋、懸索橋等索塔結(jié)構(gòu)以及其他土木工程壓彎結(jié)構(gòu)的彈性動(dòng)力穩(wěn)定分析。

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