行星齒輪傳動齒根動應(yīng)力計算

蔣立冬，李應(yīng)生，朱振榮，陳營利

（中國船舶重工集團公司第七○三研究所，黑龍江哈爾濱 150078）

0 引言

齒根彎曲應(yīng)力是齒輪最重要的強度性能之一，它的大小直接影響齒輪的使用壽命和安全［1］。目前多采用有限元軟件Ansys等對齒輪進行接觸仿真得到齒根應(yīng)力值［2－3］。但對于功率分流式行星傳動的齒輪，其重合度較大，同時嚙合的齒數(shù)多達4～6個。為了計算1個齒由進入嚙合到退出嚙合全過程中齒根應(yīng)力的變化，對于重合度大于4的齒輪，計算至少要涉及到9個不同的齒。對于人字齒輪，1個嚙合位置就是18個齒。對于有3個嚙合位置的太陽輪，就至少要對54個齒進行有限元網(wǎng)格密劃。而計算量要涉及32～38個嚙合位置。因此，若要采用完整模型進行齒根動應(yīng)力的計算，其計算量將十分龐大。本文通過研究與對比計算后發(fā)現(xiàn)，可以在保證計算精度的條件下，通過適當(dāng)簡化計算模型，減少有限元計算規(guī)模，實現(xiàn)齒根動應(yīng)力的計算。

1 齒根動應(yīng)力計算方法

在進行齒根動應(yīng)力計算時，首先需要確定人字齒輪嚙合過程中的齒向載荷分布和齒間載荷分布，文中主要計算齒輪在靜載作用下的齒根應(yīng)力變化，故首先根據(jù)系統(tǒng)靜力學(xué)分析確定1對齒輪傳動中所傳遞的總法向載荷。

在確定了齒輪嚙合所傳遞的法向載荷后，根據(jù)輪齒的幾何參數(shù)關(guān)系和齒輪的結(jié)構(gòu)，分析在1個嚙合周期內(nèi)的若干對接觸線的位置以及相應(yīng)位置輪齒的剛度。再根據(jù)上述分析結(jié)果，進一步得到輪齒的嚙合剛度，以及在各嚙合位置相應(yīng)的接觸線間載荷的分配與每條接觸線上載荷的分布情況，為齒輪的強度計算提供較為準(zhǔn)確的加載位置和齒面載荷分布。

計算出的各嚙合位置相應(yīng)的接觸線間載荷的分配與每條接觸線上載荷的分布，利用Ansys中的APDL語言形成載荷文件［4］，在計算時導(dǎo)入相應(yīng)的載荷文件從而在輪齒接觸面上尋找載荷作用點附近的節(jié)點進行加載計算。

由于齒輪的重合度不是整數(shù)，故同時參與嚙合的齒的個數(shù)是交替變化的。在簡化計算時，考慮到某1個輪齒的齒根應(yīng)力主要受到自身的嚙合力以及與其左右相鄰的2個齒上嚙合力影響，而與其相鄰較遠的齒上的嚙合力對這個齒的齒根應(yīng)力的影響可以忽略。因此，本文中計算齒根應(yīng)力的模型是只保留幾個齒進行加載，而忽略其他參與嚙合齒上的載荷。

2 功率分流行星傳動齒根動應(yīng)力計算

2.1 模型的構(gòu)建

現(xiàn)以功率分流行星齒輪傳動系統(tǒng)差動級太陽輪為例，說明齒根動應(yīng)力的計算過程。

在功率分流式行星傳動中，差動級太陽輪與3個行星輪進行嚙合。為了減少計算量，在建立模型時對太陽輪進行了剃齒簡化，具體是把與聯(lián)軸器聯(lián)接的直齒抹平至分度圓;與行星輪嚙合的人字齒只保留5個齒，并將這5個齒剃齒至分度圓，其余的齒抹平到分度圓，但只在中間3個齒上加載，劃分網(wǎng)格時也只對中間的3個齒進行密化，其余2個齒保證了齒輪模型的完整性，簡化后的實體模型如圖1所示。

圖1 簡化后的差動級太陽輪實體模型Fig.1The model of the sun gear in the differential stage

設(shè)置材料參數(shù):彈性模量E=2.06×105MPa，材料密度ρ=7 900 kg/m3，泊松比μ=0.3。

為了降低計算規(guī)模和提高計算效率，太陽輪網(wǎng)格劃分的具體措施是，在加載的3個輪齒齒面設(shè)定盡可能小的單元尺寸，將受載輪齒的齒根處也設(shè)定盡可能小的網(wǎng)格單元尺寸，從而劃分較密的網(wǎng)格。整個結(jié)構(gòu)統(tǒng)一采用四面體單元Solid45單元，所生成的太陽輪有限元網(wǎng)格如圖2所示。

圖2 差動級太陽輪有限元模型Fig.2The finite element model of the sun gear in the differential stage

2.2 邊界條件

對行星齒輪傳動系統(tǒng)進行靜力學(xué)分析，得到差動級太陽輪1個齒在嚙合過程所傳遞的法向載荷歷程如圖3所示。

圖3 太陽輪在嚙合過程中單齒上的法向載荷歷程Fig.3The normal force of single tooth on sun gear in meshing process

根據(jù)齒面載荷分布計算程序確定的接觸線載荷分布值和載荷作用點坐標(biāo)，在嚙合齒面上施加力邊界條件。在載荷作用點相應(yīng)的就近節(jié)點上施加載荷時，把作用力分解到x，y，z三個方向上，如圖4所示。

由于對太陽輪加載時只對1個嚙合位置加載，而另外2個嚙合位置施加固定約束，故只考慮同1個行星嚙合位置上齒輪的嚙合過程。改變力邊界條件，實現(xiàn)1個齒從嚙入到嚙出的加載過程，可以在Ansys中進行坐標(biāo)變換，并讀取載荷力文件在載荷作用點相應(yīng)的就近節(jié)點上加載計算。

圖4 嚙合力施加示意圖Fig.4The loaded meshing force

由于該太陽輪是和3個行星輪進行嚙合，對于簡化后的模型，在另2個嚙合處施加固定約束，同時這兩處固定約束是變化的，可以在Ansys中把坐標(biāo)進行旋轉(zhuǎn)變換，即依次把坐標(biāo)系繞z軸分別順時針旋轉(zhuǎn)360°，即得到后面幾處和行星輪嚙合的固定約束位置。再通過變換把節(jié)點坐標(biāo)和節(jié)點的各載荷分量轉(zhuǎn)化到相應(yīng)坐標(biāo)系下，再依次進行加載。選擇1個嚙合位置的位移邊界條件如圖5所示。

圖5 太陽輪的力邊界條件示意圖Fig.5The constrained force of the sun gear

2.3 齒根動應(yīng)力計算結(jié)果

將上述有限元模型實施求解操作后，可以得到1個齒在嚙合過程中齒根的應(yīng)力，同時可以得出齒根處應(yīng)力最大值的變化情況，以及齒根應(yīng)力最大值對應(yīng)的節(jié)點在各個嚙合位置的應(yīng)力。由于齒輪的齒根斷裂應(yīng)力是對應(yīng)著徑向應(yīng)力σr，因此，應(yīng)用最大的徑向應(yīng)力與極限應(yīng)力對比，可以判斷輪齒是否滿足強度條件。計算結(jié)果表明，太陽輪的齒根最大徑向應(yīng)力為79.561 MPa，出現(xiàn)在四齒嚙合時的齒根處（見圖6）。

在計算過程中，齒輪模型都只對3個齒進行加載，所以在研究1個齒上的應(yīng)力時，對象是中間齒上的應(yīng)力結(jié)果。在靜載荷作用下，對于1個齒從嚙合進入到退出的過程中，所施加的法向載荷變化如圖5所示，通過計算可以得出太陽輪嚙合過程齒根處的最大徑向應(yīng)力變化如圖7所示，圖中的數(shù)字5和4分別表明處于五齒嚙合區(qū)和四齒嚙合區(qū)。

圖7 嚙合過程中太陽輪齒根處最大徑向應(yīng)力的變化Fig.7The max radial stress on sun dedendum in the meshing process

嚙合過程中變化的徑向應(yīng)力最大值所在的點的徑向應(yīng)力歷程如圖8所示，可以反映出齒根處應(yīng)力最大值一點在嚙合過程中的應(yīng)力變化情況。該文的計算方法與采用傳統(tǒng)計算方法得出的齒輪彎曲應(yīng)力值很吻合，說明本文的計算方法是正確的［5］。

圖8 徑向應(yīng)力最大值點在嚙合過程中的應(yīng)力值Fig.8The stress value of the position with max stress in the meshing process

3 結(jié)語

本文針對功率分率行星齒輪傳動齒輪重合度大，齒根應(yīng)力計算工作量大的問題，對齒根動應(yīng)力的計算問題進行了詳細(xì)研究。首先根據(jù)輪齒的幾何參數(shù)關(guān)系和齒輪的結(jié)構(gòu)，分析在1個嚙合周期內(nèi)若干對接觸線的位置，以及在各嚙合位置相應(yīng)的接觸線間載荷的分配與每條接觸線上載荷的分布情況;然后利用Ansys

中的APDL語言形成載荷文件，在計算時導(dǎo)入相應(yīng)的載荷文件從而在輪齒接觸面上尋找載荷作用點附近的節(jié)點進行加載計算。本文的計算方法可以精確、快速地得到1個齒在嚙合過程中齒根的動應(yīng)力。

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