史學(xué)東，柳建新，郭榮文，童孝忠，劉文劼，曹創(chuàng)華

大地電磁法的1D無(wú)偏差貝葉斯反演

史學(xué)東1，柳建新2，郭榮文2，童孝忠2，劉文劼2，曹創(chuàng)華2

（1．中原油田對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易總公司，濮陽(yáng) 457001；2．中南大學(xué) 有色資源與地質(zhì)災(zāi)害探查湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

應(yīng)用貝葉斯理論對(duì)一維（1D）大地電磁反演問(wèn)題進(jìn)行無(wú)偏差不確定度分析。在貝葉斯理論中，測(cè)量數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息包含在后驗(yàn)概率密度函數(shù)（PPD）中，它可以解釋成模型的單點(diǎn)估計(jì)和不確定度等貝葉斯推斷，這些信息的獲取需要對(duì)反演問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求最優(yōu)模型和在高維模型空間中對(duì)PPD進(jìn)行采樣積分。采樣的完全、徹底和效率，對(duì)反演結(jié)果有著重要的影響。為了使采樣更有效、更完全，數(shù)值積分采用主分量參數(shù)空間的Metropolis Hastings采樣，并采用了不同的采樣溫度。在反演中，同時(shí)采用了欠參數(shù)化和超參數(shù)化方法，數(shù)據(jù)誤差和正則化因子被當(dāng)成隨機(jī)變量。反演結(jié)果得到各參數(shù)的不確定度、參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系和不同深度模型的不確定度分布。COPROD1數(shù)據(jù)的反演結(jié)果表明模型空間中存在雙峰結(jié)構(gòu)。非地電參數(shù)在反演中得到了約束，說(shuō)明數(shù)據(jù)本身不僅包含地球物理模型信息（電導(dǎo)率等），還包含了這些非地電參數(shù)的信息。

貝葉斯反演；采樣；大地電磁法

0 前言

一維（1D）大地電磁法反演問(wèn)題是通過(guò)地表測(cè)量的電磁場(chǎng)，估計(jì)層狀大地的地電模型，在地球物理界已經(jīng)獲得了廣泛的關(guān)注［1～5］。大部份大地電磁反演方法是基于線性化參數(shù)估計(jì)［6～8］，而很少有人關(guān)注非線性分析和不確定度分析。貝葉斯推斷理論為這些研究提供了天然的框架，可以有效地解決反演結(jié)果的不確定估計(jì)。

非線性貝葉斯反演需要優(yōu)化求最佳起始模型和對(duì)整個(gè)模型空間進(jìn)行積分。Monte Carlo積分是在積分域上隨機(jī)采樣，它可以提供無(wú)偏差的積分估計(jì)，但收斂非常慢。多MAP采樣通過(guò)多次運(yùn)行優(yōu)化算法來(lái)收集樣本［9］，它采樣效率高，但得到的積分估計(jì)結(jié)果有偏差。Markov－chain Monte Carlo方法（MCMC），比如Metropolis Hastings采樣和Gibbs采樣，由于它是漸近地對(duì)PPD本身進(jìn)行采樣，提供了無(wú)偏差積分估計(jì)［10、11］。采樣效率和完整性是MCMC方法的兩個(gè)重要方面，其目的是獲得“充分混合”的Markov鏈，以有效地對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行采樣，避免小的、無(wú)效擾動(dòng)和大的、高淘汰率的擾動(dòng)。特別是對(duì)于相關(guān)性強(qiáng)的參數(shù)空間，由于它的高概率區(qū)傾斜于參數(shù)坐標(biāo)，會(huì)導(dǎo)致樣本的“不充分混合”。

參數(shù)非線性不確定度的量化估計(jì)，需要知道數(shù)據(jù)的誤差信息和合理的模型參數(shù)化信息。特別是對(duì)于擬合值的計(jì)算，需要已知準(zhǔn)確的方差信息，但在實(shí)際中卻無(wú)法獲得。在貝葉斯框架下，未知的方差及正則化因子可以通過(guò)優(yōu)化近似得到（“經(jīng)驗(yàn)”貝葉斯方法），或把它看成隨機(jī)變量包含在采樣過(guò)程中（“分級(jí)”貝葉斯方法）。后者的優(yōu)點(diǎn)是可以把方差的影響也包含在模型的不確定度中［12］。

Tarits et al．［13］采用Monte Carlo積分方法進(jìn)行1D大地電磁法的貝葉斯反演，以獲得每層的厚度與電導(dǎo)率的邊緣概率分布（通過(guò)對(duì)限定先驗(yàn)區(qū)間的剖分）。得到的邊緣概率分布是單峰的Gaussian分布，但也有些強(qiáng)烈的非Gaussian分布。Grandis et al．［14］把反演模型看成是一系列的固定厚度的層狀介質(zhì)組成，并加入了平滑先驗(yàn)信息，采用Gibbs采樣方法對(duì)PPD進(jìn)行采樣。在反演過(guò)程中，數(shù)據(jù)誤差看成是隨機(jī)變量，通過(guò)若干不同的正則化因子的選擇，研究了正則化因子對(duì)反演的影響。Cerv et al．［15］用三種不同方法對(duì)一維大地電磁反演問(wèn)題的不確定度進(jìn)行估計(jì)，包括多MAP估計(jì)［9］，Gibbs采樣和Neighbourhood算法［16］。他們指出雖然MAP估計(jì)和Neighbourhood采樣效率高，但是產(chǎn)生的不確定度估計(jì)是有偏差的。Gibbs采樣提供了無(wú)偏差采樣，但是Cerv et al．［15］指出對(duì)于強(qiáng)相關(guān)參數(shù)空間，他們的算法效率低，甚至有可能導(dǎo)致不收斂。

1 貝葉斯理論

這里簡(jiǎn)單地描述貝葉斯反演基本理論和方法，介紹貝葉斯反演推斷信息。m表示未知的M維模型參數(shù)空間，d表示N維的數(shù)據(jù)空間，在貝葉斯反演中都看成是隨機(jī)變量。為了更具一般性，假設(shè)模型參數(shù)化θ也是未知隨機(jī)變量，它們之間的關(guān)系通過(guò)貝葉斯框架進(jìn)行關(guān)聯(lián)。

其中P（m｜d，θ）表示m對(duì)d和θ的條件概率密度函數(shù)；P（d｜m，θ）表示d對(duì)m和θ的條件概率密度函數(shù)；P（d，θ）和P（m，θ）分別表示數(shù)據(jù)和模型與θ的聯(lián)合先驗(yàn)概率密度函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，如果數(shù)據(jù)d是預(yù)先給定，參數(shù)化θ也是預(yù)先確定的，為了表示方便把θ省略，這時(shí)P（d）是常量。P（d｜m）可以理解為已知數(shù)據(jù)d條件下隨m變化的函數(shù)，也稱為似然函數(shù)，表示成L（m）。此時(shí)，式（1）可寫成式（2）。

其中P（m｜d）表示后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

通常似然函數(shù)可以寫成L（m）∝exp［-E（m）］，其中E（m）表示數(shù)據(jù)擬合函數(shù)（將在后面討論）。因此，后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以寫成式（3）。

其中 積分區(qū)域v表示多維模型空間；φ（m）表示包括了數(shù)據(jù)擬合和先驗(yàn)信息的廣義數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，其表達(dá)式見(jiàn)式（4）。

在貝葉斯反演中，式（3）中表示的多維空間后驗(yàn)概率密度函數(shù)，可以用來(lái)表述一個(gè)反演問(wèn)題所有解的信息。從模型的后驗(yàn)概率密度函數(shù)中提取模型信息，需要計(jì)算它的模型估計(jì)，參數(shù)不確定度以及參數(shù)間的相關(guān)度等屬性。例如，最大后驗(yàn)概率估計(jì)模型，概率期望模型，模型協(xié)方差Cm，1D和2D邊緣概率分布P（mi｜d）和P（mi，mj｜d），以及相關(guān)度矩陣Rm，它們的定義如下

其中δ表示Dirac delta函數(shù)；T表示轉(zhuǎn)置符號(hào)。

要提取以上信息，需要用優(yōu)化方法求解好的初始模型，并對(duì)整個(gè)模型區(qū)域進(jìn)行積分。對(duì)于線性反演問(wèn)題，如果已知數(shù)據(jù)誤差服從Gaussian分布，且先驗(yàn)信息服從均勻概率分布或Gaussian分布，那么PPD本身也將服從Gaussian分布，以上屬性問(wèn)題存在解析解。對(duì)于非線性反演問(wèn)題，可以采用線性化過(guò)程和線性反演方法來(lái)求解，其近似程度取決于反演問(wèn)題的非線性程度。另一種替代方法就是通過(guò)數(shù)值方法求解，它沒(méi)有線性化近似誤差，具有普遍性，但是需要更高強(qiáng)度的計(jì)算量為代價(jià)。

對(duì)于大多數(shù)反演問(wèn)題，一個(gè)模型的合理參數(shù)化事先是不知道的。在這種情況下，兩種常用的方法可以用于參數(shù)化反演模型：①欠參數(shù)化方法。該方法是用數(shù)據(jù)所能解決的最少參數(shù)（比如層數(shù)）來(lái)代表一個(gè)模型，越簡(jiǎn)單越好；②超參數(shù)化方法。該方法用超出數(shù)據(jù)解決能力參數(shù)量（比如層數(shù)）來(lái)參數(shù)化一個(gè)模型，但在求解過(guò)程中強(qiáng)加了某種期望的結(jié)構(gòu)來(lái)獲得穩(wěn)定的解，比如平整結(jié)構(gòu)、平滑結(jié)構(gòu)等。也可以采用Green用于1995年提出的把參數(shù)化看成是一個(gè)隨機(jī)變量包含在后驗(yàn)概率密度函數(shù)中［17］，讓數(shù)據(jù)本身去決定參數(shù)化問(wèn)題—可逆跳躍Markov Chain Monte Carlo采樣。作者在本文中主要考慮兩種常用的參數(shù)化反演方法，并且在反演中，數(shù)據(jù)誤差（Cd＝sc2diag（s12，s22，…，sN2）中si表示數(shù)據(jù)誤差的粗略估計(jì)，sc表示不相關(guān)數(shù)據(jù)誤差的矯正或縮放因子［18、19］）及正則化因子看成是未知量。詳細(xì)的理論和方法可參考文獻(xiàn)［17～19］，由于篇幅限制，本文不再累述。

2 Metroplis－Hastings采樣數(shù)值積分

模型的后驗(yàn)概率分布包含了所有的反演信息，貝葉斯反演就是從概率后分布中提取有用的模型信息。這些模型信息包括式（6）～式（8）所定義的參數(shù)不確定度和相關(guān)度信息等屬性，提取這些信息需要對(duì)后概率分布進(jìn)行數(shù)值積分。將以上積分寫成一般形式表示為式（11）。

其中f（m）表示一般函數(shù)。

式（11）定義的積分可以通過(guò)解析方法或數(shù)值方法求解，作者主要考慮采用基于Monte Carlo的積分求解法。在標(biāo)準(zhǔn)Monte Carlo積分中［20］，模型是隨機(jī)從定義在積分區(qū)域上的均勻分布中產(chǎn)生。給定一個(gè)含Q個(gè)模型的樣本，每個(gè)樣本的概率可通過(guò)式（12）計(jì)算。

其中i＝1，…，Q

積分式（11）通過(guò)式（13）進(jìn)行估計(jì)。

其中V代表M－D積分體積。

如果積分式集中在模型空間的某些局部區(qū)域，那么從均勻分布上進(jìn)行采樣，其效率不高?？梢圆捎弥攸c(diǎn)采樣解決均勻采樣效率低的問(wèn)題，該方法對(duì)積分貢獻(xiàn)較大的區(qū)域進(jìn)行重點(diǎn)采樣。假設(shè)g（m）代表重點(diǎn)采樣的采樣分布函數(shù)，Q個(gè)模型從該分布上產(chǎn)生，其歸一化條件見(jiàn)式（14）。

式（11）可以寫成式（15）。

式（13）的Monte Carlo積分代表重點(diǎn)采樣的一個(gè)特例，即在均勻分布g（m）＝1／V上的重點(diǎn)采樣。需要指出的是，多重MAP積分法［9］的模型樣本產(chǎn)生于優(yōu)化過(guò)程，其采樣函數(shù)是未知的（如模擬退火法和遺傳算法），因此沒(méi)有、也無(wú)法對(duì)式（15）中的除數(shù)g（m）進(jìn)行校正。采用這種采樣方法即使對(duì)模型空間進(jìn)行徹底采樣，計(jì)算出的積分估計(jì)值與實(shí)際積分值也會(huì)產(chǎn)生潛在的、嚴(yán)重的偏差。

基于Markov chain Monte Carlo方法（MCMC）的Metropolis－Hastings采樣（MHS［10，21，22］）的采樣函數(shù)為g（m）＝P（m｜d），把g（m）代入式（15）中，積分估計(jì)可以簡(jiǎn)化成式（16）。

因此，通過(guò)MHS采樣，式（11）的積分簡(jiǎn)化成在樣本集上計(jì)算f（m）的平均值。

雖然基于MCMC采樣的最終積分結(jié)果與采樣的起始模型沒(méi)關(guān)系，但一個(gè)好的起始模型（最大概率模型）可以加速采樣的收斂，例如采用線性化或非線性反演方法獲得的MAP估計(jì)作為起始模型。采樣的收斂性判斷有很多方法［23］，例如通過(guò)對(duì)比兩組或更多組平行的樣本的積分估計(jì)（或最大邊緣概率分布）：當(dāng)幾個(gè)樣本的積分估計(jì)差小于某個(gè)預(yù)設(shè)的閥值時(shí)，認(rèn)為采樣過(guò)程已經(jīng)收斂，最后把所有的樣本合并成一組樣本進(jìn)行積分估計(jì)。

3 主分量空間的擾動(dòng)

如果模型空間的相關(guān)性比較強(qiáng)，那么基于算法（Markov Chain Monte Carlo）的優(yōu)化方法和采樣方法的效率將受到嚴(yán)重的影響。在這種情況下，可以將模型空間轉(zhuǎn)換到主分量空間中以減輕這種影響。物理空間與主分量參數(shù)空間的轉(zhuǎn)換，可通過(guò)式（17）實(shí)現(xiàn)。

其中U是協(xié)方差矩陣Cm的列特征向量，其分解如式（18）所示。

其中 Λ＝diag［λ1，…，λM］是特征值矩陣；λi表示投影到向量ui上的方差。

由于反演開(kāi)始無(wú)法獲得全局協(xié)方差矩陣Cm的信息，作者在本文采用了局部近似方法。該方法基于非線性反演問(wèn)題的線性化估計(jì)，可以為高效的非線性采樣算法提供有用的局部信息［23］。Cm的線性化近似為式（19）。

其中J是在MAP解（初始采樣模型）處的Jacobian矩陣。

在“burn－in”采樣過(guò)程中，協(xié)方差矩陣Cm的起始線性化估計(jì)自適應(yīng)地被基于MHS采樣的非線性估計(jì)代替，它可以更好地代表參數(shù)空間的總體協(xié)方差（這個(gè)階段的采樣沒(méi)有保存用于積分估計(jì)）。

4 采樣溫度

以上討論的數(shù)值積分是基于T＝1時(shí)的MHS采樣，然而對(duì)于多峰PPD反演問(wèn)題，存在一些被低概率區(qū)隔開(kāi)的高概率區(qū)，對(duì)這些區(qū)域的采樣可能不能成功地在模型空間中來(lái)回跳躍，也就是說(shuō)部份模型空間被“凍結(jié)”。為了更好、更徹底地對(duì)模型空間進(jìn)行采樣，有必要采用T＞1，然后將樣本矯正到T＝1。參考文獻(xiàn)［23］式（11）可以寫成式（20）。

其中Z1和ZT分別表示溫度為“1”和“T”時(shí)的歸一化量（也叫剖分函數(shù)）。

假設(shè)一個(gè)由Q個(gè)模型組成的樣本，服從exp［－φ（m）／T］定義的分布（等價(jià)于在溫度“T”時(shí)的MHS采樣），那么式（21）可變?yōu)槭剑?2）。

利用式（22），任意溫度的MHS采樣都可以通過(guò)矯正得到T＝1的積分估計(jì)，使采樣更完全。當(dāng)T＝1時(shí)，式（22）可簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的MHS采樣，也就是式（16）。當(dāng)T→∞時(shí)，式（22）變成均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)Monte Carlo采樣，見(jiàn)式（13），它是最一般的采樣方式。當(dāng)T增大時(shí)，采樣更完全，更多的時(shí)間在低密度區(qū)域跳躍。對(duì)于單峰模型，高溫時(shí)的采樣相對(duì)低溫時(shí)收斂更慢，采樣時(shí)間更長(zhǎng)；對(duì)于多峰模型，如果低溫時(shí)采樣不能徹底在整個(gè)空間中跳躍，高溫采樣將比低溫采樣效率更高。如果溫度的增加，使MHS采樣的邊緣概率分布或聯(lián)合概率密度發(fā)生了明顯的變化，這說(shuō)明在更低溫度的采樣不完全，有些模型區(qū)域被“凍結(jié)”；反之，如果溫度的變化，使邊緣概率分布變化不明顯，就說(shuō)明采樣完全，積分估計(jì)可靠。作者采用了一系列溫度T＝1、2、3進(jìn)行MHS采樣，以確保采樣的完全性、徹底性。

5 反演結(jié)果分析

5．1 理論模型反演

作者首先考慮五層模型的貝葉斯反演，在反演中假設(shè)數(shù)據(jù)誤差（sc）是未知的，并考慮欠參數(shù)化和超參數(shù)化兩種方法。五層模型結(jié)構(gòu)如表1所示，其深部存在高電導(dǎo)率層。在0．002 5 s～25 s間產(chǎn)生二十五個(gè)等對(duì)數(shù)間隔周期的合成數(shù)據(jù)，并加入百分之二的Gaussian噪聲。所有參數(shù)的先驗(yàn)信息都是這樣給出的：每層的電導(dǎo)率和厚度分別服從定義在［0，1］S／m和［100，10000］m上的均勻分布。

圖1（見(jiàn)下頁(yè)）顯示在欠參數(shù)化下，五層模型參數(shù)的邊緣概率分布。圖1中顯示第一層的電導(dǎo)率和厚度、第二層和第五層的電導(dǎo)率以及sc的不確定度窄，說(shuō)明在反演中能很好地得到解決。而其它參數(shù)不確定度稍微更寬，對(duì)數(shù)據(jù)響應(yīng)的靈敏度相對(duì)更差。部份參數(shù)（包括誤差信息）的2D邊緣概率密度分布顯示在圖2（見(jiàn)下頁(yè)）中，其中h2和σ2、σ3、σ4、h1、h3之間存在著較強(qiáng)的相關(guān)性。圖2中還顯示出大部份參數(shù)間存在非線性關(guān)系，但是這種非線性比較微弱，可以近似為線性。

見(jiàn)后面，圖3和圖4分別顯示了在不同參數(shù)化下的邊緣概率剖面。在圖3中，欠參數(shù)化反演結(jié)果顯示除了第四層低阻層外，其它幾層的參數(shù)在反演中都得到了較好的約束，而第四層不確定度大。同時(shí)在經(jīng)過(guò)反演，其結(jié)果還是可以區(qū)分第四層與背景地電結(jié)構(gòu)的差異。圖4中的超參數(shù)化反演結(jié)果表明，淺部參數(shù)的不確定度相對(duì)深部參數(shù)的小。由于在反演中加入了平滑信息，邊緣概率剖面也反映現(xiàn)強(qiáng)加的結(jié)構(gòu)信息。

5．2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)反演

這里將對(duì)大地電磁法COPROD1實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)［24、25］進(jìn)行反演，這些數(shù)據(jù)已廣泛被其他研究者用作反演解釋［14、15、26］，測(cè)量周期為28．5 s～1 960．7 s間的十五個(gè)周期。為了使反演更具一般性，用Constable等［26］提供的數(shù)據(jù)誤差作為起始標(biāo)準(zhǔn)方差，實(shí)際誤差為標(biāo)準(zhǔn)方差乘上方差比例因子sc，電導(dǎo)率用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示。所有參數(shù)的先驗(yàn)信息是這樣給出：電導(dǎo)率和厚度分別服從定義在［10－6，1］S／m和［1，1000］km上的均勻分布。

反演開(kāi)始，采用貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）確定反演模型的層數(shù)，作者選用四層模型，其具體過(guò)程可見(jiàn)文獻(xiàn)［18］。后面圖5顯示在不同溫度下四層模型的邊緣概率分布，每個(gè)小圖從上到下，依次表示溫度T＝1、T＝2和T＝3時(shí)的反演結(jié)果。它們的邊緣概率分布沒(méi)有明顯的差異，說(shuō)明對(duì)模型空間的采樣已經(jīng)完全、徹底。從參數(shù)的邊緣概率分布上，可以觀察到h3和σ4的非線性反演結(jié)果是雙峰模型，σ1和h2的邊緣概率分布較寬。h3和σ4的兩個(gè)截然不同的高概率分布區(qū)為：一個(gè)對(duì)應(yīng)于峰值在更小的h3和更低的σ4處，為了表示方便簡(jiǎn)稱“1區(qū)”；另一個(gè)對(duì)應(yīng)于峰值在更大的h3和更高的σ4處，簡(jiǎn)稱“2區(qū)”，模型參數(shù)間的相關(guān)度信息顯示在圖6（見(jiàn)后面）中。圖6中顯示有些參數(shù)間存在強(qiáng)烈的相關(guān)性，比如強(qiáng)負(fù)相關(guān)的有h2、σ2及h1、h2等，強(qiáng)正相關(guān)的有h1、σ2及h3、σ4等。

圖7（見(jiàn)下頁(yè)）是在欠參數(shù)化下COPROD1數(shù)據(jù)反演的邊緣概率剖面。與圖5對(duì)應(yīng)，也存在彼此不相連的高概率區(qū)。有趣的是先前的COPROD1數(shù)據(jù)反演結(jié)果［15，25］與圖5所示的“2區(qū)”基模型相似（本文第一層電導(dǎo)率偏小，這是由先驗(yàn)區(qū)間過(guò)寬造成的），它是從“2區(qū)”產(chǎn)生的，而“1區(qū)”的基模型具有更小的廣義數(shù)據(jù)擬合值，代表了MAP解。以往的反演結(jié)果（四層模型）都是單模結(jié)構(gòu)，這可能是因采樣的不完全而引起的。

對(duì)于超參數(shù)化反演方法，在0 km～103km上，反演模型被剖分成固定厚度，成對(duì)數(shù)增加的五十層。圖8（見(jiàn)下頁(yè)）顯示在超參數(shù)化下反演的邊緣概率剖面，淺部不確定度大，說(shuō)明數(shù)據(jù)對(duì)該深度范圍的結(jié)構(gòu)不敏感，中間段模型結(jié)構(gòu)在反演中很好地得到約束（約小于1 000 km），再往深部誤差越大。下頁(yè)圖9顯示μ和sc2的邊緣概率分布。sc2的1D邊緣概率分布服從期望的χ2分布，它的最大概率處被約束在“1”附近。μ在反演中得到了較好的約束（最大概率處窄），μ和sc2的2D邊緣概率分布顯示在下頁(yè)圖9（右圖部份），很明顯它們之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性。

6 結(jié)論

我們應(yīng)用貝葉斯理論對(duì)1D大地電磁法問(wèn)題進(jìn)行無(wú)偏差貝葉斯反演，計(jì)算了模型（電導(dǎo)率和層厚）的邊緣概率分布，并綜合邊緣概率分布計(jì)算出電導(dǎo)率～深度不確定度剖面，不確定度估計(jì)是通過(guò)對(duì)PPD的MCMC采樣得到。為了克服采樣過(guò)程中由于參數(shù)間的強(qiáng)相關(guān)性而導(dǎo)致的收斂慢及采樣不完全等問(wèn)題，作者在本文采用了主軸空間的MHS采樣。在采樣過(guò)程中，采用了不同的采樣溫度以保證采樣的全局性、完整性，不同溫度下的采樣通過(guò)矯正得到單位溫度的無(wú)偏差積分估計(jì)。在反演中，考慮了欠參數(shù)化和超參數(shù)化反演，并把數(shù)據(jù)誤差和或正則化因子看作是未知隨機(jī)變量，最終得到該模型的無(wú)偏差不確定度分布。

作者在文中分別對(duì)未知數(shù)據(jù)誤差條件下的五層模型及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了無(wú)偏差不確定度分析。從無(wú)偏差貝葉斯反演的邊緣概率分布，得出各參數(shù)不確定度和參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，以及不同深度模型的不確定度分布。不同溫度下的COPROD1數(shù)據(jù)反演結(jié)果表明，在T＝1時(shí)采樣徹底，反演結(jié)果得到雙峰結(jié)構(gòu)。非地電參數(shù)當(dāng)成隨機(jī)變量在反演中得到了約束，說(shuō)明數(shù)據(jù)本身不僅包含地球物理模型信息（電導(dǎo)率），還包含了這些非地電參數(shù)的信息。

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2011－09－30改回日期：2011－12－25

1001—1749（2012）04—0371—09

史學(xué)東（1962－），男，碩士，高級(jí)工程師，現(xiàn)主要從事物探工作。