羅 威，王緒本，覃慶炎

基于球體層狀介質(zhì)模型的大地電磁正演

羅 威1，王緒本1，覃慶炎2

（1．成都理工大學(xué) 地球探測(cè)與信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610059；2．中國(guó)煤炭科工集團(tuán) 西安研究院，西安 710077）

目前大地電磁測(cè)深法的一維正演理論，是基于平面波垂直入射水平層狀介質(zhì)的假設(shè)模型。但由于地球是一個(gè)球體，因此有必要研究基于球狀介質(zhì)模型的大地電磁正演理論。這里詳細(xì)推導(dǎo)了基于球體層狀介質(zhì)模型的大地電磁正演公式，計(jì)算了若干理論模型。通過(guò)同基于水平層狀介質(zhì)模型的大地電磁正演結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了正演公式的正確性。同時(shí)，指出當(dāng)探測(cè)周期增加到上萬(wàn)秒時(shí)，阻抗相位會(huì)增大；而當(dāng)探測(cè)周期增加到數(shù)十萬(wàn)秒時(shí)，視電阻率會(huì)減小。

大地電磁；球體層狀介質(zhì)；一維正演；視電阻率；阻抗相位

0 前言

大地電磁測(cè)深法（Magnetotellurics，簡(jiǎn)稱(chēng)MT），是從導(dǎo)電性的角度研究地殼和上地幔結(jié)構(gòu)不可缺少的地球物理探測(cè)方法，是在二十世紀(jì)五十年代初期由Tikhonov［1］和Cagniard［2］分別提出的。

在MT理論基礎(chǔ)中，為了保證可行性，同時(shí)考慮到地球內(nèi)部的電磁感應(yīng)特點(diǎn)，人們做了一系列假設(shè)［2、4］。其中最主要的就是平面波垂直入射水平層狀介質(zhì)的假設(shè)。Srivastava［3］曾指出，當(dāng)探測(cè)深度或周期達(dá)到一定程度后，則有必要考慮地球的球狀形態(tài)的影響，但并未給出具體的正演推導(dǎo)過(guò)程，并且模型的對(duì)比分析也不夠合理。因此，作者在本文詳細(xì)推導(dǎo)了基于平面波垂直入射球體層狀介質(zhì)模型的正演公式，通過(guò)同基于水平層狀介質(zhì)模型的大地電磁正演結(jié)果對(duì)比，對(duì)地球曲率對(duì)MT的影響做了定量分析。

1 基于球體層狀介質(zhì)模型的MT正演公式

目前在MT一維正演理論中，介質(zhì)模型被假設(shè)為水平層狀介質(zhì)（見(jiàn)圖1（a））。作者采用球體層狀介質(zhì)模型，圖1（b）表示一個(gè)n層球狀地電斷面，各層的電阻率為ρ1、ρ2、…、ρn，每一層上頂面是相對(duì)于地心的半徑為r1、r2、…、rn的球體層狀介質(zhì)模型。

1．1 平面波入射均勻介質(zhì)球體的波阻抗

為了研究平面波入射球體層狀介質(zhì)模型的MT正演理論，作者先從最基本的均勻介質(zhì)球體入手。假設(shè)平面電磁波沿z軸入射到半徑為a的介質(zhì)球，如圖2所示。

電磁場(chǎng)可以分為相對(duì)于球徑方向的TM和TE極化波二部分（簡(jiǎn)稱(chēng)TM波和TE波）。由Maxwell方程組中的▽·H＝0和▽·E＝0及矢量場(chǎng)論可知，任一矢量旋度的散度恒等于零，故我們可以引入磁矢量A和電矢量F：

TM波球徑方向的磁場(chǎng)H＝0，矢量磁位僅有球徑方向的分量A＝Arer；而TE波球徑方向的電場(chǎng)E＝0，則矢量電位為F＝Frer。由此可以導(dǎo)出在Lorentz規(guī)范條件下的矢量位方程式（2）。

其中k＝（w2με－iwμσ）1／2為均勻介質(zhì)球中的復(fù)波數(shù)。

以TM波為例，在球坐標(biāo)系中將式（2）展開(kāi)為式（3）：

將式（3）中的各項(xiàng)同時(shí)除以r，利用關(guān)系式：

可將式（3）改寫(xiě)成式（5）。

式中 ▽2為三維Laplace算符。

由此可見(jiàn)，（Ar／r）滿(mǎn)足齊次標(biāo)量的Helmholtz方程。對(duì)于TE波，則有：

令＝Ar／r＝Fr／r，和分別稱(chēng)為T(mén)M波和TE波的Debye位。通過(guò)求解方程（5）和方程（6）可得到Debye位，進(jìn)而得到矢量位，再由矢量位導(dǎo)出電磁場(chǎng)［5］：

展開(kāi)式（7），即可用Debye位表示出各電磁場(chǎng)分量：

作者在導(dǎo)出Er和Hr的表達(dá)式時(shí)，再次用到了式（4）。若只存在TM波或TE波時(shí)，只需令＝0或＝0。根據(jù)方程（5）和方程（6）的通解，可寫(xiě)出Debye位的一般形式：

式（9）中f（r）滿(mǎn)足貝塞爾方程：

方程的解f（r）為第一類(lèi)和第二類(lèi)n階Bessel函數(shù)，或Hankel函數(shù)，或其線(xiàn)性組，）為締合Lengendre函數(shù)。略位移電流（μεω2?μσω），將Debye位的一般形式代入式（8）中，得到了Srivastava［3］直接引用的公式，即均勻球體內(nèi)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的n次諧波各分量：

其中jn（x）和ηn（x）分別為n階第一類(lèi)和第二類(lèi)球貝塞爾函數(shù)；Bηn（kr）表示反射波。

對(duì)于均勻球體介質(zhì)，假設(shè)對(duì)電磁波全部吸收，即B＝0，則阻抗為：

或：

1．2 平面波入射球體層狀介質(zhì)模型正演公式

從式（13）和式（14）可以看出，阻抗與θ和φ無(wú)關(guān)，只與f（r）有關(guān)。因此球內(nèi)半徑為r處的阻抗為：

為了方便表述正演公式，可做如下假設(shè)：

令

對(duì)于一個(gè)兩層同心球體，則在同一層的頂面（r＝r1）和底面（r＝r1）且r2＜r1處，Z1和Z2分別為：

在兩個(gè)方程中，有相同的待定系數(shù)A與B，則可用Z2來(lái)表示Z1，可以得到相鄰兩層之間的阻抗變換關(guān)系。把Z2代人Z1中，則有式（19）。

同理，若對(duì)于一個(gè)n層同心球體，第m層阻抗可由第m＋1層表示，則有式（20）。

最內(nèi)層的球體表面阻抗與均勻球體介質(zhì)相同，已由式（13）和式（14）給出。而從底層開(kāi)始，由式（20）迭代公式可一層一層地向上遞推，求出球表面阻抗Z1。

由阻抗可求得球表面視電阻率和阻抗相位：

圖3（見(jiàn)下頁(yè)）為基于球體層狀介質(zhì)模型的MT正演流程圖。

2 理論模型算例分析

2．1 均勻球體模型和均勻半空間模型

均勻球體模型和均勻半空間模型如圖4（見(jiàn)下頁(yè)）所示，電阻率設(shè)為100Ω·m；均勻球體半徑取地球平均半徑6 371 km；研究周期范圍為從1 s～106s，采用以10為底的對(duì)數(shù)采樣間隔，共61個(gè)頻點(diǎn)。

見(jiàn)下頁(yè)，圖5中的（a）與（b）分別是二種模型正演結(jié)果視電阻率和阻抗相位對(duì)比圖，其中實(shí)線(xiàn)是基于水平層狀介質(zhì)模型的正演結(jié)果，虛線(xiàn)是基于球體層狀介質(zhì)模型的正演結(jié)果。從圖5中可以看出，二種介質(zhì)模型的視電阻率曲線(xiàn)和阻抗相位曲線(xiàn)，在高頻部份完全重合。當(dāng)周期繼續(xù)增大，球體層狀模型的視電阻率相對(duì)水平層狀模型，在3 s×105s左右開(kāi)始分離并降低，阻抗相位在2 s×104s左右開(kāi)始分離并增大。這說(shuō)明隨著測(cè)量周期增大，探測(cè)深度越深，地球球狀形態(tài)的影響就越明顯。

2．2 模型二：H型模型

H型介質(zhì)模型如下頁(yè)圖6所示，第一層厚度為200 km，電阻率取值為5 000Ω·m；第二層厚度為300 km，電阻率取值為100Ω·m；第三層電阻率取值為1 000Ω·m。

見(jiàn)下頁(yè)，圖7中的（a）與（b）分別是H型介質(zhì)模型正演結(jié)果視電阻率和阻抗相位對(duì)比圖。從圖7中可以看出，曲線(xiàn)仍然是在高頻部份完全重合。當(dāng)周期繼續(xù)增大時(shí)，球體層狀模型的視電阻率相對(duì)水平層狀模型，在105s左右開(kāi)始分離并降低，阻抗相位在104s左右開(kāi)始分離并增大。

2．3 模型三：HK型模型

HK型介質(zhì)模型如后面圖8所示，第一層厚度為200 km，電阻率取值為2 000Ω·m；第二層厚度為200 km，電阻率取值為100Ω·m；第三層厚度為200 km，電阻率取值為5 000Ω·m；第四層電阻率取值為400Ω·m。

見(jiàn)后面，圖9中的（a）與（b）分別是HK型介質(zhì)模型正演結(jié)果視電阻率和阻抗相位對(duì)比圖。從圖9可以看出，對(duì)比結(jié)果與前面的模型一致，相位曲線(xiàn)的分離周期為一萬(wàn)秒的數(shù)量級(jí)，視電阻率的分離周期為十萬(wàn)秒數(shù)量級(jí)。

3 結(jié)論與建議

（1）通過(guò)平面波垂直入射水平層狀介質(zhì)模型與球體層狀介質(zhì)模型正演結(jié)果對(duì)比，證明了基于球體層狀介質(zhì)模型正演公式的正確性。

（2）受地球球狀形態(tài)影響，當(dāng)探測(cè)周期增加到上萬(wàn)秒時(shí)，阻抗相位會(huì)增大；當(dāng)探測(cè)周期增加到數(shù)十萬(wàn)秒時(shí)，視電阻率會(huì)減?。淮藭r(shí)水平層狀模型不再適用，應(yīng)采用球體層狀模型。

（3）作者在本文中，只在一維情況下推導(dǎo)了基于平面波入射球體層狀介質(zhì)模型正演公式，可以進(jìn)一步分析在二維或三維情況下，地球球狀形態(tài)對(duì)MT的影響。

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P 631．3＋25

A

10．3969／j．issn．1001－1749．2012．04．03

國(guó)家自然科學(xué)基金（4084102，40839909，40674035）

2011－10－16改回日期：2011－11－08

1001—1749（2012）04—0384—06

羅威（1988－），男，碩士，主要研究方向：工程與環(huán)境地球物理。