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      平面幾何知識(shí)在解析幾何中的妙用

      2012-04-09 03:00:14周強(qiáng)
      關(guān)鍵詞:妙用平分線(xiàn)圓心

      數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong解析幾何是從宏觀上利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題,但這些幾何對(duì)象有自身的基本性質(zhì),所以微觀上利用幾何方法也常常有效。下面我想通過(guò)幾道實(shí)例對(duì)平面幾何知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納,使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)找到簡(jiǎn)捷的解題途徑,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,減少運(yùn)算量。

      一、 三角形全等和相似的妙用

      【命題分析】三角形全等與相似的證明是初中平面幾何的教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容,不少學(xué)生這部分知識(shí)掌握的相當(dāng)不錯(cuò)。在處理解析幾何中一些證明或求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí),如果能巧妙利用三角形的全等與相似往往比直接利用代數(shù)法運(yùn)算更簡(jiǎn)捷明快,同時(shí)又有助于學(xué)生的綜合能力的培養(yǎng)。

      【試題設(shè)計(jì)】

      如圖,設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率e=22,M、N是橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且F1M?F2N=0.若|F1M|=|F2N|=25,求橢圓的方程.

      解析延長(zhǎng)NF2交F1M于R點(diǎn),設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q,焦距為2c.

      因?yàn)閑=22,所以a=2c,得|F2Q|=a2c-c=2c-c=c,

      因?yàn)镕1M?F2N=0,

      所以∠F2NQ+∠F1MQ=90°,

      又因?yàn)椤螹F1Q+∠F1MQ=90°,

      所以∠F2NQ=∠MF1Q,

      又由|F1M|=|F2N|,∠F2QN=∠F1QM=90°,

      可得△MF1Q≌△F2NQ,

      則|QM|=|F2Q|=c,

      又因?yàn)閨F1M|=25,所以c2+9c2=20,

      即c2=2,

      所以橢圓的方程為x24+y22=1.

      點(diǎn)撥本題如果利用e=22,將b,c都用a來(lái)表示,設(shè)M(2a,y1)、N(2a,y2),再利用F1M?F2N=0,|F1M|=|F2N|=25,得到關(guān)于y1,y2,a的三個(gè)方程,然后消去y1,y2求出a,此解法運(yùn)算量較大,很多同學(xué)不能算出最后結(jié)果,而如果我們能抓住|F1M|與|F2N|相等,聯(lián)想到通過(guò)證明△MF1Q與△F2NQ全等,得出|MQ|=|F2Q|,然后將已知量放到同一個(gè)直角三角形內(nèi),利用勾股定理求出c,過(guò)程就簡(jiǎn)捷多了。

      二、 相交弦定理的妙用

      【命題分析】高考大綱明確提出“以能力立意,從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”,因此高三的復(fù)習(xí)一定要重視各部分知識(shí)之間的橫向、縱向聯(lián)系。近幾年四點(diǎn)共圓在解析幾何中的應(yīng)用成為高考命題的熱點(diǎn),圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)知識(shí)是同學(xué)們?cè)诔踔兴鶎W(xué),遺忘太多,不少同學(xué)在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手。這個(gè)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)引起我們的高度重視。

      【試題設(shè)計(jì)】

      已知過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P、Q兩點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn),l與直線(xiàn)m:x+3y+6=0相交于N.

      (1) 求證:當(dāng)l與m垂直時(shí),l必過(guò)圓心C;

      (2) 探索AM?AN是否與直線(xiàn)l的傾斜角有關(guān),若無(wú)關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由.

      解析(1) 因?yàn)閘與m垂直,且km=-13,

      所以kl=3,

      故直線(xiàn)l的方程為y=3(x+1),即3x-y+3=0,又因?yàn)閳A心坐標(biāo)(0,3)滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程,

      所以當(dāng)l與m垂直時(shí),l必過(guò)圓心C.

      (2) 設(shè)AC交直線(xiàn)m于點(diǎn)D,當(dāng)l過(guò)圓心C時(shí),由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,得

      |AD|=|-1+6|10=102,又AC=10,

      則AM?AN=-|AC|×|AD|=-102×10=-5.

      當(dāng)l不過(guò)圓心C時(shí),因?yàn)镃M⊥MN,AD⊥m,

      所以C,M,D,N四點(diǎn)共圓,由相交弦定理得AM?AN=-|AC|×|AD|=-5.

      點(diǎn)撥本題若先設(shè)出直線(xiàn)l的方程,再將直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后再求出N點(diǎn)的坐標(biāo),如這樣處理對(duì)運(yùn)算要求較高。而如果巧妙利用第一問(wèn)的結(jié)論,先探究出AM?AN的值,再利用相交弦定理證出無(wú)論直線(xiàn)l的傾斜角如何變化,AM?AN都為定值,問(wèn)題就變得更為簡(jiǎn)單。解析幾何中的定值問(wèn)題,是近幾年高考對(duì)解析幾何考查的一個(gè)重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容。這類(lèi)問(wèn)題以直線(xiàn)與圓或直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解,對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡(jiǎn)計(jì)算能力有較高的要求。

      三、 切割線(xiàn)定理的妙用

      【命題分析】初中平面幾何中有切割線(xiàn)定理,該定理在高中數(shù)學(xué)中有許多巧妙應(yīng)用、許多高考、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、模擬試題如果能夠使用該定理,可以大大改進(jìn)常規(guī)解法,減小思維量和運(yùn)算量,為考試贏得寶貴的答題時(shí)間。

      【試題設(shè)計(jì)】如圖,過(guò)點(diǎn)P(5,4)作直線(xiàn)l與圓O:x2+y2=25交于A、B兩點(diǎn),若PA=2,則直線(xiàn)l的方程為.

      解析設(shè)圓O:x2+y2=25與x軸的正半軸交于點(diǎn)T,

      由切割線(xiàn)定理可得PT2=PA?PB,

      又因?yàn)镻A=2,PT=4,

      所以PB=8,進(jìn)而求得|AB|=6.

      設(shè)O到AB的距離為d,

      則d=25-AB22=4.

      設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k,則直線(xiàn)l的方程為

      y-4=k(x-5),

      即kx-y+4-5k=0,由|4-5k|1+k2=4,

      解得k=0或k=409,所以直線(xiàn)l的方程為

      y=4或40x-9y-164=0.

      點(diǎn)撥本題傳統(tǒng)解題思路是求出A點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)A、P的坐標(biāo)求l。而如果我們能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為5就很容易求出切線(xiàn)PT的長(zhǎng),再利用切割線(xiàn)定理求出PB的長(zhǎng),進(jìn)而求出弦AB的長(zhǎng),問(wèn)題迎刃而解。

      四、 角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的妙用

      【命題分析】當(dāng)今高考很注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考察,很多數(shù)學(xué)試題注重包裝效果,目的是為了迷惑同學(xué)們的眼球,讓你們分不清楚試題的難易,“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中”這才是出題人真正的目的。在圓錐曲線(xiàn)中涉及到角平分線(xiàn)的問(wèn)題處理時(shí),如果能聯(lián)想到應(yīng)用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理結(jié)合圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)往往會(huì)簡(jiǎn)化某些問(wèn)題的求解,同時(shí)也讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)美的所在。

      【試題設(shè)計(jì)】如圖,橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),△MF1F2的面積為4,△ABF2的周長(zhǎng)為82.

      (1) 求橢圓C的方程;

      (2) 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0),是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓,使得該圓與直線(xiàn)PF1,PF2都相切,如存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程,如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      解析(1) 由題意知12×2c×b=4,bc=4,4a=82,a=22,

      解得b=c=2,

      所以橢圓的方程為x28+y24=1.

      (2) 假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)P(x0,y0),使得直線(xiàn)PF1,PF2與以Q為圓心的圓相切,則Q到直線(xiàn)PF1,PF2的距離相等,即點(diǎn)Q在∠F1PF2的平分線(xiàn)上,

      由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理|PF1||PF2|=|QF1||QF2|,

      F1(-2,0),F2(2,0),Q(1,0),

      得|QF1|=3,|QF2|=1,所以|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=3,

      又|PF1|+|PF2|=42,則|PF2|=2,

      由焦半徑公式|PF2|=22-22x0,可得22-22x0=2,即x0=2,

      所以橢圓上存在點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2),使得直線(xiàn)PF1,PF2與以Q為圓心的圓(x-1)2+y2=1相切.

      點(diǎn)撥本題一般解法是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),由圓與直線(xiàn)PF1,PF2都相切,以及點(diǎn)P在橢圓上聯(lián)立方程組,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。此解法運(yùn)算較為繁瑣,而如果我們利用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理很快就可以求出|PF2|,再利用焦半徑公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)就簡(jiǎn)單多了。

      牛刀小試

      1. 已知點(diǎn)M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn),F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),△MF1F2的內(nèi)心為I,連接MI并延長(zhǎng)交F1F2于點(diǎn)N,則MIIN=.

      2. 直線(xiàn)y=kx與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于P,Q兩點(diǎn),則|OP|?|OQ|=.

      3. 函數(shù)y=x2-2x-8的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),則過(guò)這三點(diǎn)的圓與坐標(biāo)軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

      4. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn).若AF=3FB,則k=.

      【參考答案】

      1. 因?yàn)镮為△MF1F2的內(nèi)心,所以由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理可得MIIN=F1MF1N=F2MF2N,

      再利用合比性質(zhì)可得

      MIIN=F1M+F2MF1N+F2N=2a2c=aa2-b2.

      2. 設(shè)OT為圓C的切線(xiàn),T為切點(diǎn),

      則OT2=OC2-CT2=13-1=12,

      由切割線(xiàn)定理OT2=OP?OQ=12.

      3. 設(shè)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),C(0,-8)分別為圓的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn),D為另一個(gè)交點(diǎn),由相交弦定理,OA?OB=OC?OD,即2×4=8×OD,則OD=1,故D(0,1).

      4. 設(shè)直線(xiàn)l為橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn),e為離心率,過(guò)A、B分別作AA1、BB1垂直于l,

      A1、B1為垂足,過(guò)B作BE垂直于AA1于E,

      由第二定義得,|AA1|=|AF|e,|BB1|=|BF|e,

      由AF=3FB,得|AA1|=3|BF|e,

      cos∠BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33,

      所以sin∠BAE=63,tan∠BAE=2,

      即k=2.

      (作者:周強(qiáng),江蘇海安曲塘中學(xué))

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