規(guī)范解題,勝利在望

高考的號角已經(jīng)吹響了，同學們的弦繃得更緊了。家長的期望，老師的囑咐，如何在這有限的時間內(nèi)化這些鼓勵為分數(shù)呢？這是每一個考生和家長都關(guān)心的問題。其實，這并不困難。我們很多考生在分析自己的試卷時都會發(fā)現(xiàn)，丟分最多的往往并不是那些自己不會的，而是由于“粗心”，說明確了就是解題不規(guī)范和計算失誤所造成的。所以，我們認為無論是哪個層面上的學生在這一段時間內(nèi)都特別要注重解題的規(guī)范性，不要因為“會而不對”而丟分。我在這兒羅列了一些圓錐曲線中同學們經(jīng)常犯錯的地方，希望同學們在第二輪復習中能注意到這些地方。

【例1】已知橢圓過點2,332,－1,3154，求該橢圓的方程.

錯解設(shè)該橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),

由題意過點2,332,－1,3154，代入得

4a2+3322b2=1,

(－1)2a2+31542b2=1,即a=4,

b=3,

所以橢圓的標準方程為x216+y29=1.

錯因分析看答案并沒有發(fā)現(xiàn)什么問題，但這位同學的解題過程完全是錯的。他第一步就發(fā)生了錯誤，并不是每一個橢圓的標準方程都是x2a2+y2b2=1，而且題目中也沒有任何一個信息能反映出該橢圓的焦點在哪里？

正確解法解法一：①若焦點在x軸上，則橢圓的標準方程可設(shè)為x2a2+y2b2=1(a>b>0),

由題意過點2,332,－1,3154，代入得

4a2+3322b2=1,

(－1)2a2+31542b2=1,即a=4,

b=3,

所以橢圓的標準方程為x216+y29=1.

②若焦點在y軸上，則橢圓的標準方程可設(shè)為y2a2+x2b2=1(a>b>0),

由題意過點2,332,－1,3154，代入得

3322a2+4b2=1,

31542a2+1b2=1,即a=3,

b=4,不符舍.

綜上橢圓的標準方程為x216+y29=1.

解法二：設(shè)該橢圓的方程為x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n),

由題意過點2,332,－1,3154，代入得

4m+3322n=1,

(－1)2m+31542n=1,即m=16,

n=9,

所以橢圓的標準方程為x216+y29=1.

防錯機制在求橢圓的標準方程時要注意六個字“定型，定位，定量”，不能盲目的認為橢圓的標準方程就是x2a2+y2b2=1。在沒辦法定位，也是無法確定焦點坐標時，我們可以設(shè)為一般式x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n)。

【例2】設(shè)雙曲線x2a2－y2b2=1(0

錯解由題意設(shè)直線l的方程為xa+yb=1，

即bx+ay－ab=0,

原點到直線l的距離為d=|－ab|a2+b2=34c.

又c2=a2+b2,

所以4ab=3c2,

故e=2或e=233.

錯因分析這位同學看題目很不仔細，條件并沒有完全用上。我們都知道在橢圓中a最大，在雙曲線中c最大。在雙曲線中a與b之間并沒有大小關(guān)系，一旦給出大小關(guān)系，那么必定限制了這個雙曲線，也就是在本道題目中的離心率就會有范圍。

正確解法由題意設(shè)直線l的方程為xa+yb=1，即bx+ay－ab=0,

原點到直線l的距離為d=|－ab|a2+b2=34c.

又c2=a2+b2,

∴4ab=3c2,

∴e2=4或e2=43.

而0

∴a22,

∴e=2.

防錯機制無論什么題目我們都要認真審題再下筆，特別是小括號里面的，千萬不能忽視。但在考試的時候，我們同學往往看似趕時間，匆匆看過題目就答題，其實這是很浪費時間的。因為一旦弄錯發(fā)現(xiàn)了的話還要從頭再來，浪費更多的時間；沒發(fā)現(xiàn)的話就造成了一個遺憾。注意，高考中，審題是關(guān)鍵。

【例3】在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q．設(shè)橢圓與x軸正半軸，y軸正半軸的交點分別是A,B，是否存在常數(shù)k，使向量OP+OQ與AB共線？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

錯解假設(shè)存在，由題意直線l的方程為y=kx+2,

由x22+y2=1,

y=kx+2,得

12+k2x2+22kx+1=0.*

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

∴OP+OQ=(x1+x2,y1+y2).

在*中x1+x2=－42k1+2k2,x1x2=21+2k2,

y1+y2=k(x1+x2)+22=－42k21+2k2+22,

AB=(－2,1).

∵向量OP+OQ與AB共線,

∴x1+x2=－2(y1+y2),

即－42k1+2k2=－2－42k21+2k2+22,

得k=22.

錯因分析這位同學審題不夠嚴謹，從頭到尾即使有時間再檢查一遍也不會找出錯誤。因為他對于直線與圓錐曲線相交并沒有得到深刻的認識，對于函數(shù)中的韋達定理也掌握得不夠踏實。在本道題目中直線與橢圓是相交的，所以對于*式首先要保證有解，即Δ>0。我們不妨把這位同學的答案代入*式，你會發(fā)現(xiàn)Δ=0。所以這位同學就因為這點失誤導致沒能拿滿分，很可惜！

正確解法假設(shè)存在，由題意直線l的方程為y=kx+2,

由x22+y2=1,

y=kx+2,得

12+k2x2+22kx+1=0.*

Δ=(22k)2－412+k2>0,

得k<－22或k>22.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),

∴OP+OQ=(x1+x2,y1+y2).

在*中x1+x2=－42k1+2k2,x1x2=21+2k2,

y1+y2=k(x1+x2)+22=－42k21+2k2+22,

AB=(－2,1).

∵向量OP+OQ與AB共線,

∴x1+x2=－2(y1+y2),

即－42k1+2k2=－2－42k21+2k2+22,

得k=22不符舍.

防錯機制我們在做直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目中要特別注意首先滿足這種位置關(guān)系再使用韋達定理，通過一定的練習相信會養(yǎng)成這個良好的習慣。

牛刀小試

1. 若橢圓x25+y2m=1的離心率e=105，則m的值是.

2. 如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2.

（1） 求橢圓的標準方程;

（2） 設(shè)圓C經(jīng)過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程.

3. 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸的一個端點到右焦點的距離為2．

（1） 求橢圓C的方程;

（2） 若F1,F2分別是橢圓C的左，右焦點，能否在橢圓C上找到一點P，使點P到右準線的距離PQ是PF1和PF2的等比中項？若存在，求點P坐標；若不存在，說明理由．

【參考答案】

1． 3或253

2． （1） 設(shè)該橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1,

由題意知：a2c=4,a2c－c=2,

∴c=2,a2=8.

又a2=b2+c2,∴b2=4,

∴橢圓的標準方程為x28+y24=1.

（2） 由題意設(shè)圓C的方程為

(x－m)2+(y－n)2=r2(r>0),

由圓C經(jīng)過點F(2,0)得(2－m)2+n2=r2.

由圓C被l截得的弦長為4,

∴|4－m|2+22=r2,∴n2=16－4m,

∴OC=m2+n2=m2－4m+16

=(m－2)2+12.

∵n2≥0,∴m≤4,

∴當m=2時，OCmin=23,此時n=±22,r=22.

∴圓C的方程為(x－2)2+(y－22)2=8或(x－2)2+(y+22)2=8.

3. （1） 由題意e=ca=12,a=2,a2=b2+c2,

∴a=2,b=3,

此橢圓的標準方程為x24+y23=1.

（2） 假設(shè)存在，設(shè)P(x0,y0)，

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：

PF2d=e，PF2=de=a2c－x0e=2－12x0.

同理PF1=2+12x0.

又PQ=4－x0,

∵點P(x0,y0)在橢圓上,

∴x204+y203=1.

∵點P到右準線的距離PQ是PF1和PF2的等比中項,

∴2－12x02+12x0=(4－x0)2,

得x0=4或x0=125.

又|x0|≤2,

故不存在.

(作者:吳冬梅,江蘇省西亭高級中學)