林根新

【摘要】數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密性、邏輯性和創(chuàng)造性都很強(qiáng)的學(xué)科，它要求我們在學(xué)習(xí)過程中要密切聯(lián)系實際.實踐證明，最有效的方法就是建立好數(shù)學(xué)模型，而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型則需要我們熟練地駕馭所學(xué)的專業(yè)知識，只有這樣才能開闊思路，真正體會到數(shù)學(xué)模型的魅力所在.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；函數(shù)；問題

數(shù)學(xué)已被稱為模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題已經(jīng)具有超越特殊對象的普遍意義，它就是一種模式，數(shù)學(xué)問題和方法也是一種模式.我們把數(shù)學(xué)理解為是概念、命題、問題和方法等多種成分組成的復(fù)合體，模式就有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在高中數(shù)學(xué)中常被稱為“數(shù)學(xué)模型”.數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語言（包括符號、圖形、公式）模擬現(xiàn)實問題的模型，把問題原型進(jìn)行抽象、概括、假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是完全形式化和符號化的模型.

一、數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系客觀世界與數(shù)學(xué)的橋梁

在學(xué)習(xí)初等代數(shù)的時候，我們就已經(jīng)接觸過數(shù)學(xué)模型了.當(dāng)然，那些問題是老師為了教會學(xué)生，而人為特意設(shè)置的.如我們以前解過這樣的所謂“航行問題”.

例如：甲乙兩地相距750 km，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0 h，從乙到甲逆水航行需50 h，求船速、水速分別是多少？

設(shè)：用x，y分別表示船速和水速，可以列出方程：

（x+y）·30=750，（x-y）·50=750.

這組方程就是上述航行問題的數(shù)學(xué)模型，列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題，方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，最終給出了航行問題的答案.

所以，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)內(nèi)在規(guī)律作出一些必要的假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言來模擬空間形式和數(shù)量關(guān)系的模型.廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)都可稱為數(shù)學(xué)模型，如：算術(shù)是計算盈虧的模型，幾何是物體外形的模型等.狹義地說，只有反映特定問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才稱為數(shù)學(xué)模型，如一次函數(shù)是勻速直線運動的模型，不定方程是雞兔同籠問題的模型等.

二、在探究問題的過程中運用數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)的思維方式和方法包括對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識和解決問題的過程，并在知識的增長過程中發(fā)展了思維.在對數(shù)學(xué)問題的探究中，我們要注重領(lǐng)會用數(shù)學(xué)模型來優(yōu)化數(shù)學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題和創(chuàng)新思維的能力.

例如：要把數(shù)量不限的小球放在同一型號的箱內(nèi)，每個箱內(nèi)有10個格子，每一格放一個小球，這些箱子有的格子放有小球，而有的卻空著.如果有兩個箱子，它們至少一個對應(yīng)的兩個格子，一個有，另一個沒有，那么，我們就認(rèn)為這兩個箱子不同.每個箱子最多放10個，最少放0個，問可能有多少個這樣的箱子？

模型1 某建筑物裝有10盞燈，在同一時刻的每盞燈都可以開或關(guān).現(xiàn)在用各種方法開燈，兩種開關(guān)方法只要有一盞燈的狀態(tài)不同（開或關(guān)）就認(rèn)為是不同的開法，所有的燈都關(guān)著也是一種開法.問有多少種開法？

模型2 現(xiàn)有一個十列格子組成的長方形表格，在每一行格子中都記有“+”號或“-”號，而行中只要有一個對應(yīng)格的符號不同，就認(rèn)為它們不同，問計有不同符號的行有多少種？

模型3 數(shù)字0和數(shù)字1能組成多少不同的“十位數(shù)”（包括數(shù)字左邊出現(xiàn)的0的數(shù)也作為“十位數(shù)”）？

模型4 這個問題解決已顯而易見，“十位數(shù)”的每一個位置只能是0或1兩種可能，共有210=1024種不同的可能.模型2中的表格最多有1024行.模型1中的電燈的開法共有1024種.例子中箱子共有1024個.例1可以用三個模型來轉(zhuǎn)換方式，使問題由難變易，是一種行之有效的解題方法.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練，有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和實踐能力，并為下一步利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題打下堅實的基礎(chǔ).

三、函數(shù)f（x）=ax+b（a，b>0）模型

對于這類模型應(yīng)用問題，首先根據(jù)題意得出目標(biāo)函數(shù)，再把目標(biāo)函數(shù)變形為f（x）=ax+b（a，b>0）的形式，最后根據(jù)ax+b≥2ab（a，b>0）求出最優(yōu)值.

例如：假設(shè)森林發(fā)生火災(zāi)，火勢以每分鐘100 m2速度順風(fēng)蔓延，消防人員接到警報立即派消防隊員前往撲救，在火災(zāi)發(fā)生后五分鐘到達(dá)現(xiàn)場，現(xiàn)已知消防隊員在現(xiàn)場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費用為每人每分鐘100元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀1 m2森林損失費為60元，問應(yīng)該派多少消防隊員前去救火，才能使總損失最少？

這樣的模型應(yīng)用題出現(xiàn)頻率較高，常常通過均值定理或函數(shù)的單調(diào)性求最值，此時要注意等號能否取到，必要時要討論求之.

高中數(shù)學(xué)模型思維方法包括了高中數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)和解決問題過程，并隨著知識的不斷增長逐步培養(yǎng)創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)模型化思維來探索知識的過程，通過對知識原型的分析、提煉、加深，不斷對原型的理解和概括，歸納原型的內(nèi)在特質(zhì)，再通過進(jìn)一步演繹推理來求解，深化了對原型的本質(zhì)特征和數(shù)量關(guān)系的理解.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須領(lǐng)會和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的方法來優(yōu)化教學(xué)過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力.

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