程勇

問題表征是認(rèn)知活動(dòng)中的中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的.問題表征能力即指個(gè)體將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成問題空間的能力.即指同學(xué)們明確問題給定條件，讀懂題意、理解題意的能力.因此，數(shù)學(xué)問題表征能力成為影響數(shù)學(xué)問題解決的重要因素.

1.研究方法

采用“出聲思維”對(duì)所執(zhí)教的班級(jí)的兩類同學(xué)進(jìn)行對(duì)比分析.這兩類同學(xué)隨機(jī)抽取，甲類同學(xué)平時(shí)成績比較優(yōu)秀，思維較敏捷；乙類同學(xué)成績中等偏下，思維比較遲鈍.本次個(gè)案分析的目的是想了解優(yōu)生與差生在表征數(shù)學(xué)問題時(shí)存在的主要差異及成因.

2.研究材料

材料1 設(shè)y=x2-10x+26+x2-2x+5，x∈R，求y的最小值.

材料2 有個(gè)和尚第一天日出從山底沿著山路時(shí)快時(shí)慢朝山頂走去，日落時(shí)剛好到達(dá)山頂.過了幾天，他又在日出時(shí)沿著同樣的路線下山，行走也是時(shí)行時(shí)歇的.雖然他行走的平均速度較上山快一些，不過也在近日落時(shí)到達(dá)山腳的.問：和尚在往返的路上是否會(huì)有一天中的同一時(shí)刻通過同一點(diǎn)？

3.解題實(shí)錄

材料1解題實(shí)錄：

甲類同學(xué)：這是一個(gè)求兩個(gè)根式和的最小值的問題.剛拿到題目，感覺無處下手，但是嘗試將兩個(gè)根號(hào)下進(jìn)行配方，得到：

y=x-52+0-12+x-12+0-22.

這樣我突然想到兩點(diǎn)間的距離公式，因此此題可以轉(zhuǎn)換成在x軸上求一點(diǎn)，使它到（5，1）和（1，2）點(diǎn)的距離之和最小.而這類題目只需作出其中一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另外一點(diǎn)與x軸相交的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.

同學(xué)乙：兩個(gè)根式的和求最小值的問題，從來沒有見這類題.以我已有知識(shí)，只能這樣做：將每個(gè)根式里面進(jìn)行配方，但是配方后不能繼續(xù)下去！當(dāng)?shù)谝粋€(gè)取最小值時(shí)，第二不取最小值；當(dāng)?shù)诙€(gè)取最小值時(shí)，第一個(gè)不取最小值，這樣不知道如何繼續(xù)下去！

材料2解題實(shí)錄：

甲類同學(xué)：絕對(duì)有可能在同一時(shí)刻經(jīng)過同一個(gè)地點(diǎn).我可以把這個(gè)問題視作兩個(gè)和尚同時(shí)上山和下山，他們?cè)谛羞M(jìn)的過程中肯定會(huì)在某個(gè)時(shí)刻在某個(gè)地點(diǎn)相遇.

乙類同學(xué)：我覺得不可能在同一時(shí)刻經(jīng)過同一個(gè)地點(diǎn).因?yàn)轭}中說過了幾天，他又沿著同樣路線下山，行走的平均速度較上山快一些，他上山與下山時(shí)，日出到日落的時(shí)差不相同，因此不可能在同一時(shí)刻經(jīng)過同一個(gè)地點(diǎn).

4.差異分析

（1）表征所用的知識(shí)圖式上存在著顯著差異

優(yōu)等生頭腦中擁有大量的可利用的知識(shí)圖式，這些圖式可以促進(jìn)問題的表征.優(yōu)生在表征第1題時(shí)，配方以后馬上就會(huì)想到兩點(diǎn)間的距離公式，這種轉(zhuǎn)換能力是建立在非常靈活掌握此部分知識(shí)的基礎(chǔ)上，而差生不知道這種聯(lián)系，運(yùn)用了錯(cuò)誤的表征，從而導(dǎo)致解題失敗.

（2）表征問題的深度上存在著較大差異

差生不能抓住問題的本質(zhì)，易被無關(guān)信息干擾，往往跳過關(guān)鍵信息，使用無關(guān)信息.如差生在表征第2題時(shí)，把關(guān)注點(diǎn)集中在“下山行走的平均速度較上山快”，而沒有注意到“也是近日落時(shí)到達(dá)山腳的”.而優(yōu)生能夠迅速抓住問題的本質(zhì)，將問題表征為兩個(gè)人同時(shí)上下山，一定會(huì)在途中某個(gè)位置相遇.

（3）表征問題時(shí)的心理因素存在較大差異

研究表明，學(xué)生心理的焦慮水平和問題的解決呈負(fù)相關(guān).優(yōu)生表征問題時(shí)沉著冷靜，能夠做到有條不紊；而差生在表征難以解決的問題時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生急躁心理，還沒等弄明白問題就急著要得出一個(gè)答案，甚至不管已知條件是否充足、所選擇的策略是否有效，他們就開始胡亂地把已知條件拼湊在一起進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，結(jié)果思維越來越混亂，使問題得不到有效解決.

5.提出對(duì)策

（1）突出問題的基本特征

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題來說，我們要善于抓住并突出其基本特征，這是有效表征問題的一個(gè)重要途徑.只有突出問題的基本特征，同學(xué)們的大腦中才會(huì)對(duì)這個(gè)問題的有用信息進(jìn)行分析，而摒棄掉一些無關(guān)緊要的信息，這樣才可以為很好地進(jìn)行表征做好鋪墊.

（2）注意表征方法的多樣化

我們可以嘗試讓學(xué)生用多種表征方法來思考問題，通過表征多樣化練習(xí)，從不同的表征方法中尋找最優(yōu)方法.教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，即注重一題多解、題題多變、多題一解的思維訓(xùn)練，設(shè)計(jì)一些具有不確定性，非唯一結(jié)論的問題，讓學(xué)生在開放題的探索中，創(chuàng)造性思維得到發(fā)展.

（3）幫助學(xué)生使用適當(dāng)?shù)谋碚鞣椒?/p>

同學(xué)們對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題都有自己的表征方法和內(nèi)容，但是這些內(nèi)容和方法是參差不齊的，存在一定的差異性，這種差異性因同學(xué)們的個(gè)性品質(zhì)、知識(shí)結(jié)構(gòu)不同而不同.因此我們應(yīng)該幫助學(xué)生使用適合自己的表征.

（4）示范性表征方法的運(yùn)用

由于多數(shù)教師重視解題過程而忽略表征過程，再加之教師很少向?qū)W生講解常用的表征的方法，致使學(xué)生無“法”可依.因此，教師應(yīng)該在教學(xué)中加強(qiáng)示范性表征方法的應(yīng)用，使同學(xué)們做到“有法可依”.通過示范性表征方法的運(yùn)用，幫助學(xué)生建立相應(yīng)的策略運(yùn)用模型，從而順利地解決問題.