曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】本文主要是分析國小學童四邊形學習的迷思概念，作者針對國小學童在學習四邊形概念發(fā)展過程中易產生迷思概念加以討論.

【關鍵詞】四邊形；Van Hiele幾何思考理論

美國數(shù)學教師協(xié)會（NCTM，1991）提出，幾何乃研究空間中的形狀和空間關系，幾何可幫助人們用有條理的方式表現(xiàn)和描述生活的世界.幾何是一門探討空間關系與邏輯推理的數(shù)學，幾何概念與表征是數(shù)學與真實世界溝通的重要方式，且與數(shù)學其他領域緊密連接.幾何是提供我們如何去闡釋與反映外在物理環(huán)境的一種方法，并且可作為學習其他數(shù)學和科學題材的工具，加強幾何的空間思考，有助于高層次的數(shù)學創(chuàng)造思考.美國數(shù)學教師協(xié)會（NCTM， 2000）指出數(shù)學教育的主要目標是要發(fā)展兒童的數(shù)學推理及思考能力，使其能夠應用所學的數(shù)學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問題情境.而其中幾何教學的目的是要協(xié)助學生學習了解以及運用幾何的性質和關系.我國國小學童在學習的過程中，可透過荷蘭數(shù)學教育家Van Hiele （1957）夫婦幾何思考的模式發(fā)展的五個層次來了解兒童的幾何概念發(fā)展階段.每一個層次都有其發(fā)展的特征，分別為：視覺期（Visualization）、分析期（Analysis）、關系期（Relation）或非形式演繹期（Informal Deduction）、形式演繹期（Formal Deduction）、嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）.Van Hiele （1986）也積極主張學習者思考層次的提升是經由教導，而非經由個體年齡的成長而發(fā)展，因此幾何概念的教學活動扮演著相當重要的角色.

國小階段學童的幾何思考層次僅發(fā)展到Van Hiele夫婦所提出的前二或前三層次.從Van Hiele幾何思考理論觀點，層次一的重點在于以視覺認識圖形，層次二重點在分析圖形的構成要素與其間關系，層次三的重點在于圖形的定義及其間關系的推理，前三層次是屬國小、國中的學習內容.層次四則是幾何概念的演繹推理，層次五的重點在了解抽象推理幾何，此兩個層次應屬于高中、大學以上或專家的學習內容.

根據(jù)臺灣九年一貫綱要數(shù)學領域“圖形與空間”的主題能力指針，其第一階段所要達成的能力大致與Van Hiele的層次一相符合，教材的設計以觀察、操作具體物來認識形狀；第二階段所要達成的能力與Van Hiele的層次二也大致相符合，強調透過實測和制作的活動探討各種幾何圖形的構成要素及其關系；第三和第四階段所要達成的能力與Van Hiele的層次三亦極相近，教材強調透過操作與觀察，進一步探討圖形間的包含關系，而且能做應用.四、五年級學童所學之四邊形概念與Van Hiele幾何概念發(fā)展層次相互對照，如表1表示.

本文主要是討論國小學童四邊形學習的迷思概念，作者歸納出學童對四邊形概念學習是先經由視覺來辨認圖形，慢慢才了解圖形的組成要素及性質，基于此理由作者將本文分為圖形辨認、形體組成要素、圖形分類及基本性質四部分分別探討如下：

圖形辨認

在圖形辨認方面，幾何能力較低的學童大部分是以圖形整體輪廓的觀察為主，偏向視覺的觀點來判別圖形；幾何能力較高之學童則是偏向型體組成要素的觀點來判別圖形.圖形辨認中學童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻中匯整如表2.

作者發(fā)現(xiàn)許多學者的研究中顯示，在形體組成要素方面，邊和角的性質上發(fā)現(xiàn)：四年級至六年級對于四邊形的基本性質“四個邊都一樣長”“兩組對邊互相平行”“兩組對邊相等”的性質仍不太清楚，顯示對于菱形的性質不太了解.此外四年級至六年級對于“兩組對邊互相平行的四邊形”之通過率大部分都優(yōu)于“兩組對邊相等的四邊形”之通過率，學童可能對于“兩組對邊相等”之意義不了解.形體組成要素中學童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻中匯整如表3.

圖形分類

許多學者的研究中顯示，在圖形分類方面，低年級的學童會因為視覺的影響，而較能注意到圖形部分的特征.如張英杰（2001）兒童幾何形體概念之初步探究中發(fā)現(xiàn)，兒童在做基本圖形分類時，由于只是受到兩個圖形部分特征是否相同之影響而錯誤分類；或是單憑兩個圖形的大小在感覺上之異同而分類.沈佩芳（2002）國小高年級學童平面幾何圖形概念之探究中發(fā)現(xiàn)，學童在做圖形卡分類時，會優(yōu)先以“有無直角”為分類的準則.

基本性質

許多學者的研究中顯示，在基本性質方面，國小高年級學童平面幾何圖形概念之探究中發(fā)現(xiàn)，有接近四分之一的學童不認為“兩雙相對的邊互相平行”是正方形、長方形、菱形、平行四邊形的基本性質，也有學童誤認“兩雙相對的邊互相平行”是箏形、梯形的基本性質.在箏形上面，會認為箏形就是菱形，所以四個邊一樣長，且兩組對邊等長互相平行，對于箏形“有一條對角線對折后能使兩邊迭合，而另一條對角線對折后不能使兩邊迭合”的基本性質并不清楚.四邊形基本性質中學童較常出現(xiàn)的迷思概念，從文獻中匯整如表4.

教師在四邊形教學時應該呈現(xiàn)多元的圖例，如特例、非例，都應該在教學中呈現(xiàn)，如此學生才不會受直觀的影響.有些老師在教學時可能只舉一些圖例來教學生辨認圖形，例如：正方形都是正正的，平行四邊形都是水平擺設的，都是有水平垂直的邊等，而未舉出不同方位或不同邊長、角度的圖，日后學生心中可能只有一些特定圖形的心像，而容易受限制于某個圖形一定是什么形狀，這些圖例可能就會變成一種“原型”（prototype），所以當圖形大小、方位或邊長比例改變時，就無法辨識圖形.

所以教師在教學時應包含各種圖例，多提供一些不同方位、邊長或大小等的例子，不要局限于狹隘的圖例，使得兒童只會辨識典型的范例.建議老師在四邊形教學時，應多讓學童透過具體的操作活動去學習，如折紙、在釘狀方格紙造圖等，去驗證各種圖形基本性質.

教師在教學時，應多聆聽學生對圖形的想法和所提出的例子，從學生的回答中可知道學生對于哪些圖形感到困惑，或是已有哪些圖形概念，是否有迷思的概念等.教師對 學生的學習情況若有進一步深層的了解，可助于擬定合宜的教學步驟及策略，幫助修正學生的錯誤概念，因此學生和教師之間的互動是很重要的.另外， 充分發(fā)揮現(xiàn)代教學多媒體組合的優(yōu)勢，通過形象生動的教學吸引學生的注意力，把靜態(tài)的課本材料變成動態(tài)的教學內容.例如： GSP（The geometer餾 sketchpad）動態(tài)幾何系統(tǒng)是近年來幾何教學常使用的教學軟件，它擁有在圖形變換及圖形改換時，顯示長度、角度、比例、面積等度量的功能.GSP非常適合在四邊形教學或其他幾何教學上使用，并且可對結構性作圖做宏建構、文字說明，形成簡易操作鈕，提供使用者幾何學習的良好環(huán)境.除了學童認為GSP的動態(tài)仿真很新奇、很有興趣學習外，學童在操作過程中會發(fā)現(xiàn)一種圖形會有大小、方位不同等多元的方式出現(xiàn)， 從而進一步調動他們的學習興趣，努力做到教法、學法的最優(yōu)結合，使全體學生都能參與探索新知的過程.

【參考文獻】

[1]張英杰（2001）.兒童幾何形體概念之初步探究.國立臺北師范學院學報，14，491-528.

[2]沈佩芳（2002）.國小高年級學童的平面幾何形的概念之探討.國立臺北師范學院數(shù)理教育研究所碩士論文.

[3]National Council of Teachers of Mathematics （1991）.Professional standards for teaching mathematics. Reston， VA： Author.

[4]National Council of Teachers of Mathematics （2000）. Principles and standards for school mathematics.Reston. VA： National Council of Teachers of Mathematics， Inc.

[5]Van Hiele-Geldof， D. （1957）. De didaktick van de Meetkunde in deerste klass van het V.H.M.O. Summary of unpublished doctoral dissertation with English summary，University of Utrecht， Netherlands.

[6]Van Hiele， P. M. （1986）. Structure and Insight： A theory of Mathematics Education.Orlando： Academic Press.