李淑龍， 劉學(xué)文

(1.南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣東 廣州 510515；2.深圳西鄉(xiāng)中學(xué)新高中部，廣東 深圳 518102)

S1上映射的擴(kuò)張問題已經(jīng)得到廣泛的研究[1-9]，其在Teichmuller空間的研究中具有重要的作用。我們知道：Beurling-Ahlfors擴(kuò)張不是共形自然的，而Douady-Earle擴(kuò)張是共形自然的。 由于Beurling-Ahlfors擴(kuò)張不是共形自然的，它只能直接用于萬有Teichmuller空間的研究，而不能直接用于一般的Teichmuller空間的研究。而Douady-Earle擴(kuò)張是共形自然的，可以直接用于一般的Teichmuller空間的研究。

尋找單位圓周上映射的共形自然擴(kuò)張是一個很有趣的問題。在本文中我們將定義單位圓周上同胚映射的共形自然擴(kuò)張——逆擴(kuò)張,并且我們將通過一個例子證明逆擴(kuò)張不同于Douady-Earle擴(kuò)張。

1 主要定義

對于每個a，映射

∈G+

滿足ga:a→0且0→-a。

(1)

的唯一解，我們稱之為Douady-Earle擴(kuò)張。 顯然F1是定義在D×D上的實(shí)解析函數(shù)。

引理2[2]Douady-Earle擴(kuò)張是共形自然的，即滿足

E(gB°φ°h)=g°E(φ)°h， ?g,h∈G

易知(1)等價于方程

(2)

既然Douady-Earle擴(kuò)張是共形自然的，不失一般性，我們可以假設(shè)E(φ)(0)=0，即

φ(ξ)|dξ|=0或φ(eiθ)dθ=0

(3)

若z∈S1,令z=eiθ,ζ=eit，且ζ=φ(eiθ)=eiψ(θ),則ψ:R→R是同胚映射，且滿足ψ(θ+2π)=ψ(θ)+2π。記φ的逆映射為φ-1，則

φ-1(ζ) = eiψ-1(t)

這里ψ-1是ψ:R→R的逆映射，滿足ψ-1(t+2π)=ψ-1(t)+2π。

由引理1，我們能夠如下定義φ:S1→S1的另一擴(kuò)張N：

即它是同胚映射φ:S1→S1逆映射φ-1:S1→S1的Douady-Earle擴(kuò)張映射的逆映射，我們稱之為逆擴(kuò)張。

(4)

其等價于

(5)

2 主要定理

假設(shè)aj,j=1,2,3是正整數(shù)并且滿足

(6)

記

我們考慮同胚映射ft:S1→S1如下：對于z=eiθ，

ft(eiθ)=

容易計算

由(3)知上式意味著ωt|z=0=E(ft)(0)=0。 但下面我們將證明

θ≠0，

事實(shí)上，記ft(eiθ)=eiψt(θ)，那么

ψt(θ)=

(θ)=

ζθ=

A+B+C-2i

其中

所以

(ζ)|dζ| =A+B+C-2i =

(ζ)|dζ| =A+B+C-2i=

從上面這個例子我們馬上有如下定理：

定理1 逆擴(kuò)張不同于Douady-Earle擴(kuò)張。

由引理2，即Douady-Earle擴(kuò)張是共形自然的，同樣地逆擴(kuò)張也是共形自然的。

定理2 逆擴(kuò)張映射是共形自然的，即滿足

G(g°φ°h)=g°G(φ)°h， ?g,h∈G

證明?g,h∈G，

G(g°φ°h)=[E((g°φ°h)-1)]-1=

[E(h-1°φ-1°g-1)]-1=[h-1°E(φ-1)°g-1]-1=

g°E-1(φ-1)°h

證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1]李忠.擬共形映射及其在黎曼曲面論中的應(yīng)用 [M].北京：科學(xué)出版社，1988.

[2]DOUADY A,EARLE C J.Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle [J].Acta Mathematica,1986,157(1): 23-48.

[3]EARLE C,MARKOVIC V,SARIC D.Barycentric extension and the Bers embedding for asymptotic Teichmüller space [J].Contemporary Math,2002,311: 87-105.

[4]LI S L,LIU L X,SU W X.A family of conformally natural extensions of homeomorphisms of the circle [J].Complex Variables and Elliptic Equations,2008,53(5): 435-443.

[5]FOTIADIS A.Harmonic extensions of symmetric maps [J].Calc Var,2009,35:271-278.

[6]ABIKOFF W,EARLE C,MITRA S.Barycentric extensions of monotone maps of the circle [J].In the tradition of Ahlfors and Bers,III,Contemporary Math,2004,355:1-20.

[7]ABIKOFF W.Conformal barycenters and the Douady-Earle extension|a discrete dynamical approach [J].Anal Math,2002,86: 221-234.

[8]YAO G W.Harmonic maps and asymptotic Teichmuller space [J].Manuscripta Math,2007,122: 375-389.