空間形式中平均曲率與純量曲率成線性關(guān)系的緊致閉子流形*

王 琪

(貴陽學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州 貴陽 550005 )

文[1]首先研究了正曲率空間形式中緊致閉子流形為全臍或有全臍乘積分解的一種充分條件。隨后，文[2-3]也對此作了研究。近來，文[4]給出的下列定理1，改進了文[1-2]的結(jié)論。

本文進一步得到如下定理A 。定理A推廣并改進了定理1。

定理1[4]設(shè)Mn是空間形式Sn+p(1)中緊致的閉子流形且單位平均曲率向量在法叢中平行。若Mn有常數(shù)純量曲率R而且

R>n(n-1)

則有如下結(jié)論：

(i)n≥8,p≥1時，或者n≥3,p≤2時，如果Mn的第二基本型模長平方S滿足

那么或者Mn=Sn?Sn+p(1)，或者Mn=Sn-1×S1?Sn+1(1)?Sn+p(1)。

定理A 設(shè)Mn是空間形式Sn+p(1)中緊致的閉子流形且單位平均曲率向量在法叢中平行。設(shè)Mn的純量曲率R與平均曲率H在Mn上成一般線性關(guān)系aR+bH=c，其中a,b,c為常數(shù)且a,b不同時為零，又當(dāng)a≠0時要求

≥n(n-1)

則也有定理1中的結(jié)論(i)、(ii)和(iii)。

1 準備知識和若干引理

1≤i,j,k,l,m≤n,n+1≤α,β,γ≤n+p

Mn的黎曼曲率張量Rijkl，法曲率張量Rαβij及純量曲率R有如下關(guān)系(文[1-2])

,

(1)

(2)

(3)

且有下列關(guān)系

,

(4)

而且有

Δα,

(5)

我們需要考慮Mn上二階微分算子◇如下(文[1-3，5])

(6)

其中fij是f在Mn上的二階協(xié)變微分。

,

本文需要用如下幾個基本引理。

≤,

引理2[6,8]設(shè)An+1,…,An+p是p個n×n矩陣。寫

則有

引理4 當(dāng)n≥3時，有

證明首先由Schwartz不等式有

再由公式(5)和引理3即得。

引理5 當(dāng)n≥2且p≥1時，有

將引理2和引理3用于上式即得。

引理6 當(dāng)n≥8時，或當(dāng)n≥3且p≤2時，有

證明p≤2意味著諸Lα可以同時對角化，由此易得。

引理7 當(dāng)您n=2,p≥1時，有

證明 當(dāng)n=2時，引理5的不等式右邊第4 項小括號中可以算出，即得。

(7)

并且有如下結(jié)論：

aR+bH=c

(8)

現(xiàn)在，(8)式兩邊取摸長平方并用Schwartz不等式，可得

(9)

從(9)式并注意aR+bH=c，就得

≥

(10)

2 定理A的證明

首先，(7)式兩邊取模長平方再用Schwartz不定式，得

(11)

由(10)式并注意aR+bH=c，得

(12)

(13)

以下分幾種情況討論：

① 當(dāng)n≥8,p≥1時，或當(dāng)n≥3,p≤2時，由引理4和引理5得

ΔΔ

(14)

(15)

再由引理8知H>0在Mn上為常數(shù)，從而又由式(14)知只有兩種可能，即

≡0或S≡

第一種情況說明SI≡0,Sn+1≡nH2并且有

Mn=Sn?Sn+1(1)?Sn+p(1)

② 當(dāng)3≤n≤7時，由引理3和引理4得

(16)

M2=S2?S3(1)?S2+p(1)

③ 當(dāng)n=2,p=2時，由引理9得

(17)

④ 當(dāng)n=2,p≥3時，由引理6和引理7得

(18)

致謝作者衷心感謝編輯和審稿專家提出的極有價值的意見！

參考文獻：

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