李寶麟， 王倩倩

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

考慮一類線性脈沖微分系統(tǒng)：

(1)

3)Bi∈L(Rn)，ai∈Rn，i=1,2,…,k且I+Bi可逆，I為n階單位矩陣.

作者在文獻(xiàn)[1]工作的基礎(chǔ)上討論了線性脈沖微分系統(tǒng)有界變差解的穩(wěn)定性，建立了變差穩(wěn)定性和漸近變差穩(wěn)定性的Lyapunov型定理.這是對文獻(xiàn)[2]中一類不連續(xù)系統(tǒng)有界變差解的變差穩(wěn)定性結(jié)果的本質(zhì)推廣.

由于穩(wěn)定性不是系統(tǒng)單個(gè)解的性質(zhì)，而是其所有解的共同性質(zhì)，向量值函數(shù)P(t)并不影響這個(gè)性質(zhì)[3]，因此系統(tǒng)(1)的變差穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)

(2)

的變差穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識

設(shè)[a,b]為實(shí)有限區(qū)間，Rn為實(shí)n維歐式空間.x:[a,b]→Rn為[a,b]上的向量值函數(shù).對x∈Rn，‖x‖為Rn上的歐式范數(shù).

定義1[1-2,4]函數(shù)x(t)在[a,b]上是Henstock可積的，如果存在A∈Rn，對任意的ε>0，存在正值函數(shù)δ(t):[a,b]→(0,+)，使得對[a,b]的任何δ-精細(xì)分劃D:a=τ0<τ1<…<τk=b及{ξ1,ξ2,…,ξk}滿足ξi-δ(ξi)<τi-1≤ξi≤τi<ξi+δ(ξi)，i=1,2,…,k，有記x(t)在[a,b]上的Henstock積分為x(t)dt=A.

設(shè)c>0，令Bc={x∈Rn,‖x‖

定義2[1]設(shè)函數(shù)f:G→Rn為 Caratheodory函數(shù)，f∈V(G,h,ω)，如果f(t,x)滿足下列條件：

1)存在正值函數(shù)δ:(ti,ti+1]→R+，(ti,ti+1]?[t0,T]?(a,b)，i=0,1,…,k-1，對每個(gè)區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?(ti,ti+1]及x∈Bc有‖f(τ,x)(v-u)‖≤h(v)-h(u)；

2)對每個(gè)區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?(ti,ti+1]，以及所有的x,y∈Bc有‖f(τ,x)-f(τ,y)‖(v-u)≤ω(‖x-y‖)(h(v)-h(u))；

3)對每個(gè)定義在(ti,ti+1]?[t0,T]?(a,b)上的階梯函數(shù)ψ(t)，f(t,ψ(t))在(ti,ti+1]，i=0,1,…,k-1上是Henstock可積的.

其中,h:[t0,T]→R是定義在[t0,T]上的單調(diào)增加左連續(xù)函數(shù)，而ω:[0,+)→R是連續(xù)增函數(shù)，且ω(r)>0(r>0)，ω(0)=0.

對x∈Rn，t∈R+，令f(t,x)=Q(t)x，若(t0,x0)∈(a,b)×Bc給定，對任意的[u,v]?[t0,T]?(a,b)，x∈Bc，t∈[u,v]，t≠ti,i=1,2,…,k，有

‖f(t,x)(v-u)‖ =‖Q(t)x(v-u)‖

=h(v)-h(u),

對任意的[u,v]?[t0,T]，x,y∈Bc，t∈[u,v]，t≠ti,i=1,2,…,k，有

‖f(t,x)-f(t,y)‖(v-u) =‖Q(t)x-Q(t)y‖(v-u)

=ω(‖x-y‖)(h(v)-h(u)),

這里ω:[0,+)→R，ω(r)=r,r>0.

對定義在(ti,ti+1]上的階梯函數(shù)ψ(t)，則ψ(t)必為有界變差函數(shù)，因此f(t,ψ(t))=Q(t)ψ(t)在(ti,ti+1]，i=0,1,…,k-1上是Henstock可積的，則可知f(t,x)∈V(G,h,ω).

對任意的t∈[t0,T]，t≠ti,i=1,2,…,k，有f(t,0)=0，稱函數(shù)x(t)=0是系統(tǒng)(2)在[t0,T]上的零解.

引理3[1]設(shè)f(t,x)∈V(G,h,ω)，且(t0,x0)∈G，則一定存在δ>0使得系統(tǒng)(2)在區(qū)間[t0,t0+δ]上存在滿足x(t0)=x0的有界變差解x(t).

定義5若系統(tǒng)(2)的零解既是變差穩(wěn)定的，又是變差吸引的，則稱系統(tǒng)(2)的零解是漸近變差穩(wěn)定的.

引理5[2,5]設(shè)[a,b]?R+，f,g:[a,b]→R是在(a,b]上的左連續(xù)函數(shù)，如果對任意的σ∈[a,b]，存在δ(σ)，使得對任意η∈(0,δ(σ))，有不等式f(σ+η)-f(σ)≤g(σ+η)-g(σ)成立，則對任意s∈[a,b]有f(s)-f(a)≤g(s)-g(a).

引理6設(shè)有函數(shù)V:R+×Rn→R，對任意x∈Rn，V(·,x):R+→R在(0,+)左連續(xù).進(jìn)一步，設(shè)以下條件成立：

1)對任意x,y∈Rn，常數(shù)L>0，有

|V(t,x)-V(t,y)|≤L‖x-y‖；

2)對系統(tǒng)(2)在[t0,T]?[a,b]上的每個(gè)解x(t)，當(dāng)(t,x)∈R+×Rn，t=ti，i=1,2,…,k時(shí),有

3)存在實(shí)函數(shù)Φ:Rn→R，使得對系統(tǒng)(2)在[t0,T]上的每個(gè)解x(t)，(t,x)∈R+×Rn，t≠ti，i=1,2,…,k，有

當(dāng)(t,x)∈R+×Rn，t≠ti時(shí)，有

(3)

當(dāng)(t,x)∈R+×Rn，t=ti時(shí)，有

(4)

2 主要結(jié)果

V(t,x)≥b(‖x‖)，

(5)

V(t,0)=0；

(6)

‖V(t,x)-V(t,y)‖≤L‖x-y‖；

(7)

證明由于對系統(tǒng) (2)的每個(gè)解x(t)，t∈[t0,T]，t≠ti，i=1,2,…,k，函數(shù)V(t,x)是不增函數(shù)，所以有

(8)

又由(4)、(6)、(7)式，對任意的t∈[t0,T]，t=ti，有

(9)

V(t,y(t))<2Lδ(ε)<3Lδ(ε)<α(ε)，t∈[t0,T]，t≠ti；

(10)

由(9)式，有

(11)

與(10)、(11)式矛盾.因此對所有的t∈[t0,T]，有‖y(t)‖<ε，由定義 3 可知系統(tǒng)(2)的零解是變差穩(wěn)定的.

證明由已知條件可得，函數(shù)V(t,x(t))對系統(tǒng)(2)的每個(gè)解x(t)是不增的，又由定理 1可知，系統(tǒng)(2)的零解是變差穩(wěn)定的.因此根據(jù)定義5，只需證明系統(tǒng)(2)的零解是變差吸引的.

(12)

≤L‖y(t0)‖-Lδ0

<3Lδ0+W(s′-t0)

<3Lδ0.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李寶麟，吳衛(wèi)紅.一類固定時(shí)刻脈沖微分系統(tǒng)的有界變差解[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，45(4)：1-5.

[2] 李寶麟，尚德泉. 一類不連續(xù)系統(tǒng)的變差穩(wěn)定性[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，42(2)：15-18.

[3] Ashordia M, Kekelia N. On effective sufficient conditions for stability of linear systems of impulsive equations[J]. Mem Differential Equations Math Phys,2003,28：147-151.

[4] 吳從析，李寶麟. 不連續(xù)系統(tǒng)的有界變差解[J]. 數(shù)學(xué)研究，1998，31(4)：417-427.

[5] Schwabik S. Generalized Ordinary Differential Equations[M]. Singapore：World Scientific，1992:329-348.