馬云苓， 曾 昕， 耿獻(xiàn)國

(1.商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 河南 商丘 476000； 2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450001)

0 引言

非線性演化方程在很多領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用，例如非線性光學(xué)、深水波理論和等離子物理中的許多問題都可以歸結(jié)為非線性演化方程.因此，非線性演化方程的求解具有重要意義.在求解非線性演化方程的諸多方法中，達(dá)布變換[1-4]是一種非常有效的方法，它從非線性演化方程的一個平凡解出發(fā)能夠求出一系列精確解[5-6].作者研究一個新的非線性演化方程

(1)

基于其Lax對和譜問題的規(guī)范變換，構(gòu)造出該方程的一個達(dá)布變換，進(jìn)而利用此達(dá)布變換，得到該方程的精確解，包括有理解、孤子解與周期解.

1 達(dá)布變換

構(gòu)造出方程(1)的一個達(dá)布變換，考慮(1)的Lax對，即譜問題以及輔助問題

Lψ=λψ,ψt=Bψ,

(2)

式中，

L=?4+4q?2+(4qx+2r)?+2qxx+4q2+qt+p,B=?2+2q,

(3)

其中，q,r,p是3個位勢，λ是1個常值譜參數(shù).若ψ滿足Lax對(2)，那么由Lax方程Lt=[B,L]，可得

qt=rx,rt=px,pt=-rxxx-8qrx-4rqx.

(4)

由Lax對(2)的相容性條件，可得方程(4)等價于方程(1).

定理1設(shè)λ=λ0,f滿足Lax對(2)，A=-(lnf)x，定義規(guī)范變換

(5)

并且定義

(6)

(7)

其中，

(8)

證明通過直接計(jì)算可得

(9)

把(9)帶入Lf=λ0f,得

(10)

對(10)關(guān)于x微分，可得

(11)

其中，

(12)

利用(5)及(2)的第一個表達(dá)式，得到

(13)

(14)

(15)

其中，

Q=4qx+2r.

(16)

2 精確解

下面利用達(dá)布變換(6)給出方程(4)的精確解.從(4)的一個平凡解(a,b,c)開始，其中，a,b,c是常數(shù).把q=a,r=b,p=c和λ=λ0代入Lax對(2)中，可得

(17)

Ⅰ.當(dāng)a=b=c=0，且λ0=0時，(17)有一個多項(xiàng)式解

f=c1x2+c2x+2c1t+c0,

(18)

其中，c0,c1,c2是任意常數(shù).利用達(dá)布變換(6)，得到(4)的一個有理解

(19)

(20)

(20)有解

(21)

(22)

f=c1+c2exp(-εx+ε2t)+c3exp[-(β1+ε)x-γ2t]+c4exp[-(β2+ε)x-γ1t],

(23)

(24)

(25)

Ⅳ.當(dāng)b=0,a,λ0,c都是實(shí)數(shù)，且λ0≥c時，方程(17)約化為

(26)

(27)

其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常數(shù).利用達(dá)布變換(6)，可得(4)的孤子解

(28)

(29)

Ⅴ.當(dāng)b=0,a>0,c=16a2,且λ0=4a2時，方程(17)有一個解

(30)

其中，ci(i=1,2,3,4)是任意常數(shù).利用達(dá)布變換(6)，可得(4)的周期解

(31)

(32)

參考文獻(xiàn)：

[1] Levi D.On a new Darboux transformation for the construction of exact solutions of the Schr?dinger equation[J].Inverse Problems,1988,4(1):165-172.

[2] Gu Chaohao, Zhou Zixiang.On Darboux transformations for soliton equations in high-dimensional spacetime[J].Lett Math Phys,1994,32(1):1-10.

[3] Li Yishen.The reductions of the Darboux transformation and some solutions of the soliton equations[J].J Phys A: Math Gen,1996,29(14):4187-4195.

[4] Geng Xianguo.Darboux transformation of the discrete Ablowitz-Ladik eigenvalue problem[J].Acta Math Sci,1989,9(1):21-26.

[5] 李雪梅，楊運(yùn)平.高階耦合非線性Schr?dinger方程的單孤子解[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2002，34(3)：13-15.

[6] 杜殿樓.駐定CG方程解的參數(shù)表示[J].鄭州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1998，30(1)：12-17.