王俊杰, 王連堂, 楊寬德

(1.思茅師范高等?？茖W(xué)校,云南普洱665000;2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安710127)

0 引言

許多物理問題經(jīng)常需要用非線性偏微分方程(NPDEs)描述。研究非線性偏微分方程的精確解是數(shù)學(xué)物理的一個重要課題。非線性薛定諤方程在非線性物理學(xué)中具有非常重要的意義,作為描述波包在弱非線性介質(zhì)中傳播的普遍方程,它出現(xiàn)在物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支中,包括等離子體物理、非線性光學(xué)、凝聚態(tài)物理等。因此尋找非線性薛定諤方程的精確解,尤其是它的孤立子解[1-5],一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們非常感興趣的課題。近年來,科學(xué)家已經(jīng)建立許多新的方法,逆散射法[6]、Hirota變換法[7]、tanh函數(shù)展開法[8]、齊次平衡法[9]、分離變量法[10]、sin-cosine函數(shù)展開法[11]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法等[12-13]。

在文獻[14]中對下面非線性薛定諤方程：

已經(jīng)做了一些研究?？紤]下面具有任意階的非線性薛定諤方程：

其中p是一個大于1的整數(shù)。

利用行波變換和輔助函數(shù)法把具有任意階非線性薛定諤方程最終轉(zhuǎn)化為一個非線性常微分方程的解,通過對這個微分方程的研究可以得到具有任意階非線性薛定諤方程的更多的孤立波解、三角孤立波解、扭孤立波解。在生活中,可以利用這些解來解釋一些非線性物理現(xiàn)象。

1 輔助方程的計算

對于任意一個非線性方程可以表示成下面的形式：

可以尋求它的行波解：

把式(4)帶入(3)可以得到下面非線性常微分方程：

假設(shè)上面的方程(5)可以表示為下面形式：

令函數(shù)w(ξ)滿足下面的輔助方程：

把式(6)和式(7)代入式(5),根據(jù)齊次平衡法的思想,為使方程(5)中的非線性項和最高階導(dǎo)數(shù)相平衡,可以確定方程(6)中的參數(shù)n。

把式(6)和式(7)代入式(5),使 wiw′j(i=0,1,2,…;j=0,1)系數(shù)全為零,將得到一個非線性代數(shù)方程.通過求解這個非線性代數(shù)方程,可以得到參數(shù)c,ai,hj(i=0,…,n,j=0,2,4)。

2 具有任意階非線性薛定諤方程的包絡(luò)行波解

為了求解任意階非線性薛定諤方程(2),尋求它的包絡(luò)行波解為：

其中k0,w0,v為任意常數(shù)。從而有：

代入方程(2),消掉 ei[k0x+w0t+V(ξ)]得 ：虛部：

所以把問題(2)轉(zhuǎn)換為問題(8～9)的耦合非線性偏微分方程組,但求解(8～9)的耦合非線性偏微分方程組仍然非常困難。所以假設(shè)函數(shù) V,H滿足：

將式(10)代入式(8)得到：

將式(10)代入式(9)最終得到：

整理可得：

令：

最終把非線性薛定諤(2)轉(zhuǎn)化為如下任意次強非線性項的Lienard方程：

做變換：

代入方程(12)可以得到：

φ寫成式(6)的形式,根據(jù)齊次平衡法的思想,為了使式(13)中的 φ(ξ)φ″(ξ),(φ′(ξ))2,φ4(ξ)相平衡 ,可以得到n=1

把式(14)、(7)代入式(13)可以得到：

令式(15)中的各次冪的系數(shù)等于0,得到代數(shù)方程組：

可以得到上面方程組的解：

其中

對于輔助方程(7)可以選擇不同 p,m,l,n,h0,h2,h4得到方程(2)的孤立波解、三角孤立波解、扭孤立波解、Jacobi橢圓函數(shù)解,在文獻[14]中,已經(jīng)給出了方程(1)的孤立波解、三角孤立波解、扭孤立波解,但是沒有給出Jacobi橢圓函數(shù)解。

情形1(孤立波解,三角孤立波解)

定理1 假設(shè)4(p+1)2nl-p(p+2)m2=0,h4=

(i)如果h4＜0,方程(2)有一孤立波解：

(ii)如果 h4＞0,方程(2)有一三角孤立波解：

其中

定理2 假設(shè) m=0,h4=(p-1)2l

(i)如果h4＞0,方程(2)有一孤立波解：

(ii)如果 h4＜0,方程(2)有一三角孤立波解：

其中：

情形2(扭孤立波解)

定理3 假設(shè)

如果l＞0,方程(2)有一扭孤立波解：

其中

定理4 假設(shè)

如果 l＞0,p＜4,方程(2)有一扭孤立波解：

其中

情形3(Jacobi橢圓函數(shù)解)

定理5 假設(shè)

方程(2)可以得到兩個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理6 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理7 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理8 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理9 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理10 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理11 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理12 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理13 假設(shè)

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理14 假設(shè)：

方程(2)可以得到一個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理15 假設(shè)：

方程(2)可以得到4個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理16 假設(shè)

方程(2)可以得到1個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中：

定理17 假設(shè)

方程(2)可以得到3個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理18 假設(shè)

方程(2)可以得到1個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理19 假設(shè)

方程(2)可以得到1個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理20 假設(shè)

方程(2)可以得到1個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

定理21 假設(shè)

方程(2)可以得到1個Jacobi橢圓函數(shù)解：

其中

3 結(jié)束語

利用輔助方程來求解具有任意階的非線性薛定諤方程(2),給出了一些新的孤波解、三角函數(shù)解、扭孤立波解、Jacobi橢圓函數(shù)解?？梢岳眠@些解來解釋一些非線性物理現(xiàn)象。

[1]W P Hong.Dynamics of solitary-waves in the higher order Korteweg-de Vries equation type：I[J].Zeitschrift fur Naturforschung,2005,60(11/12)：757-767.

[2]J Li,W Rui,Y Long.Travelling wave solutions for higher-order wave equations of KdV type：III[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2006,3(1)：125-135.

[3]Y Long,J Li,W Rui.Traveling wave solutions for a second order wave equation of KdV type[J].Applied Mathematics and Mechanics,2007,28(11)：1455-1465.

[4]V Marinakis.New solutions of a higher order wave equation of the KdV type[J].Journal of Nonlinear Mathematical Physics,2007,14(4)：519-525.

[5]V Marinakis.New solitary wave solutions in higher-order wave equations of the Korteweg-de Vries type[J].Zeitschrift fur Naturforschung,2007,62(5/6)：227-230.

[6]A blowitz MJ,Clarkson PA.solution nonlinearn evolution equations and inverse scattering[M].Cambridge：Cambridge University press,1991.

[7]Wadati M.WAVE Propagation in Nonlinear Lattice[J].Phys.Soc Jan 1975,38：673.

[8]Wadati M,Sanuki H,Konno K.A Generalization of Inverse Scattering Method[J].Prog Theor Phys.,1975,53：419.

[9]Matveev VB,Salle MA.Darboux transformation and solitons[M].Berlin：Springer,1991.

[10]Gu CH,Hu HS,Zhou ZX.Darboux transformation in solition thory and its geometric applications[M].Shang-hai：Shanghai Sci Tech Publ,1999.

[11]Rogers C,Schief WK B.acklund and Darboux transformation,geometry and modern application in soliton[M].Cambridge：Cambridge University press,2002.

[12]Hirota R.Direct methods in soliton theroy.In：Bullough PK,Caudrey PJ,editors[M].Solitons.Springer,1980.

[13]Olver PJ.Applications of Lie groups to di.erential equations[M].New York：springer;1993.

[14]Ding-jiang Huang,De-sheng Li,Hong-qing Zhang.Explicit and exact travelling wavesolution for the generalized derivative schrodinger equation,Chaos,Solution and Fractals[J].2007,31：586-593.