周志強,何郁波

(懷化學院數(shù)學系,湖南 懷化 418008)

一類非線性偏微分方程的四階格子Boltzmann模型

周志強,何郁波

(懷化學院數(shù)學系,湖南 懷化 418008)

通過Chapman-Enskog展開技術(shù)和多尺度分析,建立了一種新的D1Q4帶修正項的四階格子Boltzmann模型,一類非線性偏微分方程從連續(xù)的Boltzmann方程得到正確恢復(fù).統(tǒng)一了KdV和Burgers等已知方程類型的格子BGK模型,還首次給出了組合KdV-Burgers,廣義Burgers-Huxley等方程的四階LBGK模型.數(shù)值模擬結(jié)果表明了該模型的有效性和穩(wěn)定性．

非線性偏微分方程;格子Boltzmann模型;Chapman-Enskog多尺度展開

1 引言

近年來,格子Boltzmann方法(簡稱LBM)成功應(yīng)用于某些復(fù)雜的非線性演化方程,如對流擴散方程、反應(yīng)擴散方程、Kuramoto-Sivashinsky方程等.文獻[1-3]采用D1Q4模型分別研究了KdV-Burgers方程、組合KdV方程、MKdV方程,文獻[4]則采用D1Q5模型研究一類非線性偏微分方程,他們都得到了較好的結(jié)果.本文采用D1Q4模型構(gòu)造出一個帶修正項和源項的四階格子Boltzmann顯示迭代格式.通過這個模型,一大類非線性偏微分方程從連續(xù)的Boltzmann方程得到正確恢復(fù).該方法不僅涵蓋了文獻[1-3]中的全部模型,還給出了組合KdV-Burgers方程,廣義KdV方程,廣義Burgers-Huxley方程,廣義Burgers-Fisher方程等多種非線性偏微分方程的格子BGK模型.相比文獻[4],因為少了一個速度方向,數(shù)學推導(dǎo)過程要簡單許多,內(nèi)存和時間消耗也少一些.數(shù)值模擬結(jié)果表明該模型數(shù)值精度與文獻[4]相當;適當選取模型參數(shù),模型具有長時間的計算穩(wěn)定性.

2 四階格子Boltzmann模型

一維含源非線性偏微分方程如下:

3 數(shù)值模擬

表1 Burgers-Huxley方程數(shù)值解與解析解的整體相對誤差

圖1 Burgers-Huxley方程在t=0.01,0.8,10,1000時刻數(shù)值解與解析解對照,實線代表解析解,□號為數(shù)值解

圖2 KdV-Burgers方程在t=10,50,150,300時刻數(shù)值解與解析解對照,實線代表解析解,*號為數(shù)值解

參考文獻

[1]Ma C F.A new lattice Boltzmann model for KdV-Burgers equation[J].Chin.Phys.Lett.,2005,22(9):2313-2315.

[2]何郁波,馬昌鳳．組合KdV方程帶修正函數(shù)的格子Boltzmann模型[J].應(yīng)用數(shù)學學報,2007,30(6):1040-1046.

[3]馬昌鳳,唐嘉,陳小紅.模擬mKdV方程的格子BGK模型[J].應(yīng)用力學學報,2007,24(4):519-521.

[4]賴惠林,馬昌鳳.非線性偏微分方程的高階格子BGK模型[J].中國科學:G輯,2009,39(7):913-922.

[5]Javidi M.A numerical solution of the generalized Burger's-Huxley equation pseu-dospectral method and Darvishi's preconditioning[J].Appl.Math.Comput.,2006,175:1619-1628.

A fourth order lattice Boltzmann model for nonlinear partial di ff erential equation

Zhou Zhiqiang,He Yubo
(Department of Mathematics,Huaihua University,Huaihua 418008,China)

A new D1Q4 fourth order lattice Boltzmann model with amending function is presented for nonlinear partial di ff erential equations.By using Chapman-Enskog expansion technique and multiple-scale analysis,a class of NPEs are restored correctly from continuous Boltzmann equation.This paper not only gives a uni fi ed lattice BGK model for the well-known equation such as KdV and Burgers equation,but also fi rstly gives a fourth order LBGK model for the combined KdV-Burgers equation,generalized Burgers-Huxley equation,etc.Numerical simulation results show that the method described in this paper is e ff ective and stable.

nonlinear partial di ff erential equations,lattice Boltzmann model,Chapman-Enskog expansion

O241

A

1008-5513(2012)01-0029-07

2011-08-17.

湖南省教育廳科研基金(07C505).

周志強(1974-),碩士,副教授,研究方向：數(shù)值計算.

2010 MSC:35Q53