王 飛

（上海盛運(yùn)機(jī)械工程有限公司，上海200030）

1 引言

在ISO6336－2006直齒輪和斜齒輪承載能力計(jì)算中，一對(duì)齒輪嚙合副的計(jì)算接觸和彎曲應(yīng)力由下列公式得出：

式中：N＝（b／h）2／［1＋（b／h）＋（b／h）2］。

可以看出KHβ系數(shù)是直接影響齒輪接觸和彎曲計(jì)算應(yīng)力大小的重要系數(shù)之一。同時(shí)影響系數(shù)KHβ的主要因素有輪齒的接觸精度、嚙合剛度、軸及箱體的加工精度及其裝配精度等，因此系數(shù)KHβ與齒輪的設(shè)計(jì)、制造及安裝有關(guān)。ISO標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了A、B和C三種計(jì)算方法，其中最為常用的是C法［1］。

2 KHβ系數(shù)C計(jì)算方法

C計(jì)算方法分為兩種情況：嚙合載荷不布滿整個(gè)齒寬和載荷布滿整個(gè)齒寬，前者是設(shè)計(jì)時(shí)注意避免的，后者情況下KHβ可由下式計(jì)算得出：

式中：Fβy—— 跑合后嚙合齒向誤差，μm；

cγ——輪齒嚙合剛度，N／（mm·μm）；

Fm——分度圓上平均計(jì)算切向力，N；

b——計(jì)算齒寬，mm。

式中：Fβx——初始嚙合齒向誤差，μm；yβ——齒向跑合量，μm。

2.1 初始嚙合齒向誤差

Fβx是決定齒向載荷分布系數(shù)KHβ的重要依據(jù)，如圖1所示。

式中：fsh1、fsh2——大小齒輪及齒輪軸在受到彎曲和扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的誤差分量；

fma——齒輪、箱體軸孔等制造、安裝誤差產(chǎn)生的嚙合齒向誤差分量；

fbe、fca——軸承及箱體在載荷作用下的變形分量。

圖1 Fig.1

KHβ計(jì)算C方法中，假定箱體、軸承、大齒輪及軸的剛度足夠大，其變形可以忽略［1］，上式中的fsh2、fbe和fca誤差分量在計(jì)算Fβx將不予考慮，同時(shí)為彌補(bǔ)計(jì)算過程中的線性化導(dǎo)致的誤差，將上式中的小輪變形分量fsh1用系數(shù)1.33予以提高。上式可改寫為：

2.1.1綜合變形嚙合齒向誤差分量fsh1

fsh1是小齒輪和小齒輪軸在載荷作用下彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的嚙合齒向誤差。

式中：fshB——彎曲變形分量；

fshT——扭轉(zhuǎn)變形分量。

2.1.1.1 fshB彎曲變形分量的計(jì)算

在計(jì)算小齒輪彎曲變形分量時(shí)，圖1所示的齒輪結(jié)構(gòu)受到的載荷可簡(jiǎn)化為直徑dsh的簡(jiǎn)支梁受到集中載荷的作用，如圖2所示。

由靜力平衡得到A、B處支反力為：

由材料力學(xué)可得到AC段和CE段各自的彎矩方程和撓曲近似微分方程如表1所示。

由微分方程的連續(xù)條件：

當(dāng)x1＝x2＝l／2－s時(shí)，θ1＝θ2，v1＝v2得出C1＝C2，D1＝D2

圖2 Fig.2

表1 Table 1

由邊界條件：

當(dāng)x1＝0時(shí)，v1＝0；當(dāng)x2＝l時(shí)，v2＝0，得出：

則轉(zhuǎn)角方程為：

將x1＝（l／2－s）帶入上式，可得出齒輪中點(diǎn)C處的轉(zhuǎn)角：

齒輪兩端BD的相對(duì)彎曲變形shB可以近似以中點(diǎn)C處的斜率求得對(duì)于可以將上式中的高階分量在處線性化處理并將I＝／64帶入上式得：

2.1.1.2 fshT扭轉(zhuǎn)變形分量的計(jì)算

在計(jì)算小齒輪扭轉(zhuǎn)變形分量時(shí)，圖1所示的齒輪結(jié)構(gòu)受到的載荷可簡(jiǎn)化為直徑為d1等截面圓桿受到均勻分布的扭轉(zhuǎn)力偶矩，如圖3所示。

圖3 Fig.3

式中：G：材料的剪切彈性模量。

將fshT和fshB分量帶入及鋼材的彈性模量E和剪切模量G值代入式（6）得到fsh1一般表達(dá)式：

式中：A＊＝0.015 5mm·um／N

由于軸在上述扭轉(zhuǎn)和彎曲作用下實(shí)際的兩變形分量是非線性的，公式建立過程中將其線性化處理從而造成誤差，為了彌補(bǔ)上述誤差和兩非線性分量在計(jì)算過程中的相互抵消，將上式A＊擴(kuò)大1.5倍，即A＝1.5A＊＝0.023mm·um／N，同時(shí)用常數(shù)0.3修正，系數(shù)1和－0.8分別用B＊及k′代替，式（7）可以即變?yōu)椋?/p>

即ISO6336－2006標(biāo)準(zhǔn)中公式（57），對(duì)于其他齒輪形式fsh1計(jì)算式的導(dǎo)出都是建立在上式基礎(chǔ)之上，限于篇幅，論文不再詳細(xì)敘述。

2.1.2齒向加工誤差的分量fma的計(jì)算

fma的大小取決于齒輪副加工的螺旋線傾斜偏差fHβ與軸線間平行度的補(bǔ)償或彼此疊加以及齒輪副裝配時(shí)是否進(jìn)行裝配調(diào)整。標(biāo)準(zhǔn)中給出了如下四種情況的計(jì)算方法：

①由齒輪、軸承和箱體實(shí)際誤差測(cè)量得到fma的數(shù)值；

② 特定情況下，直接給定fma的數(shù)值；

③ 給定齒輪精度等級(jí)下，由大小齒輪螺旋線傾斜偏差fHβ計(jì)算得到；

④ 測(cè)量空載下接觸斑點(diǎn)得到的fma數(shù)值。

在齒輪副在前期設(shè)計(jì)的時(shí)候，方法①和方法④無法進(jìn)行，推薦采用方法③來確定fma的值：fma＝

2.2 齒向跑合量yβ

yβ為通過跑合使Fβx減小的量，影響yβ因素有：齒輪的材料、節(jié)圓速度、潤滑方式、齒輪表面熱處理、硬度和Fβx等因素，對(duì)于常用的滲碳淬火硬齒面齒輪通過下式來確定：

注意上式適用范圍：對(duì)于任意節(jié)圓速度，當(dāng)Fβ≥40μm時(shí)，yβ取其極限值6μm。

結(jié)合公式（3）－（10）可以計(jì)算出齒向載荷分布系數(shù)KHβ的大小。

3 例題

由式（8）及（9）可以看出，在不考慮任何齒形修形情況下，小輪軸承跨距l(xiāng)、小輪偏置距s、小輪軸彎曲變形當(dāng)量直徑dsh以及齒輪精度Q對(duì)于KHβ有著重要的影響。如某減速器高速級(jí)參數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，Z1＝23，Z2＝64，mn＝5.5，β＝12°，n＝1500 r／min，x1＝0.53，a＝250mm，b＝100mm，dsh＝90 mm，l＝494mm，s＝30mm，6級(jí)精度（ISO1328），KA＝1，額定壽命20000h，齒輪材料為20CrNi2Mo，σHlim＝1500MPa，σFlim＝430MPa，不做任何齒形修形，小輪軸剛性支撐，在不同l、s、dsh以及齒輪精度等級(jí)Q的情況下，計(jì)算出該齒輪副滿足接觸安全系數(shù)SH≥1和彎曲安全系數(shù)SF≥1.25可傳遞的功率P（kW），結(jié)果如表2、3和4所示。

表2 l、s對(duì)KHβ及可傳遞功率P的影響Table 2 Influence of s vs KHβand transportable power P（Q＝6（ISO1328））

表3 dsh對(duì)KHβ及可傳遞功率P的影響Table 3 Influence of dshvs KHβand transportable power P（Q＝6（ISO1328））

表4 齒輪精度Q對(duì)KHβ及可傳遞功率P的影響Table 4 Influence of gear accuracy Q VS KHβand transportable power P（dsh＝90mm）

綜合上述實(shí)例計(jì)算結(jié)果，對(duì)于齒輪強(qiáng)度設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，可以得到以下幾點(diǎn)提示：

1）從表2可以看出，小輪軸承跨距l(xiāng)和偏置距s對(duì)于KHβ值有著直接的影響，隨著其值的減小，KHβ值在減小，可傳遞功率P在增加，因此在齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)使小輪的l、s處于合理的位置，減小KHβ的值，提高齒輪的承載能力；同時(shí)齒輪在初始設(shè)計(jì)時(shí)由于無法考慮其實(shí)際的軸承跨距l(xiāng)和偏置距s，最終設(shè)計(jì)完成后，要針對(duì)其實(shí)際的軸承跨距l(xiāng)和偏置距s重新校核KHβ值，從而確定其最終承載能力；

2）從表3可以看出，當(dāng)KHβ值較大時(shí)，可通過適當(dāng)加大當(dāng)量彎矩直徑dsh，以提高小輪支撐軸剛性，減小KHβ的值，提高齒輪可傳遞功率P；

3）從表4可以看出，齒輪精度等級(jí)Q直接影響到fma的值，隨著精度等級(jí)Q的提高，齒輪承載能力也隨之提高；

4）對(duì)于有裝配調(diào)整的齒輪副，由于其可以調(diào)整齒向接觸，從而彌補(bǔ)了齒輪副加工的螺旋線傾斜偏差fHβ和軸線間平行度的偏差，減小了fma的影響，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以直接給定KHβ值的大?。?］，如SMS（德國西馬克）公司，對(duì)于裝有偏心套的調(diào)整的齒輪副，直接給定KHβ＝1.2；

5）對(duì)于重要的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，如風(fēng)電齒輪箱的齒輪，必要時(shí)可以采用更為精確的計(jì)算方法［4］，同時(shí)為了保證齒輪傳動(dòng)的可靠性，KHβ最小值不能小于1.15［5］。

總之，齒向載荷分布系數(shù)KHβ在齒輪強(qiáng)度計(jì)算中是一個(gè)較為復(fù)雜的參數(shù)，上述分析可以看出齒輪結(jié)構(gòu)的布置形式（l、s及dsh）直接影響到fsh1的值，齒輪精度等級(jí)Q直接的影響到fma的值，從而上述參數(shù)對(duì)于KHβ的值以及齒輪可傳遞功率P有著直接的影響。在齒輪產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中，通過前期良好的齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、高精度的制造及后期裝配調(diào)整，可以降低KHβ值，提高齒輪承載能力。

4 結(jié)語

本文針對(duì)于齒輪強(qiáng)度計(jì)算中遇到的齒向載荷分布系數(shù)KHβ的問題做了詳細(xì)的分析，其值直接影響著齒輪的承載能力，文章重點(diǎn)推導(dǎo)了其計(jì)算公式的建立過程，并結(jié)合實(shí)例，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，給出在齒輪強(qiáng)度計(jì)算中關(guān)于KHβ參數(shù)幾點(diǎn)提示，與讀者共同探討。

［1］ISO 6336—2006.Calculation of load capacity of spur and helical gears［S］.

［2］李釗剛，劉建國.ISO／6336嚙合齒向誤差 Fβx分析［J］.江蘇機(jī)械制造與自動(dòng)化，1996，5：11－48.

［3］西安重型機(jī)械研究所，第一重型機(jī)械廠，等.德國施羅曼西馬克（SMS）公司圓柱齒輪減速器設(shè)計(jì)資料匯編［M］.1987.

［4］田涌濤，李從心，佟維，等.考慮傳動(dòng)軸變形影響的齒輪載荷分布［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，35（10）：1526－1529.

［5］吳強(qiáng)，張妤，宣安光.風(fēng)電主齒輪箱技術(shù)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)化剖析［J］.電器制造，2010，3：44－48.