王 豪，張 捷，任松育

（西北工業(yè)大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710129）

子空間分解是自適應(yīng)陣列信號(hào)處理的重要工具，它廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮，系統(tǒng)鑒定，數(shù)據(jù)濾波，參數(shù)估計(jì)，模式識(shí)別等領(lǐng)域。在基于智能天線的DOA估計(jì)中也有重要的應(yīng)用[1]，基于子空間的高分辨的方法已經(jīng)成功地運(yùn)用于時(shí)間上的和空間上的主譜分析，典型例子如：多重信號(hào)分類（MUSIC），最小模估計(jì)方法，旋轉(zhuǎn)子空間（ESPRIT）估計(jì)，加權(quán)子空間擬合（WSF），基于KL變換的數(shù)據(jù)壓縮等。近年來(lái)，子空間跟蹤的方法得到了迅速發(fā)展，大致可以分為3類：1）對(duì)ED/SVD進(jìn)行改進(jìn)；2）秩 1擾動(dòng)更新方法的變形；3）將 ED/SVD看成是最優(yōu)化問題。Bin.Yang提出的PAST算法屬于第3類，是其中魯棒性和有效性最好的方法之一[2]，然而在某些情況下，PAST算法不收斂，針對(duì)這一問題，K.Abed-meraim等提出了正交的PAST（OPAST）算法，它保證了權(quán)向量在每次迭代的正交性，并具有和PAST算法一樣的線性復(fù)雜度，和自然冪法[3]一樣的全局收斂性。

OPAST算法與ED/SVD算法相比具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，以及它自身的自適應(yīng)性，使它更適用于實(shí)時(shí)信號(hào)處理。多用檢測(cè)技術(shù)是3G以及4G的關(guān)鍵技術(shù)，盲多用戶檢測(cè)[4]是多用戶檢測(cè)中的一種，它僅僅利用特征波形先驗(yàn)知識(shí)和感興趣用的用戶定時(shí)模式來(lái)檢測(cè)用戶信息，是目前多用戶檢測(cè)的主要發(fā)展方向。文中將OPAST算法應(yīng)用于盲多用戶檢測(cè)中，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在迭代一定次數(shù)后，會(huì)出現(xiàn)誤碼率變大的現(xiàn)象，為了解決這一問題，文中提出了一種方法，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得以證明。

1 信號(hào)模型與子空間分解

對(duì)于一個(gè)具有K個(gè)用戶的同步DS-CDMA通信系統(tǒng)[5]，在具有高斯白噪聲的信道中，經(jīng)過(guò)碼片匹配濾波器和碼片速率采樣后，在一個(gè)符號(hào)間隔內(nèi)，接收端的輸出樣本為一個(gè)N維向量：

為了方便和不失一般性，假設(shè)K個(gè)用戶的擴(kuò)頻碼都是線性獨(dú)立的。 記：S=[s1，s2，…，sK]，接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣為：

對(duì)矩陣Cr進(jìn)行特征值分解：

其中：U=[Us，Un]；Λ=diag（Λs，Λn）；Λs=diag（λ1，λ2，…，λK）含有 Cr的 K 個(gè)最大的特征值；Us=[u1，u2，…，uK]中為相應(yīng)的正交特征向量；Λn=diag（λK+1，λK+2，…，λN）中為相應(yīng)的正交特征向量。 range（Us）為信號(hào)子空間，它的正交部分range（Un）為噪聲子空間。其中Us和Un都是酉矩陣。

2 OPAST算法

B.Yang提出的投影近似子空間跟蹤算法 （簡(jiǎn)稱PAST）的思路是把信號(hào)子空間的跟蹤轉(zhuǎn)化為非約束最小化問題。它通過(guò)預(yù)測(cè)逼近將最小化問題簡(jiǎn)化為指數(shù)加權(quán)最小二乘問題。它是所有子空間跟蹤算法中健壯性最好，效率最高的算法之一，計(jì)算復(fù)雜度為O（nr），其中n為向量序列的維數(shù)，r為子空間的維數(shù)。

r表示n×1隨機(jī)向量，令C=E{rrT}為r自相關(guān)矩陣，目標(biāo)函數(shù)定義為

目標(biāo)函數(shù)可以用跡函數(shù)表示如下：

式中，W是n×r矩陣，假設(shè)其秩等于r，Tr（）表示矩陣的跡。

下面考慮極小化問題min J（W）。與之相關(guān)的重要問題是：

1）是否存在J（W）的全局極小點(diǎn)W？

2）該極小點(diǎn)W與自相關(guān)矩陣C的信號(hào)子空間有何關(guān)系？

3）是否存在J（W）的其他局部極小點(diǎn)？

Yang證明了下面的定理[6]：

定理1 W是J（W）的一個(gè)平穩(wěn)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)W=UrQ，其中Ur∈Cn×r有自相關(guān)矩陣C的r個(gè)不同的特征向量組成并且Q∈Cr×r為任意酉矩陣（酉矩陣即復(fù)數(shù)域的正交矩陣）。在每一個(gè)平衡點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)J（W）的值等于不在Ur的那些特征值之和。

定理2 目標(biāo)函數(shù)J（W）的所有平穩(wěn)點(diǎn)都是鞍點(diǎn)，除非Cr由自相關(guān)矩陣C的r個(gè)主特征向量組成。在這一特殊情況下，J（W）達(dá)到全局最小。

在某些情況下，PAST算法沒有收斂性，為了減輕這一缺陷，更重要的是為了保證在每次迭代時(shí)，權(quán)向量的規(guī)范正交性，K.Abed-Meraim等人提出了一種新的方法：OPAST（Orthonormal PAST）。 OPAST算法和PAST算法有一樣的線性復(fù)雜度O（nr），n為向量序列的維數(shù)，r為主子空間的維數(shù)。OPAST算法還具有規(guī)范正交性和全局收斂性。

OPAST算法在PAST算法的基礎(chǔ)上，在每次迭代時(shí)對(duì)權(quán)重向量做規(guī)范正交的處理：

（由于W（i）HW（i）=I，所以上式成立）。

其中，（W（i）HW（i））-1/2指的是W（i）HW（i）=I的逆的平方根。為了計(jì)算后者，使用W（i）的迭代方程，此時(shí)W（i-1）已經(jīng)是規(guī)范正交矩陣：

由式子（6）和（10），以及W（i）的迭代公式得：

其中：

因此OPAST算法可以寫成如下形式：

選擇初始化W（0）和Z（0），以及β

3 基于OPAST算法的盲多用戶檢測(cè)

假設(shè)待檢測(cè)用戶為用戶1，一個(gè)線性MMSE檢測(cè)器，解調(diào)第1個(gè)用戶數(shù)據(jù)的解調(diào)向量為w，則判決器的輸出為

其中：w∈RN。在約束條件wTs1=1下，最小化MSE（w ）=E（（A1b1-wTr）2），用信號(hào)子空間參數(shù)表示可得到（4）式中的MMSE檢測(cè)器w為

這里要計(jì)算w，需要知道Us、Λs，然而OPAST算法只能計(jì)算Us，要想把OPAST算法應(yīng)用于盲多用戶檢測(cè)中，需要進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮操作。經(jīng)數(shù)據(jù)壓縮后，w為如下形式：

基于OPAST的盲多用戶檢測(cè)算法的步驟如下：

4 仿真實(shí)驗(yàn)及改進(jìn)的OPAST算法

對(duì)于一個(gè)具有高斯白噪聲的DS-CDMA系統(tǒng)，用戶數(shù)為8，目標(biāo)用戶為用戶1，其余用戶為干擾用戶，每個(gè)用戶的采用31位的Gold擴(kuò)頻碼，目標(biāo)用戶的信噪比為25 dB，目標(biāo)用戶的功率為1，干擾用戶的功率相同。

將OPAST算法應(yīng)用于多用戶檢測(cè)中，發(fā)現(xiàn)在迭代5 000次左右時(shí)，會(huì)出現(xiàn)誤碼積累的現(xiàn)象，誤碼率會(huì)突然上升（如圖1所示）。究其原因，OPAST算法中要求Z（i）是求逆后的對(duì)角元素表示信號(hào)子空間的K個(gè)最大的特征值，其初始值為Hermitian正定矩陣，仿真實(shí)驗(yàn)中，以實(shí)信號(hào)為例，故Z（i）為實(shí)對(duì)稱正定矩陣。在計(jì)算過(guò)程中由于誤差的存在，使求出的Z（i）不滿足實(shí)對(duì)稱正定的性質(zhì)，從而導(dǎo)致了在迭代若干次后誤碼率增大的現(xiàn)象。

圖1 改進(jìn)前的OPAST算法的berFig.1 Ber of unimproved OPAST algorithm

為了解決這一問題，文中提出將求出的Z（i）的上三角和下三角相加除以2得到上三角，再將上三角賦值給下三角的方法，仿真結(jié)果如圖2所示，這種方法有效地解決了上述問題。通過(guò)將上下三角部分加權(quán)求平均值，可以有效地減小由只算上三角部分或只算下三角部分所帶來(lái)的誤差。

圖3所示結(jié)果為改進(jìn)前和改進(jìn)后的OPAST算法的sinr比較，兩者基本相當(dāng)，表明改進(jìn)后的OPAST的sinr性能沒有下降；圖4為改進(jìn)后的OPAST算法與PAST算法的比較，OPAST算法要在sinr性能方面優(yōu)于OPAST算法。

圖2 改進(jìn)后的OPAST算法的berFig.2 Ber of improved OPAST algorithm

圖3 改進(jìn)前和改進(jìn)后的OPAST的sinrFig.3 Sinr of unimproved and improved OPAST

圖4 改進(jìn)后的OPAST算法與PAST的sinr比較Fig.4 Sinr of improved OPSAT and PAST

5 結(jié)束語(yǔ)

文中提出的改進(jìn)的OPAST算法，解決了誤碼率在迭代一定次數(shù)后上升的問題，誤碼率性能得到提升，信號(hào)干擾噪聲比性能與改進(jìn)前相比基本不變，經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的OPAST算法將更適應(yīng)于實(shí)時(shí)信號(hào)處理。

現(xiàn)在的子空間跟蹤算法，普遍只能跟蹤信號(hào)子空間，而不能跟蹤特征值，使用ED/SVD方法可以得到特征值和特征向量，但其計(jì)算復(fù)雜度太大，不適合實(shí)時(shí)信號(hào)處理，且不具備自適應(yīng)性。對(duì)既可以跟蹤特征值又可以跟蹤特征向量的子空間跟蹤方法的研究將成為今后的熱點(diǎn)。

[1]錢林杰，程翥，石斌斌，等.一類子空間跟蹤方法的改進(jìn)[J].信息處理，2010（5）：741-745.

QIAN Lin-jie，CHENG Zhu，SHI Bin-bin，et al.Improvement of a kind of subspace tracking methods[J].Information Processing，2010（5）：741-745.

[2]Yang B.Projection approximation subspace tracking[J].IEEE Trans Signal Processing，1995（44）：95-107.

[3]HUA Y，CHEN T，MIAO Y.A unifying view of a class of subspace tracking methods[J].In ISSPR’98，1998（2）：27-32.

[4]馬建倉(cāng).盲信號(hào)處理[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006.

[5]Wang X，Poor H V.Blind multiuser detection：A subspace approach[J].IEEE Trans.Inform.Theory，1998，44（2）：667-691.

[6]Yang B.Projection approximation subspace tracking[J].IEEE Trans Signal Processing，1995（43）：95-107.