孫云歡 ,白紅信
(1.保定學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院,河北 保定 071000;2.北京工業(yè)大學(xué) 理學(xué)部,北京 100124)
矩陣的克羅內(nèi)克積是一種特殊的矩陣乘積運(yùn)算.矩陣的克羅內(nèi)克積不受普通矩陣乘積對(duì)行數(shù)和列數(shù)的影響,它是任意大小的兩個(gè)矩陣間的運(yùn)算,雖然其運(yùn)算較普通矩陣繁瑣,并沒(méi)有被充分、廣泛地了解,但是在矩陣?yán)碚撝芯哂袕V泛的應(yīng)用,比如對(duì)于求解矩陣方程[1]具有很大的幫助,而且在其他領(lǐng)域中也有非常廣泛的應(yīng)用,比如電信技術(shù)[2]、信息處理、圖像處理[3]等.
本文著重探究矩陣克羅內(nèi)克積的特征向量,以克羅內(nèi)克積基本運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ),利用矩陣?yán)碚摰目蓪?duì)角化矩陣和相似矩陣作為橋梁,對(duì)一般矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量進(jìn)行探究,為人們更好地理解克羅內(nèi)克積奠定基礎(chǔ).
定義2[5]設(shè)矩陣A、B為數(shù)域P上的2個(gè)n階矩陣,若存在可逆矩陣Q,使得Q-1AQ=B,則稱(chēng)矩陣A與矩陣B相似,記作A≈B.
引理2[6]設(shè)存在可逆矩陣Q,滿(mǎn)足Q-1AQ=B,μ是A與B的一個(gè)特征值.若β是矩陣B的屬于特征值μ的一個(gè)特征向量,則Qβ是矩陣A的屬于特征值μ的一個(gè)特征向量.
引理3[6]2個(gè)相似矩陣屬于同一特征值的特征子空間同構(gòu).
設(shè)矩陣A、B,已知矩陣A、B的特征向量,下面探究矩陣A、B的克羅內(nèi)克積A?B的特征向量的表示形式.
定理1 設(shè)矩陣A為n階方陣,矩陣B為m階方陣,且A、B為可對(duì)角化矩陣.設(shè)λ1、λ2、…、λn為矩陣A的特征值,μ1、μ2、…、μm為矩陣B的特征值,A的屬于特征值λi的特征向量為αi(i=1,2,…,n),B的屬于特征值μj的特征向量為βj(j=1,2,…,m),且α1、α2、…、αn線(xiàn)性無(wú)關(guān),β1、β2、…、βm線(xiàn)性無(wú)關(guān).則A?B的特征向量為
證明 由于 A、B 為可對(duì)角化矩陣,則存在可逆矩陣 T=(α1,α2,…,αn),P=(β1,β2,…,βm)使得
且有(T-1AT)?(P-1BP)=(T-1?P-1)(A?B)(T?P)=(T?P)-1(A?B)(T?P),且A?B也是可對(duì)角化矩陣,T?P為可逆矩陣,由A?B的特征向量構(gòu)成.
所以A?B的特征向量為
下面探究考慮當(dāng)矩陣A、B為不可對(duì)角化矩陣且只有一個(gè)特征值的情形.
在線(xiàn)性空間的一組基下,線(xiàn)性空間中的每一個(gè)線(xiàn)性變換都與Pn×n中矩陣唯一對(duì)應(yīng).設(shè)線(xiàn)性變換V1在一組基 ε1、ε2、…、εn下的矩陣為 A,線(xiàn)性變換 V2在一組基 δ1、δ2、…、δn下的矩陣為 B,線(xiàn)性變換 V 在基 η1、η2、…、ηn2下的矩陣為A?B,又每個(gè)n級(jí)的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似.設(shè)n階矩陣A、B為不可對(duì)角化矩陣且只有一個(gè)特征值.
2.2.1 命題
證明 可以計(jì)算得知矩陣M2的特征向量在基ε1、ε2下的坐標(biāo)為e1=(0,1)T,N2的特征向量在基δ1、δ2下的坐標(biāo)為 e1=(0,1)T.
令 P=M2?N2.
我們知道矩陣A?B的特征值為λμ,且相似矩陣有相同的特征值,則P=M2?N2的特征值也為λμ.設(shè)矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 X=(x1,x2,x3,x4)T.
1)若 λ=μ=0,則 x1=0,x2、x3、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為(0,0,0,1)T,(0,1,0,0)T,即特征向量在基 η1,η2,η3,η4下的坐標(biāo)為 e1?e1,e1?e2,e2?e1.
2)若 λ=0,μ≠0,則 x1=0,x2=0,x3、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為(0,0,0,1)T、(0,0,1,0)T,即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 e1?e1,e1?e2.
3)若 λ≠0,μ=0,則 x1=0,x3=0,x2、x4為任意常數(shù).故矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為(0,0,0,1)T、(0,1,0,0)T,即特征向量在基 η1、η2、η3、η4下的坐標(biāo)為 e1?e1,e2?e1.
證明 令P=M3?N3.
我們知道矩陣 M3、N3的特征向量分別在基 ε1、ε2、ε3和基 δ1、δ2、δ3下的坐標(biāo)都是 e1,矩陣 P 的特征值為 λμ,設(shè)特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為 X=(x1,x2,…,x9)T.
1)若 λ=μ=0,矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為
e1?e1,e1?e2,e1?e3,e2?e1,e3?e1;
2)若 λ=0,μ≠0,矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為
e1?e1,e1?e2,e1?e3;
3)若 λ≠0,μ=0,矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為
e1?e1,e2?e1,e3?e1;
4)若 λ≠0,μ≠0,矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、η9下的坐標(biāo)為
2.2.2 例題
例題1 考慮n階矩陣A、B,設(shè)
求解矩陣A?B的特征向量.
解 令矩陣P=Mn?Nn.
矩陣 Mn、Nn分別在基 ε1、ε2、…、εn和基 δ1、δ2、…、δn下的坐標(biāo)都為 e1,矩陣 P 的特征值為 λμ,設(shè) P在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 X=(x1,x2,…,xn2)T,則由歸納法得:
1)當(dāng) λ=μ=0 時(shí),矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1,e1?e2,…,e1?en,en?e1,en-1?e1,…,e2?e1,共有 2n-1 個(gè)特征向量.
2)當(dāng) λ=0,μ≠0 時(shí),矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1,e1?e2,…,e1?en,共有n個(gè)特征向量.
3)當(dāng) λ≠0,μ=0 時(shí),矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為 e1?e1,e2?e1,…,en?e1,共有n個(gè)特征向量.
4)當(dāng) λ≠0,μ≠0 時(shí),矩陣 P 的特征向量在基 η1、η2、…、ηn2下的坐標(biāo)為
所以矩陣P的特征向量共有n個(gè),可以給上述自由未知量賦n組值,令分別為(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),…,(0,0,0,…,1,0),(0,0,0,…,1).
于是便得到矩陣P的特征向量,其中一個(gè)特征向量在基下的坐標(biāo)為e1?e1.
我們得知了2個(gè)若爾當(dāng)形矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量,因?yàn)榫仃嘇、B分別和若爾當(dāng)形矩陣相似,即A≈Mn,B≈Nn.故存在數(shù)域P上的可逆矩陣Q1和Q2,使得數(shù)域P上的矩陣A、B滿(mǎn)足
我們已經(jīng)知道了矩陣Mn?Nn的特征向量,并記特征向量為β,且
由引理2,則(Q1?Q2)β是A?B屬于特征值λμ的一個(gè)特征向量.
這樣我們就求得了矩陣A?B的特征向量.
1)當(dāng)2個(gè)矩陣都為可對(duì)角化矩陣時(shí),這兩個(gè)矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量就是它們的特征向量分別作克羅內(nèi)克積.
2)當(dāng)2個(gè)矩陣為不可對(duì)角化矩陣時(shí),它們的特征向量分別作克羅內(nèi)克積一定是它們的克羅內(nèi)克積的特征向量.若這2個(gè)矩陣都為n階矩陣,可分為3種情況:如果這2個(gè)矩陣的特征值都為0,則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有2n-1個(gè);如果這2個(gè)矩陣的特征值其中一個(gè)為0,另一個(gè)不為0,則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有n個(gè);如果這2個(gè)矩陣的特征值都不為0,則它們的克羅內(nèi)克積的特征向量共有n個(gè).
本文只研究了2個(gè)可對(duì)角化矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量和2個(gè)不可對(duì)角化且只有一個(gè)特征值的矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量,對(duì)于不可對(duì)角化有多個(gè)特征值的矩陣的克羅內(nèi)克積的特征向量還有待進(jìn)一步研究.