姜付錦

（武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)，湖北 武漢 430030）

題目.如圖1所示，A、B兩球質(zhì)量相等，A球用不能伸長的輕繩系于O點(diǎn)，B球用輕彈簧系于O′點(diǎn)，O與O′點(diǎn)在同一水平面上，分別將A、B球拉到與懸點(diǎn)等高處，使繩與輕彈簧均處于水平，彈簧處于自然狀態(tài).將兩球分別由靜止開始釋放，當(dāng)兩球達(dá)到各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，兩球仍處在同一水平面上，則（A）兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，兩球動(dòng)能相等.（B）兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，A球動(dòng)能較大.（C）兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，B球動(dòng)能較大.（D）兩球到達(dá)各自懸點(diǎn)的正下方時(shí)，A球受到向上的拉力較大.

解析：根據(jù)機(jī)械能守恒定律，A球在下降的過程中，重力勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能；B球在下降的過程中，重力勢能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和彈簧的彈性勢能，所以A球的動(dòng)能較大，故（B）選項(xiàng)對；但對于（D）選項(xiàng)的分析不能簡單地認(rèn)為此時(shí)的彈簧的長度就是小球曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑.參考文獻(xiàn)［1］一文中分析結(jié)果是：由功能關(guān)系計(jì)算B球在最低點(diǎn)的速度大小，但速度的方向以及曲率半徑的確定仍難度很大，要涉及B球運(yùn)動(dòng)過程的細(xì)節(jié)，需通過微分方程才能求解.筆者通過MathCAD對這個(gè)問題進(jìn)行了分析并得到原題中的正確答案，以下是分析過程，文中若有不當(dāng)之處請各位物理同仁批評指正.

圖1

1 建立模型

圖2

以振子的懸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖2所示的坐標(biāo)系xOy，開始時(shí)彈簧振子處于水平放置，彈簧處于原長L0狀態(tài)，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，振子的質(zhì)量為m，把彈簧振子由靜止釋放，在某一時(shí)刻，彈簧振子的坐標(biāo)為P（x，y）.

1.1 微分動(dòng)力學(xué)方程

由受力分析可以得彈簧擺在水平與豎直兩個(gè)方向上的合外力.在水平方向上有

在豎直方向上有

整理后得，在水平方向上有

在豎直方向上有

1.2 用 MathCAD制圖

為了研究方便，設(shè)L0＝20m，g＝10m／s2，k＝1N／m，m＝1kg，用MathCAD制圖如圖3所示.

圖3

1.3 圖形分析

（1）軌跡圖.

圖3（a）是彈簧擺的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖可知其軌跡不是一個(gè)圓周，彈簧的長度先變長后變短.在最低點(diǎn)小球的速度方向是水平的，此時(shí)小球到懸點(diǎn)的距離為47.7m.

（2）彈簧長度圖.

彈簧的長度隨時(shí)間是周期性變化，周期為8.325s，由圖3（b）可知在一個(gè)周期內(nèi)先變大后變小且在最低點(diǎn)時(shí)長度約為47.7m（最長），由胡克定律可求得在最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力為27.7N＜30N.

（3）小球水平速度隨時(shí)間變化圖.

如圖3（c）所示，小球的水平速度隨時(shí)間是周期性變化的，周期為16.875s，最大水平速度為13.298m／s.

（4）小球豎直速度隨時(shí)間變化圖.

如圖3（d）所示，小球的豎直速度隨時(shí)間是周期性變化的，周期為8.325s，在一個(gè)周期內(nèi)先正向變大再減小，然后反向變大最后減小，最大豎直速度為19.186m／s.

（5）小球合速度隨時(shí)間變化圖.

圖4

如圖4所示，小球的合速度大小隨時(shí)間變化的周期為8.325s，在一個(gè)周期內(nèi)先變大再減小，然后變大最后減小，且在最低點(diǎn)的速度約為13.41m／s，最大速度為19.88m／s.

（6）軌跡曲率半徑隨時(shí)間變化圖.

圖5

小球運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑隨時(shí)間是周期性變化，周期為8.325s.由圖5可知在一個(gè)周期內(nèi)曲率半徑先變大再減小，然后變大最后減小，在最低點(diǎn)時(shí)的曲率半徑約為10.06m，比彈簧的原長小，既不是彈簧的原長也不是彈簧此時(shí)的實(shí)際長度.

（7）小球的能量隨時(shí)間變化圖.

圖6

圖6中 Eki、Ep1i、Ep2i、Ei分別為小球在下落過程中，動(dòng)能、重力勢能（設(shè)原點(diǎn)的重力勢能為0）、彈性勢能和機(jī)械能.由圖可知它們變化的周期為8.325s，小球在下落的過程中機(jī)械能是守恒的（總能量為0）.

1.4 與單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的比較

若題中A球的輕繩長為47.7m，由機(jī)械能守恒定律可求得單擺在最低點(diǎn)時(shí)的速度是，取L＝47.7m，得v＝30.89m／s；繩子的拉力為，得F＝30N，都比彈簧擺在最低時(shí)的大，所以原題中（B）、（D）為正確答案.

2 結(jié)語

文中的彈簧擺在最低點(diǎn)時(shí)速度方向是水平的，是由彈簧擺的初始值所決定的，即開始時(shí)彈簧處于原長且振子沒有初速度.若彈簧不是原長或振子有初速度，則彈簧擺的軌跡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律將很復(fù)雜的［2］［3］，這里暫不討論.以上的分析只是彈簧擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種特殊情況，這是符合原題目中情景的，故答案為（B）、（D）.

1 黃雄.例說力學(xué)的瞬時(shí)規(guī)律和過程規(guī)律.物理通報(bào)，2011（5）：38－40

2 楊正波，夏清華，劉思平.不同控制參數(shù)上的彈簧擺.大學(xué)物理，2011，5（30）：23－26