肖 霄,宮金良,張彥斐
(山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山東淄博255091)
在用戶與計(jì)算機(jī)的交互過程中,鼠標(biāo)是典型的二維控制器,通過它可以實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的各種操作,但是對(duì)于三維空間來說,它們并不太合適,因?yàn)槿S空間中物體具有6個(gè)自由度,目前很難找出比較直觀的辦法把鼠標(biāo)的平面運(yùn)動(dòng)映射成三維空間運(yùn)動(dòng)[1-3].然而隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,對(duì)能夠?qū)崿F(xiàn)多自由度移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)控制的多維控制器需求越來越廣泛,如虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)、遙操作技術(shù)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)三維動(dòng)畫設(shè)計(jì)以及數(shù)據(jù)可視化等,這些領(lǐng)域都需要一個(gè)多維控制設(shè)備來有效實(shí)現(xiàn)三維空間中物體的多自由度控制[4-5].基于文獻(xiàn)[6] 提出的六維控制器設(shè)計(jì)方案,本文著重對(duì)其機(jī)械本體3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,從而為該六維控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及控制電路設(shè)計(jì)提供必要的理論依據(jù).圖1所示為3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型,它由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)以及3個(gè)相同的UPS支鏈構(gòu)成,其中虎克鉸U由繞垂直于靜平臺(tái)平面的軸線和平行于靜平臺(tái)平面的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成,且兩軸線交于一點(diǎn).圖2給出了3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖.
3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包括兩個(gè)方面:一方面是在已知機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)變量的情況下求解動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài),稱為3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解;另一方面是在已知機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)以及動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系位置和姿態(tài)的情況下求解達(dá)到該位置和姿態(tài)時(shí)所需的關(guān)節(jié)變量,稱為3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解[7].動(dòng)平臺(tái)的位置求解較為簡單,而姿態(tài)求解較為復(fù)雜.通常用旋轉(zhuǎn)矩陣、RPY角和歐拉角等來描述機(jī)器人末端姿態(tài),由于采用旋轉(zhuǎn)矩陣描述動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)時(shí)需要9個(gè)參數(shù),而采用RPY角和歐拉角描述只需要3個(gè)參數(shù),同時(shí)歐拉角的所有轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系描述的[8],這在計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)六維控制器虛擬控制時(shí)極為方便,因此本文將采用歐拉角來描述動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài).
圖1 3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型
圖2 3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖
如圖2機(jī)構(gòu)簡圖所示,其中Ai(i=1,2,3)為構(gòu)成虎克鉸U兩轉(zhuǎn)動(dòng)副中心軸線的交點(diǎn),Bi(i=1,2,3)為球鉸S的中心點(diǎn),且A1、A2、A3及B1、B2、B3所圍成的三角形均為等邊三角形,設(shè)兩等邊三角形中心點(diǎn)分別為O1和O2,Bi0(i=1,2,3)為Bi在A1、A2、A3所確定平面上投影,li(i=1,2,3)為Ai、Bi兩點(diǎn)間距離,αi(i=1,2,3)為AiBi在A1、A2、A3所確定平面上投影與AiO1所夾銳角,βi(i=1,2,3)為AiBi與A1、A2、A3所確定平面的夾角.為了便于分析計(jì)算,分別建立了如圖2所示靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1及動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2,其中確立O1、O2分別為靜、動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn),沿A1A2、B1B2方向?yàn)閄軸方向,沿O1A3、O2B3方向?yàn)閅軸方向,過平臺(tái)中心點(diǎn)且垂直于平臺(tái)平面方向?yàn)閆軸方向.設(shè)Bi(i=1,2,3)在靜坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(xi,yi,zi),O2點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z).
設(shè)等邊三角形A1A2A3邊長為a,則A1、A2、A3在坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中坐標(biāo)分別為:(-a/2,/6,0),(a/2,-/6,0),(0/3,0).又AiBi(i=1,2,3)在A1、A2、A3所確定平面上投影為AiBi0,且有‖AiBi0‖=licosβi,則由O1Bi0=(O1Ai+AiBi0)(i=1,2,3)可知B10、B20、B30在坐標(biāo)系OX1Y1Z1中坐標(biāo)分別為
因?yàn)椤珺iBi0‖=lisinβi(i=1,2,3),即zi=lisinβi,則O2點(diǎn)坐標(biāo)為
由機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知,當(dāng)用Z-Y-X歐拉角描述動(dòng)坐標(biāo)系時(shí)有
進(jìn)一步,由式(3)可以逆解得到α、β、γ為
其中:
式(2)和式(4)即為3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解.顯然,當(dāng)已知機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量時(shí)便可確定動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài),當(dāng)給定各關(guān)節(jié)變量變化范圍時(shí),便可求得動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)范圍,也即六維控制器的工作空間,它是六維控制器操作性能評(píng)價(jià)指標(biāo)之一.
在求解3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解時(shí),動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)以及α、β、γ為已知變量,而機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)變量αi、βi、li為待求未知量.由坐標(biāo)變換公式可知靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中點(diǎn)與動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中及存在以下關(guān)系:
設(shè)等邊三角形B1B2B3邊長為b,則B1、B2、B3在動(dòng)坐標(biāo)系O2X2Y2Z2中坐標(biāo)分別為:(-b/2,-,(b/2,-,(0
將坐標(biāo)代入(5)式可得B1、B2、B3在靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1中坐標(biāo)(xi,yi,zi)(i=1,2,3).
因?yàn)閘i=‖AiBi‖(i=1,2,3),則
進(jìn)一步,由zi=lisinβi可得
又由AiBi0(i=1,2,3)與X1軸夾角與其在X1軸上投影關(guān)系可以求解得到:
(6)、(7)、(8)三式即為3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位姿時(shí),便可確定各個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的變量大小.由于六維控制器各關(guān)節(jié)變量通過安裝在虎克鉸U兩轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副P處的傳感器獲得,因此3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解對(duì)傳感器量程及分辨率的選擇具有很大的指導(dǎo)意義.
圖3 沿X軸移動(dòng)15mm
圖4 沿Y軸移動(dòng)15mm
圖5 沿Z軸移動(dòng)15mm
表1給出了3種不同機(jī)構(gòu)位形時(shí),根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算的對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)變量.將關(guān)節(jié)變量重新代入正解計(jì)算公式,得到表2的位形參數(shù).結(jié)果表明:與已知位形參數(shù)相比,誤差均小于10-5,驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)正反解的正確性.
表1 a=時(shí)機(jī)構(gòu)反解
表1 a=時(shí)機(jī)構(gòu)反解
[x,y,z;α,β,γ] [α1,α2,α3,β1,β2,β3,l1,l2,l3] [0,0,70;0,0,0] [0.000,0.000,0.000,71.075,71.075,71.075,74.000,74.000,74.000] [15,0,70;0,0,0] [11.462,-34.264,32.005,61.667,79.225,67.986,79.527,71.256,75.505] [0,15,70;0,0,0] [-22.411,-22.411,0.000,64.045,64.045,82.674,77.852,77.852,70.576]
表2 a=時(shí)機(jī)構(gòu)正解及誤差
表2 a=時(shí)機(jī)構(gòu)正解及誤差
[__________________________________x,y,z;α,β,γ] δ_______[0.000,-1.184×10-15,70.000;0.000,0.000,0.000] ≤10-15[15.000,-2.768×10-5,70.000;-1.936×10-5,7.298×10-6,-7.093×10-6] ≤10-15[____________________0.000,15.000,70.000;0.000,-4.505×10-6] ≤10-6
圖6 繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°
圖7 繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°
圖8 繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)15°
本文對(duì)六維控制器主體機(jī)構(gòu)3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,求出了其運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解.通過運(yùn)動(dòng)學(xué)正解一方面可以求解機(jī)構(gòu)工作空間,進(jìn)而確定六維控制器可操作范圍及操作靈活性,另一方面可以用于上位機(jī)虛擬環(huán)境中物體的控制,因此運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的正確性尤為重要.為了驗(yàn)證正解的可靠性,本文采用MATLAB軟件對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,仿真結(jié)果顯示所求正反解是完全正確的.3-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析為六維控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及控制電路的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù).
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