李寶峰 鄭 堅(jiān) 倪新華 孫 濤 付云偉

軍械工程學(xué)院，石家莊，050003

0 引言

20世紀(jì)80年代中期發(fā)展起來的納米陶瓷是納米材料的重要組成部分，納米陶瓷的出現(xiàn)為陶瓷增韌帶來了新的希望，納米復(fù)相陶瓷已成為近年來陶瓷材料領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，具有發(fā)展成為一種新型結(jié)構(gòu)材料的良好前景［1－2］。用自蔓延高溫合成（SHS）技術(shù)可制備出含納米纖維和相變粒子的亞共晶納米相變復(fù)相陶瓷［3］，通過壓痕實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該復(fù)相陶瓷具有較大的斷裂韌性和較高的塑性形變行為［4］。其組織結(jié)構(gòu)以含納米纖維的棒狀共晶團(tuán)為基體，并在復(fù)合共晶體周圍分布有少量的可產(chǎn)生相變的二相粒子，這種材料優(yōu)良的綜合性能在工程實(shí)際中具有巨大的發(fā)展?jié)摿蛷V闊的應(yīng)用前景。為了使其廣泛應(yīng)用，必須進(jìn)一步開展更加深入系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論研究工作，特別是細(xì)觀力學(xué)行為研究。目前，一些學(xué)者對這種復(fù)合材料的剛度和裂紋相變增韌已進(jìn)行了較深入的研究［5－8］，如何建立復(fù)合材料的強(qiáng)度同納米纖維的含量、長徑比等細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，并進(jìn)而正確預(yù)報(bào)復(fù)合材料的強(qiáng)度是一個(gè)困難的問題。纖維共晶結(jié)構(gòu)復(fù)合材料類似于方位隨機(jī)短纖維復(fù)合材料，本文依據(jù)短纖維復(fù)合材料的強(qiáng)度分析，根據(jù)剪滯法［9－10］建立了棒狀共晶團(tuán)的細(xì)觀強(qiáng)度模型，考慮棒狀共晶團(tuán)方位的隨機(jī)性和長徑比的分布規(guī)律，得到了復(fù)合材料的外載拉伸應(yīng)力與復(fù)合共晶體表面剪應(yīng)力、棒狀共晶團(tuán)的含量、共晶團(tuán)長徑比的關(guān)系，進(jìn)而得到了以棒狀共晶團(tuán)為集體的復(fù)合材料的強(qiáng)度與共晶團(tuán)界面極限剪應(yīng)力之間的理論表達(dá)式。

1 棒狀共晶團(tuán)細(xì)觀強(qiáng)度模型

首先研究纖維狀復(fù)合共晶體中的應(yīng)力分布。取出一截面為正方形（邊長為R）的長方體特征單元體，沿中心軸含有一根半徑為r0，長為2L的棒狀共晶團(tuán)，如圖1所示。

圖1 棒狀共晶團(tuán)單元示意圖

設(shè)共晶體軸向應(yīng)力為σn，考慮長為dx的微元，根據(jù)剪滯法假設(shè)，得到平衡方程為［10］

或者寫成

式中，τe為沿納米纖維界面的剪應(yīng)力。

如果進(jìn)一步假設(shè)共晶團(tuán)在外力作用下均發(fā)生彈性變形，界面間沒有發(fā)生滑移，則在纖維沿x向的應(yīng)變等于基體的外加應(yīng)變。令u（x，r）為沿x向在半徑為r處基體的位移，τ（x，r）為相應(yīng)點(diǎn)沿x向的剪應(yīng)力。由于對稱性，u（x，r）及τ（x，r）不隨相對于納米纖維中心軸的環(huán)向角度變化，但它們是半徑r的函數(shù)。作為平衡條件，納米纖維界面的剪應(yīng)力應(yīng)等于任一環(huán)向?qū)觬處的剪應(yīng)力

根據(jù)胡克定律，可以得到

將式（3）代入式（2）中，可以得到

對式（4）積分，則

可以得到

其中，uR及un分別為基體和共晶團(tuán)的軸向位移，（R/r0）值與納米纖維在基體中排布的微觀結(jié)構(gòu)有關(guān)，它們的選擇將確保共晶團(tuán)的體積分?jǐn)?shù)滿足一定的目標(biāo)。若共晶團(tuán)排布呈四方形結(jié)構(gòu)，則共晶團(tuán)的體積分?jǐn)?shù)可以認(rèn)為等于共晶團(tuán)的面積分?jǐn)?shù)，即f＝πr/R2，因此有

式中，f為共晶團(tuán)的體積分?jǐn)?shù)。

將式（7）代入式（6），然后一并代入式（1）中，可以得到

利用胡克定律，可以建立如下關(guān)系：

引入量綱一量n，表達(dá)式為

則式（10）變?yōu)?/p>

方程式（12）的解為

纖維受力情況必然關(guān)于中心對稱，則C1＝C2，即σn＝Enε0＋Dch（nx/r0），其中D＝2C1共晶團(tuán)端點(diǎn)處不承擔(dān)軸向載荷，由此可以得到

式中，s為納米纖維的長徑比，s＝L/r0。

這時(shí)，共晶團(tuán)中軸向應(yīng)力分布由下式?jīng)Q定：

將式（15）代入式（1）中，可以求得共晶團(tuán)界面剪應(yīng)力沿軸向分布為

考慮到共晶團(tuán)未脫粘時(shí)其最大剪切應(yīng)力不大于界面剪切強(qiáng)度，式（16）修改為

式中，τmu為共晶團(tuán)界面結(jié)合剪應(yīng)力。

當(dāng)外載應(yīng)力σ＝1000MPa、s＝3時(shí)，纖維剪應(yīng)力沿纖維方向的分布情況如圖2所示。

圖2 共晶團(tuán)界面剪應(yīng)力沿軸向的分布

在此我們定義共晶團(tuán)達(dá)到最大剪應(yīng)力的長度占共晶團(tuán)整個(gè)長度的比值為β，如圖2所示，當(dāng)x/r0＝2.36時(shí)界面剪應(yīng)力達(dá)到最大界面剪應(yīng)力，則此時(shí)β＝（3－2.36）/3＝0.2133。

2 含棒狀共晶團(tuán)陶瓷的細(xì)觀強(qiáng)度模型

含棒狀共晶團(tuán)陶瓷復(fù)合材料基體由方位是隨機(jī)分布的棒狀共晶團(tuán)組成，陶瓷復(fù)合材料的破壞與纖維的長度密切相關(guān)。如圖3所示，在方位隨機(jī)的某纖維共晶體周圍取一無限大體。纖維共晶體為橫觀各向同性體，周圍介質(zhì)具有復(fù)合材料的平均性質(zhì)，為各向同性體［5］。無限大體受遠(yuǎn)場應(yīng)力σ作用，在共晶體處取一應(yīng)力單元體，容易求出纖維共晶體軸向的外加應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，E11為纖維共晶體的縱向彈性模量；ν12為纖維共晶體的縱向泊松比，由文獻(xiàn)［5］中的公式可以計(jì)算出來。

結(jié)合式（17）、式（6），有

經(jīng)測定棒狀共晶團(tuán)材料所占的體積分?jǐn)?shù)約為60%，即f＝0.60。陶瓷復(fù)合材料的破壞與纖維的長度密切相關(guān)，故我們觀測了棒狀共晶團(tuán)的長徑比，長徑比在3左右的棒狀共晶團(tuán)較為集中，且長徑比在1.5～4.5的棒狀共晶團(tuán)占90%左右，故我們假設(shè)棒狀共晶體服從期望為μs＝3，方差為＝0.9的正態(tài)分布，其密度函數(shù)為

圖3 棒狀共晶團(tuán)的隨機(jī)方位

隨著纖維與基體間界面達(dá)到最大剪應(yīng)力的面積的不斷增加，纖維破壞的可能越來越大，我們認(rèn)為，此時(shí)對應(yīng)的外部載荷即為材料的拉伸破壞強(qiáng)度。

實(shí)驗(yàn)表明［3］，復(fù)合材料中的裂紋總是在纖維共晶體尖端萌生，然后裂紋繞過周圍的纖維共晶體而導(dǎo)致復(fù)合材料破壞。當(dāng)共晶團(tuán)表面的剪應(yīng)力大于界面結(jié)合的極限應(yīng)力時(shí)，即τmu＝130MPa時(shí)，復(fù)合材料界面剪應(yīng)力不再增大，當(dāng)加權(quán)平均的β超過材料的許用值［β］時(shí)，材料發(fā)生剪切破壞。［β］的取值由材料自身的性質(zhì)決定，可以通過試驗(yàn)確定。

由相互作用直推法［11］和四相模型法［12］可得到材料的彈性常數(shù)，計(jì)算中需要的材料常數(shù)如下：En＝ 221.3GPa，E11＝ 227.3GPa，Gm＝138.46GPa。

我們在MATLAB中通過編程實(shí)現(xiàn)計(jì)算，計(jì)算程序如下：

設(shè)復(fù)合陶瓷的強(qiáng)度為σc，則［β］和σc的關(guān)系如圖4所示。對于文獻(xiàn)［4］中的材料，經(jīng)試驗(yàn)測定［β］＝0.2，則由圖4可以得到材料的強(qiáng)度為1220MPa，與文獻(xiàn)［4］中的1256MPa基本相符，誤差僅為2.87%。

圖4 復(fù)合陶瓷的［β］值與強(qiáng)度σc的關(guān)系

3 結(jié)論

（1）在研究過程中同時(shí)考慮了棒狀共晶團(tuán)方位的隨機(jī)分布問題和共晶團(tuán)長徑比的概率分布問題，本文將共晶團(tuán)長徑比按正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。對于不同工藝制備出來的材料，其長徑比必然有所差異，可以根據(jù)材料的實(shí)際情況確定具體材料的長徑比概率分布函數(shù)。本文將概率分布理論引入纖維長徑比，進(jìn)而影響材料強(qiáng)度的思想對具有相似結(jié)構(gòu)的其他復(fù)合材料具有借鑒意義。

（2）本文定義達(dá)到最大界面剪應(yīng)力的共晶團(tuán)長度占共晶團(tuán)整個(gè)長度的比值為β，當(dāng)加權(quán)平均β值大于［β］值時(shí)，材料發(fā)生破壞。［β］值由材料決定，可以通過試驗(yàn)確定。

（3）針對文獻(xiàn)［4］中的材料，確定材料參數(shù)［β］＝0.2，利用本文建立的模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差僅為2.87%，得到了較為滿意的結(jié)果。

［1］王昕，孫康寧，尹衍開，等.納米復(fù)合陶瓷材料研究進(jìn)展［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，1999，16（1）：105－108.

［2］斯溫 M V.陶瓷的結(jié)構(gòu)與性能［M］.北京：科學(xué)出版社，1998.

［3］趙忠民，張龍，王建江，等.SHS制備納米/微米Al2O3－ZrO2復(fù)相陶瓷力學(xué)行為研究［J］.鑄造，2004，53（9）：688－692.

［4］趙忠民，張龍，王衛(wèi)國，等.Al2O3－ZrO2快速凝固復(fù)合陶瓷顯微結(jié)構(gòu)與力學(xué)行為［J］.特種鑄造及有色合金，2006，26（11）：681－684.

［5］倪新華，列協(xié)權(quán)，路曉波，等.陶瓷相變對Ⅰ－Ⅱ混合型裂紋增韌的理論分析［J］.力學(xué)季刊，2001，22（2）：181－185.

［6］Ni Xinhua，Liu Xiequan，Wang Junying，et al.The Toughing Action of Comprehensive Transformation on Mixed ModeⅡ－Ⅲ Ceramics［J］.Key Engineering Materials，2005，280－283：1779－1782.

［7］倪新華，劉協(xié)權(quán)，韓保紅，等.共晶基陶瓷復(fù)合材料的斷裂韌性［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，42（4）：682－690.

［8］倪新華，劉協(xié)權(quán)，趙惠民.納米共晶晶須復(fù)相陶瓷的剛度預(yù)報(bào)［J］.稀有金屬材料與工程，2005，34（增刊1）：597－599.

［9］Fukuda H，Chou T W.A Probabilistic Theory for the Strength of Short－fiber Composites［J］.J.Mat.Sci.，1981，16：1088.

［10］Fukuda H，Chou T W.A Probabilistic Theory of the Strength of Short－fiber Composites and Variable Fiber Length and Orientation［J］.J.Mat.Sci.，1982，17：1003.

［11］Zheng Q S，Du D X.An Explicit and Universally Applicable Estimate for the Effective Properties of Multiphase Composites Which Accounts for Inclusion Distribution［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2001，49：2765－2788.

［12］倪新華.含界面相復(fù)合陶瓷的細(xì)觀力學(xué)模型與宏觀力學(xué)性能研究［D］.石家莊：軍械工程學(xué)院，2008.