劉衛(wèi)鋒

0 引言

灰色GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容和方法之一[1，2]，目前該方法在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、管理和工程技術(shù)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但是，灰色GM(1,1)模型有時(shí)會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)誤差較大的情形，對(duì)此，許多學(xué)者從背景值構(gòu)造[3-5]，初值條件優(yōu)化[6-7]，模型參數(shù)估計(jì)[8-10]方面對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，取得了豐碩的成果。但是，這些研究和改進(jìn)實(shí)際上仍然苑囿于對(duì)白數(shù)（實(shí)數(shù)）序列進(jìn)行建模，因而建立的灰色GM(1,1)模型并非真正意義上的灰色預(yù)測(cè)模型。對(duì)此，有文獻(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的建模進(jìn)行了研究，并取得了初步的研究成果，其中，文獻(xiàn)[11]通過(guò)計(jì)算灰數(shù)層的面積以及灰數(shù)層中位線中點(diǎn)的坐標(biāo),將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)序列,建立一種區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[12]構(gòu)建了白化權(quán)函數(shù)已知情況下的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[13]在區(qū)間灰數(shù)的核和灰度的基礎(chǔ)上，提出了基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[14]通過(guò)將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的發(fā)展趨勢(shì)序列和認(rèn)知程度,提出了基于發(fā)展趨勢(shì)和認(rèn)知程度的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[15]根據(jù)區(qū)間灰數(shù)的幾何特征，通過(guò)面積轉(zhuǎn)化和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)序列，從而建立了區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型。

在上述研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，受文獻(xiàn)[16]啟發(fā)，本文嘗試將集對(duì)理論中二元聯(lián)系數(shù)引入到區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)中，建立基于二元聯(lián)系數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型。首先，定義了區(qū)間灰數(shù)的聯(lián)系數(shù)及其相關(guān)概念，然后，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)序列，并對(duì)二元聯(lián)系數(shù)序列的同部序列和異部序列分別建立灰色預(yù)測(cè)模型，最后，將同部序列和異部序列的模型值還原為區(qū)間灰數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的預(yù)測(cè)。文中計(jì)算實(shí)例驗(yàn)證了聯(lián)系數(shù)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的可行性。

1 基本概念

定義1[2]只知道取值范圍而不知其確切值的數(shù)稱(chēng)為灰數(shù)。常用記號(hào)?表示灰數(shù)。

定義2[2]既有下界a又有上界b的灰數(shù)成為區(qū)間灰數(shù)，記為?∈[a,b]，其中a≤b。

定義3設(shè)區(qū)間灰數(shù) ?∈[a,b]，若 a≥0，則稱(chēng)?∈[a,b]為非負(fù)區(qū)間灰數(shù)。

定義4對(duì)于非負(fù)區(qū)間灰數(shù)?∈[a,b]，令u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，則稱(chēng)u=A+Bi為對(duì)應(yīng)于區(qū)間灰數(shù)?∈[a,b]的聯(lián)系數(shù),其中A,B分別稱(chēng)為聯(lián)系數(shù)u=A+Bi的同部和異部。

定理1設(shè)區(qū)間灰數(shù)為?∈[a,b]的聯(lián)系數(shù)為u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]，則二者可以相互轉(zhuǎn)化。

證明：首先，由定義4可知，區(qū)間灰數(shù)為?∈[a,b]可以表示為聯(lián)系數(shù)u=A+Bi，其中A=a,B=b-a,i∈[0,1].其次，由u=A+Bi，其中 A=a,B=b-a,i∈[0,1]可知，只需解方程組，即可得到區(qū)間灰數(shù)的下限和上限，從而得到區(qū)間灰數(shù)為?∈[a,b]。

由上述證明可知，二者可以相互轉(zhuǎn)化。

定義5設(shè)區(qū)間灰數(shù)序列為X(?)=(?1,?2,…,?n)，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，則稱(chēng)U=(u1,u2,…,un)，其中uk=Ak+Bki，Ak=ak,Bk=bk-ak，i∈[0,1],k=1,2,…,n，為 X(?)的聯(lián)系數(shù)序列，稱(chēng) A=(A1,A2,…,An)，B=(B1,B2,…,Bn)分別為聯(lián)系數(shù)序列U的同部序列和異部序列。

2 基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型

基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型的基本思想為：首先，將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)序列，其次，分別針對(duì)聯(lián)系數(shù)序列的同部序列和異部序列建立灰色GM(1,1)模型，最后，將建立的灰色GM(1,1)模型的模擬預(yù)測(cè)值轉(zhuǎn)化為區(qū)間灰數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的模擬和預(yù)測(cè)。

定理2設(shè)X(?)=(?1,?2,…,?n)是非負(fù)區(qū)間灰數(shù)序列，其中，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其聯(lián)系數(shù)序列為U=(u1,u2,…,un)，其中 uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，其同部序列為A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)，異部序列為B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)。

(1)對(duì)同部序列建立GM(1,1)模型，可得到離散型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為:

(2)對(duì)異部序列建立GM(1,1)模型，可得到離散型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

證明：(1)對(duì)同部序列 A=(a1,a2,…,an)建立GM(1,1)模型。

原始序列為A=(a1,a2,…,an)，其一次累加序列為，其中，其緊鄰均值序列為，其中：

于是，可得到離散型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為:

(2)與（1）的證明類(lèi)似，略去。

定理3設(shè)X(?)=(?1,?2,…,?n)是非負(fù)區(qū)間灰數(shù)序列，其中，?k∈[ak,bk],k=1,2,…,n，其聯(lián)系數(shù)序列為U=(u1,u2,…,un) ， 其 中uk=Ak+Bki,Ak=ak,Bk=bkak,i∈[0,1],k=1,2,…,n，同部序列 A=(A1,A2,…,An)=(a1,a2,…,an)和 異 部 序 列B=(B1,B2,…,Bn)=(b1-a1,b2-a2,…,bn-an)的離散型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)分別為：

3 計(jì)算實(shí)例

例1[15]某企業(yè)在分析競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，缺少對(duì)手銷(xiāo)售額的準(zhǔn)確資料，通過(guò)在對(duì)共同競(jìng)標(biāo)等經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中收集到信息進(jìn)行分析后，對(duì)該企業(yè)銷(xiāo)售額的最大值和最小值進(jìn)行了估計(jì)，認(rèn)為近幾年該企業(yè)的銷(xiāo)售額如表1所示。請(qǐng)對(duì)該企業(yè)以后的銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 某企業(yè)銷(xiāo)售額序列 (萬(wàn)元)

將區(qū)間灰數(shù)序列X(?)=([80,100],[95,120],[120,150],[130,160])轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)序列U=(80+20i,95+25i,120+30i,130+30i),i∈[0,1],其同部序列為A=(80,95,120,130)，異部序列為B=(20,25,30,30)。對(duì)同部序列和異部序列分別建立灰色預(yù)測(cè)模型，并將相關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)列入表2。

由計(jì)算結(jié)果可知，同部序列和異部序列的模擬值分別為2.53%,3.04%,精度較高，可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。由定理3將同部序列和異部序列的預(yù)測(cè)值還原為區(qū)間灰數(shù)序列，就得到了該企業(yè)2005～2013年的銷(xiāo)售模擬預(yù)測(cè)值(見(jiàn)表3)。

4 結(jié)語(yǔ)

文中針對(duì)傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型僅適用于實(shí)數(shù)序列而無(wú)法進(jìn)行區(qū)間灰數(shù)序列建模的缺陷,提出了一種基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測(cè)模型。通過(guò)將區(qū)間灰數(shù)序列轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)序列，并對(duì)聯(lián)系數(shù)序列的同部序列和異部序列分別建立灰色預(yù)測(cè)模型，然后將模型值還原為區(qū)間灰數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)區(qū)間灰數(shù)序列的模擬和預(yù)測(cè)，該模型對(duì)于繼續(xù)探索區(qū)間灰數(shù)序列建模具有重要的理論和實(shí)際意義。

表2 模型計(jì)算結(jié)果

表3 銷(xiāo)售額模擬預(yù)測(cè)序列 (萬(wàn)元)

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