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      利用滅點(diǎn)進(jìn)行相機(jī)檢校與定姿的充要條件及其不確定性分析

      2012-07-25 05:12:50
      測繪學(xué)報(bào) 2012年6期
      關(guān)鍵詞:不確定性橢圓直線

      李 暢

      華中師范大學(xué) 城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430079

      1 引 言

      滅點(diǎn)是一種無成本的控制點(diǎn),可用于非量測相機(jī)的定標(biāo)(內(nèi)方位元素:主距)及任意相機(jī)的定姿(外方位元素:角元素),在本文中將“定標(biāo)”和“定姿”合稱“定參”。以往的研究幾乎都假定3個(gè)正交方向上滅點(diǎn)存在[1-5],然而有些場景中不存在3個(gè)正交方向滅點(diǎn)或者三滅點(diǎn)很難被全部檢測出來,那么傳統(tǒng)的三滅點(diǎn)定參理論在實(shí)際應(yīng)用中受到了挑戰(zhàn)。

      另外,到目前為止,基于滅點(diǎn)的研究皆以應(yīng)用研究為主,如滅點(diǎn)自動(dòng)檢測和基于滅點(diǎn)的相機(jī)定參方面[1,3-8],雖 然 精 度 評 定 必 不 可 少,卻 都 是 以滅點(diǎn)為橋梁建立直線與相機(jī)參數(shù)的關(guān)系,繞過滅點(diǎn)探討相機(jī)參數(shù)的精度,然而對滅點(diǎn)本身的誤差及其對應(yīng)的誤差空間分布研究并不多。

      鑒于此,本文將探討滅點(diǎn)定參的充要條件,重點(diǎn)分析雙正交滅點(diǎn)聯(lián)合誤差分布條件下,雙滅點(diǎn)及第三滅點(diǎn)誤差空間分布及其不確定性問題。

      2 滅點(diǎn)定參的充要條件

      在人類活動(dòng)最頻繁的城市,建筑物提供了大量的“空間平行線”。根據(jù)計(jì)算機(jī)視覺與攝影測量的滅點(diǎn)理論可知,空間的平行線在影像上的投影應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格相交于一點(diǎn)[6]。不同場景中相交所成的滅點(diǎn)個(gè)數(shù)亦會(huì)不同。由于建筑立面的特殊性,通常只能檢測出兩個(gè)滅點(diǎn):建筑物水平方向滅點(diǎn)X和鉛垂線方向滅點(diǎn)Y,而垂直于建筑物(深度)方向的滅點(diǎn)Z不易被檢測。值得注意的是,影像中滅點(diǎn)個(gè)數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)大于3而正交方向的滅點(diǎn)數(shù)卻小于3的情況,如圖1(a)截面為正六邊形的棱柱有4個(gè)滅點(diǎn),但僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。圖1(b)截面為正五邊形的棱柱有6個(gè)滅點(diǎn),也僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。

      文獻(xiàn)[9]論述了滅點(diǎn)個(gè)數(shù)對相機(jī)參數(shù)確定的影響。在此基礎(chǔ)上,補(bǔ)充并給出滅點(diǎn)定參的充要條件如下:

      (1)若存在3個(gè)正交方向的滅點(diǎn),則可采用文獻(xiàn)[9]中的定參方法。

      (2)若僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn),則需采用雙滅點(diǎn)定參方法,即解算出第3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)從而轉(zhuǎn)化成三滅點(diǎn)定參問題。但存在一種病態(tài)情況(將在下一節(jié)討論)。

      (3)不存在正交方向的滅點(diǎn),此時(shí)無解。

      即滅點(diǎn)定參的充要條件為:當(dāng)且僅當(dāng)存在3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。綜上可知,對于規(guī)則的房子等建筑物,出現(xiàn)3個(gè)正交方向上的滅點(diǎn)是可能的,但更一般的情況下,像方可能存在兩個(gè)、3個(gè)、甚至多個(gè)方向上的滅點(diǎn),但這些方向不一定都相互正交。加之滅點(diǎn)檢測算法的靈敏性又會(huì)對檢測到的滅點(diǎn)數(shù)打折扣(如,立面很難檢測深度方向滅點(diǎn)),故雙正交方向滅點(diǎn)更為普遍,亟須研究該條件下的滅點(diǎn)理論與方法并探討其不確定性。

      3 雙正交滅點(diǎn)條件下的滅點(diǎn)問題

      3.1 雙滅點(diǎn)不確定性分析

      文獻(xiàn)[10]提出了3種確定地理信息數(shù)據(jù)中點(diǎn)的不確定方法:一是解析法,即基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的誤差傳播定律,其分布、方差協(xié)方差的傳播;二是基于試驗(yàn)法;三是基于模擬法。

      通過解析法分析滅點(diǎn)不確定性方法如下:在有噪聲的情況下,空間平行線在影像上的投影未必交于一點(diǎn),即存在閉合差。滿足滅點(diǎn)方向分組的線段ij對應(yīng)滅點(diǎn)V。

      如圖2,由i、j、V三點(diǎn)共線可得

      式中,(xV,yV)為滅點(diǎn)V的坐標(biāo);(xi,yi)、(xj,yj)分別為點(diǎn)i、j坐標(biāo),線性化后矩陣方程為[11]

      式中,觀測向量為V=[vxivyivxjvyj]T;未知數(shù)(即滅點(diǎn))為x=[vxvy]T;A為觀測系數(shù)矩陣;B為未知數(shù)系數(shù)矩陣;W為閉合差。此為附有參數(shù)的條件平差模型,在平差時(shí)采用粗差探測的“選權(quán)迭代法”[12]可在計(jì)算滅點(diǎn)坐標(biāo)的同時(shí)將不支持此滅點(diǎn)的粗差直線(誤分組)剔除掉,得到滅點(diǎn)坐標(biāo)。

      圖2 滅點(diǎn)與分組直線段Fig.2 Vanishing point and grouped line segments

      文獻(xiàn)[4]提出如下指標(biāo)評價(jià)滅點(diǎn)精度

      式中,θi、θj表示交會(huì)滅點(diǎn)的兩條直線各自的角度。顯然指標(biāo)c接近于1精度最高,當(dāng)θi-θj為90°時(shí),c=1,即當(dāng)兩直線正交時(shí),滅點(diǎn)的精度最高。在平行攝影時(shí),物方的平行直線在像方幾乎也都是相互平行的。實(shí)際中c值往往很大,那么僅通過式(3)是無法更好評價(jià)滅點(diǎn)精度的,而且對滅點(diǎn)的點(diǎn)位誤差,和任意方向上的位差都無法評定。所以可利用誤差橢圓[11]來評定滅點(diǎn)分布的不確定性。

      由平差中的協(xié)因數(shù)傳播律可知式(1)對應(yīng)未知參數(shù)(滅點(diǎn))的方差為

      則滅點(diǎn)的點(diǎn)位誤差為

      誤差橢圓參數(shù)計(jì)算如下[13]

      式中,QEE表示滅點(diǎn)在φE方向上取得位差的極大值;QFF為φE正交方向的極小值;E和F對應(yīng)誤差橢圓的長軸和短軸。此橢圓方程長軸對應(yīng)的方位角為φE。根據(jù)點(diǎn)位誤差橢圓可以解算出點(diǎn)位誤差曲線從而確定任意方向上的誤差。

      然而,在工程應(yīng)用中,有時(shí)需要關(guān)心任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對位置的精度,此時(shí)點(diǎn)位誤差橢圓失效,需用相對誤差橢圓進(jìn)行估算。設(shè)兩個(gè)待定點(diǎn)為Pi和Pk,這兩點(diǎn)的相對位置可通過其坐標(biāo)差來表示,即

      根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

      由于滅點(diǎn)的平差都是基于直線段分組的,X方向的分組直線對應(yīng)X方向的滅點(diǎn),Y方向的分組直線對應(yīng)Y方向的滅點(diǎn),這兩組觀測值相互獨(dú)立,所以其相關(guān)系數(shù)為零

      即式(7)中

      可得計(jì)算Pi和Pk點(diǎn)間的相對誤差橢圓3個(gè)參數(shù)[13]的公式

      下面討論式(8)中的如何確定。此時(shí)涉及兩類獨(dú)立觀測值:X和Y方向滅點(diǎn),依據(jù)滅點(diǎn)方程(2)可列出如下方程

      先對各類觀測量定初權(quán),進(jìn)行預(yù)平差,滅點(diǎn)初始定權(quán)可參見文獻(xiàn)[11]。再用平差后得到的觀測值改正數(shù)進(jìn)行估計(jì)并重新定權(quán),如此重復(fù),直到不同類觀測值的權(quán)趨于合理,即采用赫爾默特(Helmert)驗(yàn)后方差分量估計(jì)[14],以此估算出單位權(quán)方差。

      3.2 第三正交方向滅點(diǎn)解算

      圖3中3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)為X∞,Y∞,Z∞即為三點(diǎn)透視,攝影中心為S,o為相機(jī)主點(diǎn),f為主距,3個(gè)正交方向X、Y、Z的直線所形成的滅點(diǎn)必落在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上。因此SX∞Y∞Z∞為一直角錐,So⊥ΔX∞Y∞Z∞,則相機(jī)主點(diǎn)o為ΔX∞Y∞Z∞的垂心[9]。

      圖3 三正交方向上滅點(diǎn)幾何關(guān)系Fig.3 Image geometry with three vanishing points

      設(shè)像主點(diǎn)坐標(biāo)O(x0,y0)為坐標(biāo)系原點(diǎn),VX(x1,y1)、VY(x2,y2)和VZ(x3,y3)為該坐標(biāo)系下三正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo),并已知兩個(gè)滅點(diǎn)VX和VY,以及O(x0,y0),如何解算第3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)VZ?如圖4,O(x0,y0)是像主點(diǎn)同時(shí)也是滅點(diǎn)三角形ΔVXVYVZ的垂心(注意不是重心,若為重心,滅點(diǎn)三角形在像主點(diǎn)為圓心的外接圓上,雙滅點(diǎn)無法定參)。易知OZo⊥VXVY,VXOXo⊥VZVY,所以VZ是ZoO與VYXo的交點(diǎn),可得方程

      解得第三滅點(diǎn)坐標(biāo)VZ(x3,y3)

      式中

      滅點(diǎn)VX、VY的誤差橢圓方程可寫為

      式中,E和F由式(6)計(jì)算可得,將式(13)轉(zhuǎn)換到像主點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系,則有

      將其代入橢圓式(13),可得

      此方程就是在右手坐標(biāo)系XOY(見圖4)下滅點(diǎn)VX,VY的誤差橢圓方程,由此也可確定XOY坐標(biāo)系下相對誤差橢圓方程。式(14)中i=1,2,即為XOY下VX和VY橢圓圓心坐標(biāo)。

      圖4 滅點(diǎn)幾何及誤差橢圓Fig.4 Vanishing points geometry and error ellipses

      值得注意式(11)存在一種病態(tài)情況,即

      將式(12)代入式(15)可得

      也就是當(dāng)兩個(gè)滅點(diǎn)坐標(biāo)VX、VY與像主點(diǎn)坐標(biāo)O(x0,y0)3點(diǎn)共線時(shí),不能解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn),因此無法通過滅點(diǎn)定參。

      3.3 第三滅點(diǎn)不確定性隨機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬

      3.3.1 第三滅點(diǎn)不確定空間分布模擬

      上面討論了如何通過兩個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)VX和VY解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)VZ的方法,然而滅點(diǎn)VX和VY本身就存在不確定性。文獻(xiàn)[10]用點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓和圓形正態(tài)模型分析了點(diǎn)誤差的不確定性。在點(diǎn)誤差的二維正態(tài)分布下還可以計(jì)算其概率[13]。所以,本節(jié)提出在雙滅點(diǎn)聯(lián)合誤差分布(誤差橢圓)條件下,利用 Monte-Carlo方法模擬第三滅點(diǎn)的誤差分布。算法如下。

      (1)在誤差橢圓內(nèi)生成均勻分布的偽隨機(jī)點(diǎn):

      ①在VX和VY對應(yīng)誤差橢圓的外切矩形區(qū)域內(nèi)生成均勻分布隨機(jī)點(diǎn);

      ②通過下面的兩個(gè)集合判斷是否落入VX或VY誤差橢圓內(nèi)

      即保留落入誤差橢圓內(nèi)的均勻分布隨機(jī)點(diǎn)。

      (2)遍歷VX和VY誤差橢圓內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)并利用推導(dǎo)的第三滅點(diǎn)坐標(biāo)公式(11)計(jì)算對應(yīng)的Z方向滅點(diǎn),模擬出VZ的離散點(diǎn)空間分布。

      3.3.2 第三滅點(diǎn)空間分布面積估算

      如圖5要計(jì)算y=f(x)與x=0和y=0圍成的Ω區(qū)域面積,通??梢酝ㄟ^積分的方法。

      圖5 基于Monte-Carlo估算Ω區(qū)域面積Fig.5 Estimation of the area size ofΩ

      此處可通過Monte-Carlo方法來計(jì)算,根據(jù)幾何概型可知落入Ω區(qū)域的概率為

      式中,p為概率;S_AreaΩ為所求面積;nΩ為落入Ω的隨機(jī)點(diǎn)數(shù);N為總隨機(jī)點(diǎn)數(shù)

      RectX和RectY為Ω的外切矩形區(qū)域的長和寬,乘積即為Ω的外切矩形區(qū)域面積。圖5中RectX=RectY=1。由中心極限定理可知當(dāng)N趨于無窮時(shí)有

      4 試 驗(yàn)

      4.1 模擬試驗(yàn)

      表1中設(shè)計(jì)了4組誤差橢圓參數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

      表1 誤差橢圓參數(shù)Tab.1 The error ellipse parameters of VXand VY

      根據(jù)表1中第1組誤差橢圓參數(shù)并忽略相機(jī)的畸變,令像主點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)(隨著當(dāng)代相機(jī)鏡頭的畸變越來越小,此處做一個(gè)近似)。模擬出的第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)的分布如圖6所示,其中類似雙葉型的VZ區(qū)域即為Z方向滅點(diǎn)的不確定性空間分布。在此區(qū)域的外切矩形內(nèi)隨機(jī)投15 000個(gè)點(diǎn),并統(tǒng)計(jì)落入VZ區(qū)域的點(diǎn)數(shù)并根據(jù)式(20)計(jì)算得VZ區(qū)域面積S_AreaVZ為1 447.1像素,該面積區(qū)域的估算精度約為±0.008像素。第2組數(shù)據(jù)在第1組的基礎(chǔ)上減少了VY分布范圍顯然S_AreaVZ減少了。第3組數(shù)據(jù)在第2組的基礎(chǔ)上增大VX面積的同時(shí)增大了VX和VY間的距離,S_AreaVZ雖然變大但仍小于第1組數(shù)據(jù)中VZ區(qū)域的面積。第4組數(shù)據(jù)在第3組的基礎(chǔ)上進(jìn)一步增大了VX和VY間的距離,并令VX的誤差橢圓長短半軸與VY相同,此時(shí)VZ區(qū)域的面積為3 933.8,不確定性最強(qiáng)。但如果在第4組的基礎(chǔ)上將VY恢復(fù)到原來的長短半軸長,不確定性降到了5組數(shù)據(jù)中的最低。由此有理由假設(shè):在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下,隨著兩者間的距離增大,VZ分布的不確定性會(huì)降低。

      圖6 滅點(diǎn)VZ空間分布Fig.6 VZerror graph under the Vxand Vy

      4.2 影像試驗(yàn)

      為了驗(yàn)證上述假設(shè)進(jìn)行實(shí)拍檢驗(yàn),相機(jī)為KODAR (PROFESSIONAL DCS Pro SLR/n)普通數(shù)碼相機(jī),像幅大小1000像素×1500像素,相機(jī)主距24mm,像元大小0.025mm,影像見圖7。提取圖7中的直線段,并對VX和VY滅點(diǎn)方向線段進(jìn)行分組,采用式(2)可計(jì)算出滅點(diǎn)坐標(biāo)。忽略相機(jī)系統(tǒng)誤差,假設(shè)像主點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),由式(6)和式(8)可得雙正交方向滅點(diǎn)的誤差橢圓和相對誤差橢圓,再根據(jù)VX和VY坐標(biāo)及其誤差橢圓內(nèi)生成的均勻分布隨機(jī)點(diǎn)和式(11)估算出第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)的坐標(biāo)及分布范圍(xmin,ymin,xmax,ymax表示VZ空間分布的邊界坐標(biāo)最大最小值)見表2。利用 Monte-Carlo方法在VZ外切矩形內(nèi)隨機(jī)投15 000個(gè)隨機(jī)點(diǎn),再用式(20)估算出VZ分布的面積為28.2±0.008(像素)。由此看出,盡管VX的誤差分布面積較大,但在VY分布面積不太大且VX和VY間距很大的條件下,它們的聯(lián)合誤差分布VZ的不確定區(qū)域卻相對較小。由此,驗(yàn)證了前面的假設(shè),其他實(shí)拍影像也能得出一致結(jié)論。此結(jié)論對于基于雙滅點(diǎn)的相機(jī)定參十分重要,拍攝角度對滅點(diǎn)的精度有很大的影響,獲得較好精度的雙滅點(diǎn)拍攝角度未必能得到(三滅點(diǎn)更難),但拍攝獲得一個(gè)較好精度的滅點(diǎn)角度比較容易,如圖7仰拍時(shí)VY滅點(diǎn)不確定性較小,表2中VY的誤差橢圓長軸和短軸皆相對較小。而且一般物方平行線投影于像方交會(huì)出的滅點(diǎn)間的坐標(biāo)距離往往又很大,這都符合假定條件:在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下,隨著兩者間的距離增大,VZ分布的不確定性似乎會(huì)變小。

      圖7 原始影像及直線提取滅點(diǎn)分組后影像Fig.7 Original image and extracted and grouped lines

      表2 雙滅點(diǎn)及第三滅點(diǎn)的不確定性Tab.2 The error ellipse parameters of VXand VYfor figure 7

      5 結(jié) 論

      本文在原來滅點(diǎn)理論與方法的基礎(chǔ)上,補(bǔ)充完善了滅點(diǎn)檢校與定姿的充要條件,給出了雙正交方向滅點(diǎn)定參中存在的病態(tài)問題。補(bǔ)充了基于雙滅點(diǎn)(兩個(gè)待定點(diǎn))的相對誤差橢圓評定相對精度的方法。重點(diǎn)探討了在更普遍的情況:雙正交方向滅點(diǎn)聯(lián)合誤差橢圓分布條件下,解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)并隨機(jī)模擬其誤差空間分布和不確定性問題。通過試驗(yàn),提出并驗(yàn)證了第3滅點(diǎn)不確定性較小的條件,進(jìn)一步揭示和探討了滅點(diǎn)空間分布的規(guī)律。今后將通過計(jì)算滅點(diǎn)誤差空間分布的解析解,進(jìn)一步揭示和論證滅點(diǎn)的不確定性規(guī)律。

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